高一数学：4.1.1《圆的标准方程》教案 新人教A版必修2

用心 爱心 专心 4 4 1 1 1 1 圆圆的的标标准准方方程程 教学目标 一 知识与技能 1 掌握圆的标准方程 能根据圆心 半径写出圆的标准方程 2 会用待定系数法求圆的标准方程 二 过程与方法 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力 渗透数形结合思想 通过圆的 标准方程解决实际问题的学习 注意培养学生观察问题 发现问题和解决问题的能 力 三 情感态度与价值观 通过运用圆的知识解决实际问题的学习 从而激发学生学习数学的热情和兴趣 教学重点 圆的标准方程 教学难点 会根据不同的已知条件 利用待定系数法求圆的标准方程 教学方法 启发 引导 讨论 教学过程 一 新课引入 在直角坐标系中 确定直线的基本要素是什么 圆作为平面几何中的基本图形 确定它的要素又是什么呢 什么叫圆 在平面直角坐标系中 任何一条直线都可用一 个二元一次方程来表示 那么 圆是否也可用一个方程来表示呢 如果能 这个方 程又有什么特征呢 二 讲授新课 确定圆的基本条件为圆心和半径 设圆的圆心坐标为 A a b 半径为r 其 中a b r都是常数 0r 设 M x y为这个圆上任意一点 那么点M满足 的条件是 引导学生自己列出 PM MAr 由两点间的距离公式让学生写出 点M适合的条件 22 xaybr 用心 爱心 专心 化简可得 222 xaybr 引导学生自己证明 222 xaybr 为圆的方程 得出结论 若点 M x y在圆上 由上述讨论可知 点M的坐标适用方程 说明点 M与圆心A的距离为r 即点M在圆心为A的圆上 所以方程 就是圆心为 A a b 半径为r的圆的方程 我们把它叫做圆圆的的标标准准 方方程程 三 例题解析 例 1 写出圆心为 2 3 A 半径长等于 5 的圆的方程 并判断点 1 5 7 M 2 5 1 M 是否在这个圆上 分析 可以从计算点到圆心的距离入手 点 00 M xy与圆 222 xaybr 的关系的判断方法 1 222 00 xaybr 点在圆外 2 222 00 xaybr 点在圆上 3 222 00 xaybr 点在圆内 解 圆心是 2 3 A 半径长等于 5 的圆的标准方程是 22 2 3 25xy 把点 1 5 7 M 的坐标代入方程 22 2 3 25xy 左右两边相等 点 1 M的坐标适合圆的方程 所以点 1 M在这个圆上 把点 2 5 1 M 的坐标代入方 用心 爱心 专心 程 22 2 3 25xy 左右两边不相等 点 2 M的坐标不适合圆的方程 所以点 2 M不在这个圆上 例 2 ABC 的三个顶点的坐标是 5 1 7 3 2 8 ABC 求它的外接圆的方 程 师生共同分析 从圆的标准方程 222 xaybr 可知 要确定圆的标准方 程 可用待定系数法确定a b r三个参数 学生自己运算解决 ABC 外接圆的圆心是ABC 的外心 即ABC 三边垂直平分线的交点 解 设所求圆的方程是 222 xaybr 因为 5 1 7 3 2 8 ABC 都在圆上 所以它们的坐标都满足方程 于是 解此方程组 得 2 2 3 25 a b r 所以ABC 的外接圆的方程是 22 2 3 25xy 例 3 已知圆心为C的圆经过点 1 1 A和 2 2 B 且圆心在 10l xy 上 求圆心为C的圆的标准方程 师生共同分析 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小 圆心为C的圆 经过点 1 1 A和 2 2 B 由于圆心C与A B两点的距离相等 所以圆心C在线 用心 爱心 专心 段AB的垂直平分线m上 又圆心C在直线l上 因此圆心C是直线l与直线m的 交点 半径长等于CA或CB 解法 1 因为 1 1 A 2 2 B 所以线段AB的中点D的坐标为 31 22 直 线AB的斜率 2 1 3 2 1 AB k 因此线段AB的垂直平分线m的方程是 113 232 yx 即330 xy 圆心C的坐标是方程组 330 10 xy xy 的解 解此方程组 得 3 2 x y 所以圆心C的坐标是 3 2 圆心为C的圆的半径长 22 1 3 12 5rAC 所以圆心为C的圆的标准方程是 22 3 2 25xy 解法 2 设所求圆的方程为 222 xaybr 由题意得 用心 爱心 专心 解得 2 3 2 25 a b r 所以所求圆的方程是 22 3 2 25xy 总结归纳 教师启发 学生自己比较 归纳 比较例2 例 3 可得出 ABC 外接圆的标准方程的两种求法 根据题设条件 列出关于a b r的方程组 解方程组得到a b r得 值 写出圆的标准方程 根据确定圆的要素 以及题设条件 分别求出圆心坐标和半径大小 然后再写 出圆的标准方程 四 课堂练习 1 根据下列条件 求圆的方程 1 圆心在点 2 1 C 并且过点 2 2 A 2 圆心在点 1 3 C 并与直线3460 xy 相切 3 过点