广东省广州市天河区2020届高三数学10月一模考试试题 理（含解析）

1 广东省广州市天河区广东省广州市天河区 20202020 届高三数学届高三数学 1010 月一模考试试题月一模考试试题 理 含解理 含解 析 析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 已知集合 集合 则 2 60ax xx 1 bx x r c ab a b c d 3 1 3 1 3 3 答案 a 解析 分析 先化简集合 a 再求和 r c a r c ab 详解 由题得 a x 2 x0 进而得到结果 1 2 2 xe 1 0 1 e 3 3 ln x ex 3 1x 详解 已知 0 1 1 ln20 2 xln 1 2 2 xe 1 0 1 e 3 3 ln x ex 3 1x 进而得到 123 xxx 故答案为 a 点睛 本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质 比较大小常用的方法有 两式 做差和 0 比较 分式注意同分 进行因式分解为两式相乘的形式 或者利用不等式求得最值 判断最值和 0 的关系 7 中国古代十进制的算筹计数法 在数学史上是一个伟大的创造 算筹实际上是一根根同长 短的小木棍 如图 是利用算筹表示数的一种方法 例如 3 可表示为 26 可表 1 9 示为 现有 6 根算筹 据此表示方法 若算筹不能剩余 则可以用这 9 数字表 1 9 示两位数的个数为 a 13b 14c 15d 16 答案 d 解析 分析 6 根算筹可分为 1 5 2 4 3 3 再根据图示写出可能的组合 即可得出答案 详解 根据题意 现有 6 根算筹 可以表示的数字组合为 1 5 1 9 2 4 2 8 6 4 6 8 3 3 3 7 7 7 数字组合 1 5 1 9 2 4 2 8 6 4 6 8 3 7 中 每组可以表示 2 个两位数 则 可以表示个两位数 2714 数字组合 3 3 7 7 每组可以表示 1 个两位数 则可以表示个两位数 2 12 则一共可以表示个两位数 14216 故选 d 5 点睛 本题结合算筹计数法 考查排列与组合 属于基础题 本题的关键在于读懂题意 8 在矩形中 与相交于点 过点作 垂 abcd 3 4 abadac bdoaaebd 足为 则 eae ec a b c d 72 5 144 25 12 5 12 25 答案 b 解析 分析 通过线性运算将变为 由垂直关系可知 由数量 ae ec ae eoae ao 0ae eo 积定义可求得 代入得到结果 144 25 ae ao ae ec 详解 如图 由 得 3ab 4 ad9 165bd 12 5 ab ad ae bd 又 ae ecaeeoocae eoae ocae eoae ao aebd 0ae eo 又 2 144 cos 25 ae ae aoae aoeaoae aoae ao 144 25 ae ec 本题正确选项 b 点睛 本题考查向量数量积的求解问题 关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹 角已知的向量之间的数量积问题 6 9 函数图象的大致形状是 2 1 sin 1 x f xx e a b c d 答案 c 解析 分析 根据条件先判断函数的奇偶性和对称性 利用的值的符号进行排除即可 1f 详解 21 1 sinsin 11 x xx e f xxx ee 则 111 sinsinsin 111 xxx xxx eee fxxxxf x eee 则是偶函数 图象关于轴对称 排除 f xy b d 当时 排除 1x 1 1sin10 1 e f e a 本题正确选项 c 点睛 本题主要考查函数图象的识别和判断 结合函数奇偶性和对称性的性质以及函数值 的对应性利用排除法是解决本题的关键 10 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排 若 3 位女生中有且只有两位女生相邻 则不同 排法的种数是 a 36b 24c 72d 144 答案 c 解析 7 分析 两位女生相邻 将其捆绑在一起 和另一位女生不相邻 采用插空法 详解 根据题意 把 3 位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素 和剩下的一位女生 插入到 2 位男生全排列后形成的 3 个空中的 2 个空中 故有种 222 323 72a a a 故选 c 点睛 本题考查排列组合 需熟练掌握捆绑 插空法 属于基础题 11 已知函数 若方程的解为 sin 2 6 f xx 3 5 f x 1 x 2 x 12 0 xx 则 12 sin xx a b c d 3 5 4 5 2 3 3 3 答案 b 解析 分析 由题意首先确定函数的对称轴 然后结合题意和三角函数的性质 同角三角函数基本关系和 诱导公式即可确定的值 12 sin xx 详解 函数的对称轴满足 sin 2 6 f xx 2 62 xkkz 即 令可得函数在区间上的一条对称轴为 23 k xkz 0k 0 3 x 结合三角函数的对称性可知 则 12 2 3 xx 12 2 3 xx 12222 2 sinsin2sin2cos 2 336 xxxxx 由题意 且 故 2 3 sin 2 65 x 12 0 xx 12 7 12312 xx 8 由同角三角函数基本关系可知 2 2 26 x 2 4 cos 2 65 x 故选 b 点睛 本题主要考查三角函数的对称性 诱导公式的应用等知识 意在考查学生的转化能 力和计算求解能力 12 已知函数 f x k lnx k 4 曲线 y f x 上总存 4 k 2 4x x 在两点 m x1 y1 n x2 y2 使曲线 y f x 在 m n 两点处的切线互相平行 则 x1 x2的取值范围为 a b c d 8 5 16 5 8 5 16 5 答案 b 解析 分析 利用过 m n 点处的切线互相平行 建立方程 结合基本不等式 再求最值 即可求 x1 x2 的取值范围 详解 由题得 f x 1 x 0 k 0 4 k k x 2 4 x 2 2 4 4xkx k x 2 4 xkx k x 由题意 可得 f x1 f x2 x1 x2 0 且 x1 x2 即 1 1 2 11 4 4 k k xx 2 4 k k x 2 2 4 x 化简得 4 x1 x2 k x1x2 4 k 9 而 x1x2 2 12 2 xx 4 x1 x2 k 4 k 2 12 2 xx 即 x1 x2 对 k 4 恒成立 16 4 k k 令 g k k 4 k 则 g k 1 0 对 k 4 恒成立 2 4 k 2 22kk k g k g 4 5 16 4 k k 16 5 x1 x2 16 5 故 x1 x2的取值范围为 16 5 故答案为 b 点睛 本题运用导数可以解决曲线的切线问题 函数的单调性 极值与最值 正确求导 是我们解题 的关键 属于中档题 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分 分 13 已知数列满足 则当时 n a 1 1a 11 1 2 nn aaannn 1n n a 答案 1 2n 解析 分析 10 用去换中的 得到 再做差即可得 1n 11 1 2 nn aaannn n 11 1 nn aaa 到数列为等比数列 即可得出答案 n a 详解 数列满足 n a 1 1a 11 1 nn aaa nn 2 n 用去换得到 1n n 11 1 nn aaa 得到 1 1 22 nnnnn aaaaan 又 所以数列为以 1 为首项 2 为公比的等比数列 1 1a 2 2a n a 即 1 2n n a 故答案为 1 2n 点睛 本题考查根据递推公式求通项 属于基础题 14 设当时 函数取得最大值 则 x sin3cosf xxx tan 4 答案 2 3 解析 分析 利用辅助角公式化简 求出的值代入即可得到答案 详解 sin3cos2sin 3 f xxxx 当时 函数取得最大值 x f x 2 32 kkz 2 6 k kz 3 1 3 tan tan 2 tan 23 464463 1 3 k 故答案为 23 11 点睛 本题考查三角函数的最值 两角和的正切值 属于基础题 15 已知在处有极小值为 求 322 f xxaxbxa 1x 10ab 答案 15 解析 函数 f x x3 ax2 bx a2 f x 3x2 2ax b 又 函数 f x x3 ax2 bx a2在 x 1 处有极值 10 1 043 1 10113 faa fbb 或 当 a 4 b 11 时 f x 在 在 11 3 1 3 fxxx 1111 1 33 1 f x 在 x 1 处取得极小值 f 1 10 当 a 3 b 3 时 f x 3 x 1 2 0 f x 在 r 上单增 无极值 a 4 b 11 且 f 1 10 是极小值 此时 15 ab 故答案为 15 点睛 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件 利用导数研究函数的极值 其中根 据已知条件 构造关于 a b 的方程 是解答本题的关键 在解答过程中 通过解方程组 可以求出两组满足条件的 a b 的值 其中一组可导致 f x 在 r 上单增 不满足题目要求 要舍去 这是函数的极值问题解答中的一个易忽略点 16 在三棱锥中 侧面与底面垂直 sabc 2sbscabbcac sbcabc 则三棱锥外接球的表面积是 sabc 答案 20 3 解析 分析 12 由于与都为正三角形 故过与的中心做两个面的垂线的交点即 abc sbc abc sbc 为三棱锥的外接球球心 sabc 详解 如图所示 取的中点 连接 设为的中心 为 bcdsdadeabc f 的中心 为三棱锥外接球的球心 sbc osabc 连接 oeofoa 则为棱锥外接球的半径 为矩形 oasabc oedf 2222 1 3 215 3 3 3 3 eaoaoe 三棱锥外接球的表面积 sabc 2 15 3 20 4 3 故答案为 20 3 点睛 本题考查三棱锥的外接球表面积 属于中档题 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 1717 2121 题为必考题 题为必考题 每个试题学生都必须作答 第每个试题学生都必须作答 第 2222 2323 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 6060 分 分 17 在锐角中 角所对的边分别是 且 abc a b c a b c 3 cos2sin 10 2 aa 1 求角的大小 a 2 若的面积 求的值 abc 3 3s 3b sinc 13 答案 1 2 3 a 2 39 sin 13 c 解析 分析 1 利用倍角公式和诱导公式化简题设中的三角函数式 从而可得的值 a 2 先求 再利用余弦定理求出 最后利用正弦定理求出 casinc 详解 1 3 cos2sin 10 2 aa 可得 cos2cos10aa 2 2coscos0aa 解得 或 1 cos 2 a cos0a 为锐角三角形 abc 1 cos 2 a 3 a 2 可得 113 sin3 3 222 abc sbcabc a 12bc 又 可得 3b 4c 在中 由余弦定理可知 abc 222 1 2cos1692 4 313 2 abcbca 13a 在中 由正弦定理可知 abc sinsin ac ac 3 4 sin2 39 2 sin 1313 ca c a 点睛 三角形中共有七个几何量 三边三角以及外接圆的半径 一般地 知道其中的三 个量 除三个角外 可以求得其余的四个量 1 如果知道三边或两边及其夹角 用余弦定理 2 如果知道两边即一边所对的角 用正弦定理 也可以用余弦定理求第三条边 3 如果知道两角及一边 用正弦定理 18 在等比数列中 公比 且满足 n a 0 1 q 4 2a 2 32637 225aa aa a 14 1 求数列的通项公式 n a 2 设 数列的前项和为 当取最大值时 求 2 log nn ba n b nn s 312 123 n ssss n 的值 n 答案 1 2 的值为 8 或 9 5 2 n n a n 解析 分析 1 根据等比数列的性质化简 联立即可解出答案 2635 a aa a 2 375 a aa 4 2a 2 根据写出 求出 写出 再求出其前n项 5 2 n n a 5 n bn 2 9 2 n nn s 9 2 n sn n 的和 判断即可 详解 1 2 32637 225aa aa a 可得 222 335535 2 25aa aaaa 由 即 由 可得 4 2a 3 1 2a q 01q 1 0a 0 n a 可得 即 35 5aa 24 11 5a qa q 由 解得舍去 1 2 2 q 1 16a 则 15 1 16 2 2 nn n a a 2 22 loglog 2 nn ba 5 5 n n 可得 2 19 45 22 n nn snn 9 2 n sn n 则 12 79 4 1222 n sssn n 2 2 1917117289 4 2244216 nnn nn 可得或 9 时 取最大值 18 8n 12 12 n sss n 则的值为 8 或 9 n 点睛 本题考查等比数列 等差数列前n项和的最值问题 属于基础题 15 19 如图 在多面体中 四边形是边长为 的菱形 abcdefabcd 4 3 360bcd 与交于点 平面平面 acbdofbc abcd efabfbfc 2 3 3 ef 1 求证 平面 oe abcd 2 若为等边三角形 点为的中点 求二面角的余弦值 fbc q ae qbca 答案 1 见证明 2 3 13 13 解析 分析 1 可证 再利用平面平面证得平面 通过证明 fhbc fbc abcdfh abcd 可得要求证的线面垂直 oefh 2 建立空间直角坐标系 求出平面的法向量和平面的一个法向量后可求二面 bcq abc 角的余弦值 qbca 详解 1 证明 取的中点 连结 bchohfhoe 因为 所以 fbfc fhbc 因为平面平面 平面平面 平面 fbc abcdfbc abcdbc fh fbc 所以平面 fh abcd 因为 分别为 的中点 所以且 hobcac ohab 12 3 23 ohab 16 又 所以 所以四边形为平行四边形 efab 2 3 3 ef efoh oefh 所以 所以平面 oefhoe abcd 2 解 因为菱形 所以 abcd2oaocoefh 所以 两两垂直 建立空间直角坐标系 如图所示 oaoboe oxyz 则 2 0 0 a 2 3 0 0 3 b 2 0 0 c 0 0 2 e 所以 1 0 1 q 所以 2 3 2 0 3 bc 3 0 1 cq 设平面的法向量为 bcq mx y z 由得 0 0 bc m cq m 2 3 20 3 30 xy xz 取 可得 1x 1 3 3 m 平面的一个法向量为 abc 0 0 1 n 设二面角的平面角为 qbca 则 33 13 cos 1311 39 m n m n 因为二面角的平面角为锐角 qbca 17 所以二面角的余弦值为 qbca 3 13 13 点睛 线线垂直的判定可由线面垂直得到 也可以由两条线所成的角为得到 而线面垂 2 直又可以由面面垂直得到 解题中注意三种垂直关系的转化 空间中的角的计算 可以建立 空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算 也可以构建空间角 把角的计算归结 平面图形中的角的计算 20 某种规格的矩形瓷砖根据长期检测结果 各厂生产的每片瓷砖质量 600600 mmmm 都服从正态分布 并把质量在之外的瓷砖作为废品直接回炉 x kg 2 n 3 3 uu 处理 剩下的称为正品 从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取 10 片进行检查 求至少有 1 片是废品的概率 若规定该规格的每片正品瓷砖的 尺寸误差 计算方式为 设矩形瓷砖的长与宽分别 为 则 尺寸误差 为 按行业生产标准 其中 a mm b mm mm 600 600 ab 优等 一级 合格 瓷砖的 尺寸误差 范围分别是 00 2 0 20 5 0 5 正品瓷砖中没有 尺寸误差 大于的瓷砖 每片价格分别为 7 5 元 6 5 元 1 0 1 0mm 5 0 元 现分别从甲 乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取 100 片瓷砖 相应的 尺 寸误差 组成的样本数据如下 尺寸误差 00 10 20 30 40 50 6 频数 103030510510 甲厂瓷砖的 尺寸误差 频数表 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概 率 18 记甲厂该种规格的 2 片正品瓷砖卖出的钱数为 元 求的分布列及数学期望 e 由如图可知 乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有 优等 一级 两种 求 5 片该规 格的正品瓷砖卖出的钱数不少于 36 元的概率 附 若随机变量服从正态分布 则 z 2 n 33 0 9974pz 10 0 99740 9743 4 0 80 4096 5 80 32768 答案 详见解析 0 02570 73728 解析 分析 先计算出这 10 片质量全都在之内 即没有废品 的概率 再用 1 减之 3 3 uu 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 由图得到得该厂生产 的一片正品瓷砖为 优等 一级 合格 的概率分别为 0 7 0 2 0 1 再计算出其分 布列与期望即可 若 5 片中有片 优等 品 则 得到 则取 4 或 5 再 n 7 56 5 5 36nn 3 5n n 计算即可得出答案 详解 由正态分布可知 抽取的一片瓷砖的质量在之内的概率为 3 3 uu 0 9974 则这 10 片质量全都在之内 即没有废品 的概率为 3 3 uu 10 0 99740 9743 则这 10 片中至少有 1 片是废品的概率为 10 97430 0257 由已知数据 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 得该厂生产的一片正品瓷砖为 优等 一级 合格 的概率分别为 0 7 0 2 0 1 19 则的可能取值为 15 14 12 5 13 11 5 10 元 计算 15 0 70 70 49p 14 0 70 220 28p 12 5 0 70 1 20 14p 13 0 20 20 04p 11 5 0 20 1 20 04p 10 0 1 0 10 01p 得到的分布列如下 15141312 511 510 p0 49 0 28 0 040 140 040 01 数学期望为 150 49140 2813 0 0412 50 1411 50 04100 01e 7 353 920 521 750 460 1 元 14 1 设乙陶瓷厂 5 片该规格的正品瓷砖中有片 优等 品 则有片 一级 品 n5n 由已知 解得 则取 4 或 5 7 56 5 5 36nn 3 5n n 故所求的概率为 445 5 0 80 20 8pc 0 40960 32768 0 73728 点睛 本题考查正态分布 分布列 数学期望 属于基础题 20 21 已知函数 ln1 a f xxxa ar x 1 求函数的单调区间 f x 2 若存在 使成立 求整数的最小值 1x 1x f xx x a 答案 1 见解析 2 5 解析 试题分析 1 求导 分类讨论时三种情况的单调性 2 分离含参量 11 0 0 44 aaa 构造新函数 求导算出零点的范围 从而求出结 ln21 1 x xx a x ln21 1 x xx g x x 果 解析 1 由题意可知 0 x 2 22 1 1 axxa fx xxx 方程对应的 2 0 xxa 1 4a 当 即时 当时 1 40a 1 4 a 0 x 0fx 在上单调递减 f x 0 当时 方程的两根为 1 0 4 a 2 0 xxa 114 2 a 且 114 0 2 a 114 2 a 此时 在上 函数单调递增 f x 1141 14 22 aa 0fx f x 在上 函数单调递减 11 411 4 0 22 aa 0fx f x 当时 0a 114 0 2 a 114 0 2 a 21 此时当 单调递增 11 4 0 0 2 a xfx f x 当时 单调递减 11 4 2 a x 0fx f x 综上 当时 单调递增 当时 0a 11 4 0 2 a x f x 11 4 2 a x 单调递减 f x 当时 在上单调递增 1 0 4 a f x 1141 14 22 aa 在上单调递减 11 411 4 0 22 aa 当时 在上单调递减 1 4 a f x 0 2 原式等价于 1ln21xax xx 即存在 使成立 1x ln21 1 x xx a x 设 ln21 1 x xx g x x 1x 则 2 ln2 1 xx gx x 设 ln2h xxx 则 在上单调递增 11 10 x h x xx h x 1 又 根据零点存在性定理 可 33ln321 ln3 0 44ln4222ln2 0hh 知在上有唯一零点 设该零点为 则 且 h x 1 0 x 0 3 4x 即 000 ln20h xxx 00 2lnxx 000 0 min 0 ln21 1 1 xxx g xx x 22 由题意可知 又 的最小值为 0 1ax 0 3 4x az a5 点睛 本题考查了运用导数求函数的单调性 在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分 类讨论 在求解含有参量的恒成立问题时 可以采用分离参量的方法 不过需要注意用零点 的存在定理进行判断零点范围 然后得出结果 二 选考题 共 二 选考题 共 1010 分 请考生在第分 请考生在第 2222 2323 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第 一题计分 一题计分 22 在直角坐标系中 曲线的参数方程为 为参数 以坐 xoy c cos3sin sin3cos x y 标原点为极点 轴的正半轴为极轴 取相同长度单位建立极坐标系 直线 的极坐标方 oxl 程