2011届高三数学一轮复习 第二章函数测试题 新人教版

用心 爱心 专心1 第二章第二章 函数 导数及其应用函数 导数及其应用 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项 是符合题目要求的 1 化简 2 6 1 2 1 0的结果为 A 9 B 7 C 10 D 9 解析 2 6 1 2 1 0 26 1 2 1 8 1 7 答案 B 2 设 2 121 1 1 2 1 1 xx f xf f x x 则则 A B C D 1 2 4 13 9 5 25 41 解析 f f f 1 2 3 2 4 13 答案 B 3 函数f x x3 ax2 3x 9 已知f x 在x 3 时取得极值 则a A 2 B 3 C 4 D 5 解析 因为f x 在x 3 时取得极值 故x 3 是f x 3x2 2ax 3 0 的解 代入得 a 5 答案 D 4 下列函数中 同时具有性质 1 图象过点 0 1 2 在区间 0 上是减函数 3 是偶 函数 这样的函数是 A y x3 1 B y log2 x 2 C y x D y 2 x 1 2 解析 显然四个函数都满足性质 1 而满足性质 2 的只有 C 答案 C 5 函数f x lg 2 3 x的大致图象是 解析 f x lgx lg是偶函数 2 3 3 x2 用心 爱心 专心2 A B 不正确 又 当x 0 时 f x 为增函数 D 不正确 答案 C 6 下列是关于函数y f x x a b 的几个命题 若x0 a b 且满足f x0 0 则 x0 0 是f x 的一个零点 若x0是f x 在 a b 上的零点 则可用二分法求x0的近似值 函数f x 的零点是方程f x 0 的根 但f x 0 的根不一定是函数f x 的零点 用二分法求方程的根时 得到的都是近似值 那么以上叙述中 正确的个数为 A 0 B 1 C 3 D 4 解析 因为 中x0 a b 且满足f x0 0 则x0是f x 的一个零点 而不是 x0 0 所以 错误 因为函数f x 不一定连续 所以 错误 方程f x 0 的根一定是函数f x 的零点 所以 错误 用二分法求方程的根时 得到的根也可能是精确值 所以 也错误 答案 A 7 若函数f x x3 f 1 x2 f 2 x 3 则f x 在点 0 f 0 处切线的倾斜角为 1 3 1 2 A B C D 4 3 2 3 3 4 解析 由题意得 f x x2 f 1 x f 2 令x 0 得f 0 f 2 令x 1 得f 1 1 f 1 f 2 f 2 1 f 0 1 即f x 在点 0 f 0 处切线的斜率为 1 倾斜角为 3 4 答案 D 8 一张正方形的纸片 剪去两个一样的小矩形得到一个 E 形图案 如图所示 设小矩形的长 宽分别为x y 剪去部分的面积为 20 若 2 x 10 记y f x 则y f x 的图象是 用心 爱心 专心3 解析 由题意可知 y 2 x 10 10 x 答案 A 9 理 物体A以速度v 3t2 1 m s 在一直线l上运动 物体B在直线l上 且在物体A的正前 方 5 m 处 同时以v 10t m s 的速度与A同向运动 出发后物体A追上物体B所用的时间 t s 为 A 3 B 4 C 5 D 6 解析 因为物体A在t秒内行驶的路程为 3t2 1 dt t0 物体B在t秒内行驶的路程为 10tdt t0 所以 3t2 1 10t dt t3 t 5t2 t3 t 5t2 5 t0t0 t 5 t2 1 0 即t 5 答案 C 文 已知f x ax g x logax a 0 且a 1 若f 3 g 3 0 且a 1 互为反函数 于是可排除 A D 因图中 B C 关于y x对称 最后利用 函数值关系式f 3 g 3 0 排除 B 故选 C 答案 C 10 2010 福州模拟 关于x的方程 m 3 x2 4mx 2m 1 0 的两根异号 且负数根的绝对值比 用心 爱心 专心4 正数根大 那么实数m的取值范围是 A 3 m 0 B 0 m 3 C m0 D m3 解析 x1x2 0 x1 x2 0 0 21 0 3 4 0 3 m m m m 解得 3 m 0 答案 A 11 定义在 R 上的函数f x 如果存在函数g x kx b k b为常数 使得f x g x 对一切 实数x都成立 则称g x 为函数f x 的一个承托函数 现有如下命题 对给定的函数f x 其承托函数可能不存在 也可能有无数个 g x 2x为函数f x 2x的一个承托函数 定义域和值域都是 R 的函数f x 不存在承托函数 下列选项正确的是 A B C D 解析 对于 若f x sinx 则g x B B 1 就是它的一个承托函数 且有无数个 再如y tanx y lgx就没有承托函数 命题 正确 对于 当x 时 g 3 f 2 2 f x 0 3 x 3 则A 3 3 又 00 时 恒有f x x f x 则 实数a的取值范围是 解析 依题意 对于任意x 2 当 x 0 时 恒有f x x f x 说明函数f x 在 2 上是单调递增函数 所以应有 2 2 2 223 0 a aa 解得 4x2 x x x1 x2 2 12 2 其中能使f x1 f x2 恒成立的条件序号是 解析 函数f x 为偶函数 f x 2x sinx 当 0 x 时 0 sinx 1 00 函数f x 在上为单调增函数 0 2 由偶函数性质知函数在上为减函数 2 0 当x x时 得 x1 x2 0 2 12 2 f x1 f x2 由函数f x 在上为偶函数得f x1 f x2 故 成立 2 2 用心 爱心 专心6 而f f 3 3 3 3 不成立 同理可知 不成立 故答案是 答案 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知函数 2 2 2 0 4 0 2 0 xx f xx xx 1 写出f x 的单调区间 2 若f x 16 求相应x的值 解 1 f x 的单调增区间为 2 0 2 单调减区间为 2 0 2 2 由f x 16 x 2 2 16 x 2 舍 或 6 或 x 2 2 16 x 6 或 2 舍 x的值为 6 或 6 18 本小题满分 12 分 已知函数f x x4 4x3 ax2 1 在区间 0 1 上单调递增 在区间 1 2 上单调递减 1 求a的值 2 记g x bx2 1 若方程f x g x 的解集恰有 3 个元素 求b的取值范围 解 1 f x 4x3 12x2 2ax 因为f x 在 0 1 上递增 在 1 2 上递减 所以x 1 是 f x 的极值点 所以f 1 0 即 4 13 12 12 2a 1 0 解得a 4 经检验满足题意 所以a 4 2 由f x g x 可得 x2 x2 4x 4 b 0 由题意知此方程有三个不相等的实数根 此时x 0 为方程的一实数根 则方程x2 4x 4 b 0 应有两个不相等的非零实根 所以 0 且 4 b 0 即 4 2 4 4 b 0 且b 4 解得b 0 且b 4 所以所求b的取值范围是 0 4 4 19 本小题满分 12 分 已知函数f x ax x 0 常数a R 1 x2 用心 爱心 专心7 1 讨论函数f x 的奇偶性 并说明理由 2 若函数f x 在x 3 上为增函数 求a的取值范围 解 1 定义域 0 0 关于原点对称 当a 0 时 f x 满足对定义域上任意x f x f x a 0 时 f x 是偶函数 1 x2 当a 0 时 f 1 a 1 f 1 1 a 若f x 为偶函数 则a 1 1 a a 0 矛盾 若f x 为奇函数 则 1 a a 1 1 1 矛盾 当a 0 时 f x 是非奇非偶函数 2 任取x1 x2 3 f x1 f x2 ax1 ax2 2 2 1 x 1 x2 1 a x1 x2 22 21 22 12 xx x x x1 x2 a 12 22 12 xx x x x1 x2 0 f x 在 3 上为增函数 a 12 22 12 xx x x 即a 2 12 1 x x 2 12 1 x x 在 3 上恒成立 2 12 1 x x 2 12 1 x x 5 时 1 2 f x R 5 0 5 0 25x 12 0 25x 故所求函数解析式为 2 1 4 750 5 05 2 120 25 5 xxx f x xx 2 0 x 5 时 f x x 4 75 2 10 78125 1 2 用心 爱心 专心8 在x 4 75 时 f x 有最大值 10 78125 当x 5 时 f x 12 0 25x 12 0 25 5 10 75 10 78125 综上所述 当x 4 75 时 f x 有最大值 即当年产量为 475 件时 公司可获得最大年利润 21 本小题满分 12 分 定义在 R 上的函数f x 满足f x f x 4 当 2 x 6 时 f x x m n f 4 31 1 2 1 求m n的值 2 比较f log3m 与f log3n 的大小 解 1 因为函数f x 在 R 上满足f x f x 4 所以 4 是函数f x 的一个周期 可得f 2 f 6 即 2 m n 6 m n 1 2 1 2 又f 4 31 4 m n 31 1 2 联立 组成方程组解得m 4 n 30 2 由 1 知 函数f x 4 x 30 x 2 6 1 2 因为 1 log34 2 所以 5 log34 4 6 f log3m f log34 f log34 4 log3444 30 1 2 log34 30 1 2 又因为 3 log330 2 设f 2 m f t n 用心 爱心 专心9 1 试确定t的取值范围 使得函数f x 在 2 t 上为单调函数 2 求证 n m 3 理 若t为自然数 则当t取哪些值时 方程f x m 0 m R 在 2 t 上有三个不相 等的实数根 并求出相应的实数m的取值范围 解 1 因为f x x2 3x 3 ex 2x 3 ex x x 1 ex 由f x 0