哈工大硕士课程小波题库.doc

1. 从傅立叶变换到小波变换的三个阶段：*）信号加窗；*）基加窗；*）小波基；2. Shannon小波的计算：*）Shannon采样定理；*）采样定理与尺度函数；*）写出Shannon小波的时域和频域表达式；*）写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波；3. 描述MRA；4. 分析和说明MRA构造正交小波的关键步骤；5. 说明Haar小波是正交小波(直接或MRA)；6. Meyer小波的构造方法；7. 构造Daubechies系列小波中的一个或两个；8. 给出Malvar小波的构造方法（共有3种）；9. 说明正交小波包的思想（空间再分割）；10. 正交小波包的定义；11. 小波包的频域表达形式；12. 小波包的两种正交性；13. 小波空间的小波包再分割；14. 小波空间的小波包再分割；15. 小波算法：分解和合成；矩阵形式；16. 小波包算法：分解和合成；矩阵形式；17. MATLAB中的Wavelet Toolbox的使用和理解；18. Gabor变换的时-频分析特性；19. 连续小波的时-频分析特性；20. 二进小波的时-频分析特性；21. 正交小波的时-频分析特性；22. 小波包的时-频分析特性；23. Malvar小波的时-频分析特性；24. 二维小波分析和图像处理；25. 小波采样定理；26. 小波与快速算法；27. 分数傅立叶变换：*）经典分数傅立叶变换（旋转）；*）加权分数傅立叶变换（置换）；28. 小波变换的数值含义分析；29. 小波变换的工程含义分析；30. 小波变换与局部分析和奇性分析。1从傅立叶变换到小波变换的三个阶段*）信号加窗；*）基加窗；*）小波基；傅里叶变换的局限性和Gabor变换的提出傅里叶变换是一个强有力的数学工具，它具有重要的物理意义，即信号的傅里叶变换表示信号的频谱。正是傅里叶变换的这种重要的物理意义，决定了傅里叶变换在信号分析和信号处理中的独特地位，特别是作为平稳信号分析的最重要的工具。但是，在实际应用中，所遇到的信号大多数并不是平稳的，因此，傅里叶变换的局限性就渐渐显现出来了：(1) 傅里叶变换对信号的局部畸变没有标定和度量能力；(2) 傅里叶变换不能反映信号在各个指定时刻之附近我们所希望的任何频率范围内的频谱信息。在这种情况下，D.Gabor在1946年提出了Gabor变换，它继承了Fourier变换所具有的“信号频谱”这样的物理解释，同时，它克服了Fourier变换只能反映信号的整体特征而对信号的局部特征没有任何分析能力的缺陷，大大地改进了Fourier变换的分析能力。为了提取信号的局部信息，这包括时间和频率两方面的局部信息，引入了一个时间局部化的“窗口函数”，其中参数用于平行移动窗口，以便于覆盖整个时域。对于函数，其Gabor变换定义为是Gaussian函数，是固定常数，这个函数被称为“窗口函数”。2Shannon小波的计算：*）Shannon采样定理；*）采样定理与尺度函数；*）写出Shannon小波的时域和频域表达式；*）写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波；Shannon小波的构造要复杂一些，但构造的过程具有一般意义，很象多分辨分析，所以，在这里详细介绍。为了叙述得容易些，直接引用信息论中的Shannon采样定理。Shannon定理 设信号，如果存在B0，使 a.e.这里是f(x)的Fourier变换，则称f(x)是B频率截断的，这时，只要采样间隔，信号f(x)按间隔进行采样就不会损失信息，而且，利用采样序列可按如下公式构造原信号 (2.1.1)(1) 称为Shannon插值公式。特别地，在Shannon定理中，当B=时，可得 (2.1.2)取函数，那么，(2.1.2)可改写为 (2.1.3)即对频率截断的信号f(x), (2.1.3)总是成立的。利用Fourier变换的Parseval恒等式可以验证其中函数是的Fourier变换这说明函数族 (2.1.4)是空间的标准正交系。同时，容易验证 (2.1.5)是空间的闭线性子空间，(2.1.3)说明函数族(4)构成子空间(2.1.5)的标准正交基，而空间的任意信号都有(3)式的唯一的表达式。我们知道，中许多信号其Fourier变换在时并不为零，甚至于对任何的，当时它都不为零，所以，前述的只是中的极其有限的一部分。虽然这样，利用Shannon采样定理可逐步“逼近”全空间。在这里详细说明一种具体的逼近过程。根据Shannon采样定理，对于任何整数j，当信号f(x)是频率截断时，即那么 (2.1.6)利用Fourier变换的Parseval恒等式可得因此，函数族 (2.1.7)构成空间 (2.1.8)的标准正交基。这样，随着j取遍所有的整数，就可以得到的一系列子空间，它们之间有如下关系： 对任何整数j (2.1.9)因为，对任何信号来说，它是频率截断时，必定是频率截断的；2 这些子空间中，“最小的”子空间是零空间，即 (2.1.10)这说明具有任意频率截断的信号只能是零信号；3 这些子空间能很好地“逼近”空间 (2.1.11)利用时域和频域的等价性以及中的任何信号的谱都可以用它的有限截断进 行有效逼近的事实可以说明这个等式；4 利用信号的时间伸缩在Fourier变换下的特点容易验证 (2.1.12)这说明，虽然相邻的两个子空间之间有的包含关系，但它们的信号的自变量即时间之间却具有二倍的伸缩关系；显然，随着j的不断增大，子空间对空间的逼近越来越“好”，而空间具有前面给出的标准正交基，因此，容易想到的是，让构造空间的标准正交基，从而得到正交小波。遗憾的是，这样得不到象正交小波所给出的的标准正交基。回顾正交小波的定义可知，如果正交小波已经得到，即 (2.1.13)构成的标准正交基，这时如下的子空间列 (2.1.14)j取全部整数，将构成的完全的正交直和分解 (2.1.15)不仅如此，而且相邻的两个分解子空间之间除了正交之外，它们的信号的时间变量之间还具有二倍的伸缩关系，即 (2.1.16)这由构造(2.1.14)可以直接得到。在使用空间对进行逼近时，显然没有(2.1.15)的关系。而恰恰是这个关系保证了将每个的标准正交基放在一起就可以构成全空间的标准正交基。因此，必须由的逼近构造满足(2.1.13) (2.1.16)的分割。具体的构造方法是，对于任何整数j，选取是空间在中的如下的正交补空间 (2.1.17)其中记号suppG的含义是称为函数的支集。这样得到的子空间序列满足(2.1.15)(2.1.16)。因此，为了构造满足(2.1.13)(2.1.14)的函数，只需对一个空间比如进行构造就可以了。这样，问题变成：选取函数，使函数族构成的标准正交基由函数生成的标准正交基和生成的标准正交基的特点以及空间关系可以构造函数。对的任何信号，可得如下分解其中而且：为了直观，图2给出了函数、和的图形， 图3是和的图形。 1 -2p 2p 1 -p p x 1 -2p -p p 2p图2 函数、和图3 函数和的图形下面给出小波函数的时域和频域的解析表达式。频域形式是在时间域可表示为 (2.1.18)这就是一个Shannon小波。回顾一下Shannon小波的构造过程可知，满足条件(2.1.9)-(2.1.12)的单调上升的逼近空间的子空间序列在构造中起了关键作用，它把整个问题归结为两个子空间和之间的关系问题；另外值得注意的是，Fourier分析起了重要作用。事实上，在小波分析中，无论是理论分析还是数值计算，都要经常用到Fourier分析，它是一种非常有效的工具。3描述MRA；正交多分辨分析和正交小波仿照构造Shannon小波的方法，可以得到构造正交小波的一般方法，即正交多分辨分析。2.2.1正交多分辨分析(Multiresolution Analysis)定义1 设是上的一列闭子空间，是中的一个函数，如果它们满足如下的五个条件，即 单调性: (2.2.1)2 唯一性: (2.2.2) 稠密性: (2.2.3) 伸缩性: (2.2.4)5 可构造性: (2.2.5)构成子空间的标准正交基。那么，称是上的一个正交多分辨分析，简记为MRA.由多分辨分析的定义，容易得到一个重要结果，即函数族 (2.2.6)是空间的标准正交基。下面将要讨论的是如何由这个正交MRA去构造的一个正交小波，使 (2.2.7)构成的标准正交小波基。4分析和说明MRA构造正交小波的关键步骤；2.2.2正交小波的构造仿照Shannon小波的构造方法，对，定义如下的子空间： ( 2.2.8)容易验证，子空间序列具有下述性质： ;2 ;3 ( 2.2.9)因此，根据可知，为了得到空间的标准正交基，只需构造每一个子空间的标准正交基；再由得到，这只需构造的标准正交基就足够了。这样，关键的问题就是构造函数，使得函数族是的标准正交基。和Shannon小波一样，具体的构造是在Fourier变换域实现的。详细过程分成以下几个步骤。2.2.2.1尺度方程和构造方程由于而且有标准正交基，所以，必存在唯一的系数序列，使得 ( 2.2.10)通常称它为尺度方程，实际上，系数序列的计算公式是另一方面，待构造的小波函数，应该存在序列，使得 ( 2.2.11)称之为构造方程。这样，小波函数的构造就转化为寻找相应的序列。引入记号 ( 2.2.12)和分别称为低通和高通滤波器的频率响应，显然，它们都在空间中。这时，可以得到(2.2.10)(2.2.11)两式的频域形式 ( 2.2.13)2.2.2.2标准正交系的频域形式引理 设函数，那么构成的标准正交系，即 ( 2.2.14)的充分必要条件是 ( 2.2.15)事实上，利用函数的Fourier变换可得由于函数族是的标准正交基，因此，(2.2.14)等价于(2.2.15)。2.2.2.3尺度函数和低通滤波器由于尺度函数的整数平移生成的函数族构成子空间的标准正交基，因此，将(2.2.13)代入等式左边得于是，低通滤波器的频率响应满足下述等式 (2.2.16)2.2.2.4小波函数和高通滤波器 因为小波函数的整数平移族应该构成的标准正交基，所以，由(2.2.13)的第二式得 (2.2.17)2.2.2.5低通滤波器和高通滤波器由于子空间是在中的正交补空间，因此，函数族和函数族是相互正交的，即 (2.2.18)利用Fourier变换和(2.2.13)可得因为函数族是的标准正交基，所以，(2.2.18)等价于 (2.2.19)2.2.2.6正交小波的充要条件首先，引入矩阵记号 (2.2.20)构造定理 如果函数形如(2.2.11)，那么，函数族构成的标准正交基即成为正交小波的充要条件是，矩阵是酉矩阵，即 (2.2.21) 事实上，必要性就是(2.2.16)、(2.2.17)和(2.2.19)，即(2.2.21)成立。下面讨论充分性，显然，由(2.2.21)容易得到以下结果，即函数族构成子空间的标准正交系，函数族构成的标准正交系，而且，它们是相互正交的。最后的问题是，这两个函数族合在一起构成空间的完全的标准正交系，即标准正交基。具体地说，对于的任何函数，如果对任何整数n和k都成立，那它必定就只能是零函数，即=0。事实上，因为，所以，其Fourier变换是这里。类似2.2.2.5的推理可得写成矩阵形式因是酉矩阵，所以，=0，于是=0而且=0。这说明了充分性。2.2.2.7正交小波的构造选取高通滤波器 (2.2.22)这时，由(2.2.20)定义的必为酉矩阵，所以，可得小波函数的频域形式 (2.2.23)由(2.2.12)可知 (2.2.24)从而，小波函数的时域形式为 (2.2.25)综合上述讨论，从的一个正交多分辨分析出发，利用尺度方程(2.2.10)给出的系数列和(2.2.12)给出的滤波器及形如(2.2.22)的滤波器，最后得到用(2.2.23)或(2.2.25)表示的正交小波，完成正交小波的形式构造。5说明Haar小波是正交小波(直接或MRA)；2.1.1 Haar小波Haar函数h(x)是数学家A.Haar在本世纪三十年代给出的。具体定义是这时，函数族构成函数空间的标准正交基，所以，Haar函数h(x)是正交小波，称为Haar小波。验证是比较容易的，只要注意到的图形随(j,k)变化的特点就可以了。这里示范性地给出h(x)和的几个图形，如图1.h1,1(x) 10-h1,0(x) 0 x -h(x) 1 1 0 x -1图1. 小波函数的图形2.3.1 Haar的多分辨分析定义函数:它是的特征函数，构造生成的闭子空间，。容易验证，是上的一个正交多分辨分析，这就是Haar的多分辨分析。实际上，这里的闭子空间具有如下的具体表表达形式即由能量有限的台阶函数组成，这些台阶函数的跳跃点至多出现在这样的点上，其中是任意整数。因为函数族是标准正交系，从而它必是的标准正交基。这时，双尺度方程是因此，所以，这样得到如下构造方程是一个正交小波，容易看出，她与前面的Haar小波函数相差一个符号。构造过程中相应的低通滤波器是高通滤波器是而且是酉矩阵6Meyer小波的构造方法；2.3.3 Meyer的多分辨分析选取函数（即只在有限区间范围内取值不为零而且任意次可微函数全体构成的族）具有如下形式：而且，当时，这时，构造尺度函数为是的Fourier逆变换则于是，是中的标准正交函数族。构造中的闭子空间序列和可以证明，是上的一个多分辨分析，它就是Meyer的多分辨分析。这时，双尺度方程的频域形式可写成从而，得到低通滤波器的公式相应的高通滤波器为最后得到Meyer小波的频域形式因为，所以，。另外还可以证明，对于任意自然数n,这说明Meyer小波非常光滑而且具有良好的波动特性。这一性质保证了Meyer小波在函数空间分析和其他一些对光滑性有特殊要求的理论分析中的重要作用。7构造Daubechies系列小波中的一个或两个；例1 选定，这时，由得方程组解之得根据系数有限共轭滤波器的构造及定义得最后得到共轭滤波器的系数是这时，尺度方程是构造方程是所以，尺度函数都是紧支的。例2 选，这时，。假设，则得方程组解之得根据系数有限共轭滤波器的构造及定义得最后解得这时，尺度方程是构造方程是所以，尺度函数都是紧支的。8给出Malvar小波的构造方法（共有3种）；9说明正交小波包的思想（空间再分割）；10正交小波包的定义；11. 小波包的频域表达形式；12. 小波包的两种正交性；13. 小波空间的小波包再分割；14. 小波空间的小波包再分割；15. 小波算法：分解和合成；矩阵形式；16. 小波包算法：分解和合成；矩阵形式；17. MATLAB中的Wavelet Toolbox的使用和理解；18. Gabor变换的时-频分析特性；Gabor变换是D.Gabor在1946年给出的，它继承了Fourier变换所具有的“信号频谱”这样的物理解释，同时，它克服了Fourier变换只能反映信号的整体特征而对信号的局部特征没有任何分析能力的缺陷，大大地改进了Fourier变换的分析能力，为信号处理提供了一种新的分析和处理工具，即信号的时-频分析。在介绍小波分析的时-频分析能力之前，先说明信号的Gabor变换和时-频分析。事实上，Fourier变换是一个强有力的数学工具，它具有重要的物理意义，即信号的Fourier变换 (3.1.1)表示信号的频谱。正是Fourier变换的这种重要的物理意义，决定了Fourier变换在信号分析和信号处理中的独特地位，特别是作为平稳信号分析的最重要的工具。但是，在实际应用中，所遇到的信号大多数并不是平稳的，至少在观测的全部时间段内它不是平稳的，所以，随着应用范围的逐步扩大和理论分析的不断深入，Fourier变换的局限性就渐渐展示出来了：首先，从理论上说，为了由Fourier变换研究一个时域信号的频谱特性，必须获得信号在时域中的全部信息，以致于包括将来的信息；其次，从应用的角度来说，如果一个信号只在某一时刻的一个小的范围内发生了变化，那么信号的整个频谱都要受到影响，而频谱的变化从根本上来说又无法标定发生变化的时间位置和发生变化的剧烈程度，也就是说，Fourier变换对信号的局部畸变没有标定和度量能力。但是，在许多实际应用中，畸变正是我们所关心的信号在局部范围内的特征，比如对音乐和语音信号，人们关心的是什么时刻演奏什么音符、发出什么音节；对图形边缘检测，很关心信号突变发生的位置和突变程度；对地震勘测而言，我们关心的主要问题是在什么位置出现什么样的反射波；另外，Fourier变换不能反映信号在各个指定时刻之附近我们所希望的任何频率范围内的频谱信息，即信号在局部时间范围内和局部频带上的谱信息分析，或称为局部化时-频分析，而这正是许多实际应用最感兴趣的问题之一；最后，因为一个信号的频率与它的周期长度成反比，所以，在应用中的一个自然而然的要求是，对于分析信号的高频信息，参与分析的信号的时间长度应相对较短，以给出精确的高频成分，对于低频信息，参与分析的信号的时间长度应相对较长，以给出一个周期内的完整的信息，换言之，就是要给出进行分析的一个灵活多变的时间和频率的“窗口”，使得由它给出的时域和频域的联合“窗口宽度”具有如下的制约关系，即在“中心频率(或称为平均频率、主频)”高的地方，时间窗自动变窄，而在“中心频率”低的地方，时间窗应自动变宽。Gabor在1946年的论文中，为了提取信号的局部信息，这包括时间和频率两方面的局部信息，引入了一个时间局部化的“窗口函数”，其中参数用于平行移动窗口，以便于覆盖整个时域。Gabor取为一个Gaussian函数，其原因有二：一是Gaussian函数的Fourier变换仍为Gaussian函数，这使得Fourier逆变换也是用窗函数局部化了的，同时体现了频率域的局部化；二是Gabor变换作为一般的“窗口Fourier变换”的最优性，这在后面将详细说明。第一个原因是Gabor当时的直接原因，第二个原因是在Heisenberg测不准原理明确之后才看出的，即在时-频窗面积最小的意义下，Gabor变换是最优的窗口Fourier变换。只是Gabor变换出现之后，才有了真正意义上的时-频分析。对于函数，其Gabor变换定义为 (3.1.2)其中 (3.1.3)是Gaussian函数，是固定常数，这个函数被称为“窗口函数”。计算知 (3.1.4)所以 (3.1.5)(3.1.5)说明，信号的Gabor变换对任何在时间的附近使信号的Fourier变换局部化了，对，这种局部化完成的如此之好以致于达到了对的精确分解，从而完整地给出了的频谱的局部信息，这充分体现了Gabor变换在时间域的局部化思想。接下来讨论Gabor变换是如何实现在频率域的局部化的。为此，引入记号 (3.1.6)那么Gabor变换可表示为 (3.1.7)这个等式可理解为，是对函数开了一个形如(6)的窗口，这也是称为窗函数的理由。将的Fourier变换记为，则 (3.1.8)再由中Fourier变换的Parseval恒等式，即对总有公式 (3.1.9)可将(3.1.2)和(3.1.7)变形为 (3.1.10)于是得(3.1.11)这说明，对于给定的观测时刻和固定的频率分量，除常数项之外，信号在具有时间窗函数的Gabor变换与信号在具有频率窗函数的Gabor变换是一致的，即两者给出的信息是一样的。只不过前者是时域形式，而后者是频域形式。这体现了Gabor变换在时域和频域观测的等效性。另一方面，如果引入记号 (3.1.12)则由(3.1.10)知 (3.1.13)即，在时域中用“量具”对信号的测量与在频域中用“量具”对信号的测量是一致的。这就是Gabor变换能对信号进行时-频分析的理论依据。19. 连续小波的时-频分析特性；设小波函数及其Fourier变换都满足窗口函数的要求，它们的中心和窗宽分别记为和与和，容易验证，对任意的参数，连续小波及其Fourier变换都满足窗口函数的要求，它们的中心和窗宽分别为和 (3.3.1)因此，连续小波的时窗是 (3.3.2)频窗是 (3.3.3)因此，连续小波的时-频窗是时-频平面上一个可变的矩形 (3.3.4)时-频窗的面积是 (3.3.5)只与小波母函数有关而与参数毫无关系，但是，时-频窗口的形状随着参数a而变化，这是与窗口Fourier变换和Gabor变换完全不同的时-频分析特性，正是这一特点决定了小波变换在信号时-频分析中的特殊作用。具体地说，对于较小的，这时，时间域的窗宽随着一起变小，时窗变窄(为了方便起见假定小波母函数的中心)，主频(中心频率)变高，检测到的主要是信号的高频成分，由于高频成分在时间域的特点是变化迅速，因此，为了准确检测到在时域中某点处的高频成分，只能利用该点附近很小范围内的观察数据，这必然要求在该点的时间窗比较小，小波变换正好具备这样的自适应性；反过来，对于较大的，这时，时间域的窗宽随着一起变大，时窗变宽，主频(中心频率)变低，检测到的主要是信号的低频成分，由于低频成分在时间域的特点是变化缓慢，因此，为了完整地检测在时域中某点处的低频成分，必须利用该点附近较大范围内的观察数据，这必然要求在该点的时间窗比较大，小波变换也恰好具备这种自适应性。这是小波变换作为时-频分析方法的独到之处，也是小波变换的又一迷人之处。 另外，因为函数或者信号的小波变换 (3.3.6)实际上提取的是在时间点附近和频率点附近本质上集中在时-频窗中的那部分时-频信息(为了方便起见，假定小波母函数的中心)。所以，从频率域的角度来看，小波变换已经没有象Fourier变换那样的“频率点”的概念，取而代之的则是本质意义上的“频带”的概念；从时间域来看，小波变换所反映的也不再是某个准确的“时间点”处的变化，而是体现了原信号在某个“时间段”内的变化情况。具体地说，信号的小波变换自适应地提取原信号在“时间段”内和“频带”内的时-频信息。所以，从信号到小波变换实际上是把信号在时间域局部化到范围内，而且在频率域局部化到范围内。这体现的正是小波变换所特有的能够实现时间局部化同时频率局部化的时-频局部化能力。这在信号故障时间或者故障位置的诊断、图象边缘提取、图象数据压缩、信号滤波等方面都有重要应用。20. 二进小波的时-频分析特性；由上述分析知，信号的小波变换实际上只是提取了在时-频窗中的那部分时-频信息(假定)，从频率域的角度来看，小波变换本质上是按“频带”的方式分析和处理信号，它本质上是信号在“频带”内的时-频信息，在参数固定的条件下，随着参数取遍非负实数，这些频带全体覆盖了原信号在固定时间点附近的各种频率成分，当然，它们之间的覆盖也是很严重的。根据小波变换的反演公式 (3.4.1)和吸收反演公式 (3.4.2)可知，一般来说，虽然的各部分之间有许多是重复的，但是，为了重现原始信号，每一个都是必要的缺一不可。当然，这并不是说在任何情况下都是这样，实际上，离散小波变换就是例外，特别是二进小波变换和正交小波变换，它们本质上成功地解决了“频带”重叠问题。由于连续小波的频窗是而主频或者中心频率是，显然，随着主频变高即参数的数值变小，自适应地使频窗变宽即变大，所以，从频率绝对分辨率来说，主频越高则频率分辨率越低，同时，参数的离散化方式必须满足这样的要求。二进小波变换的离散方式是，将参数离散化为序列，这时，二进小波函数对应的频带是 (3.4.3)因此，在一般情况下，频域划分实现如下 (3.4.4)显然，对一般的二进小波，这种划分虽然比连续小波的划分从数目上减少了许多，但仍然还有大量的重复，只有在二进小波的Fourier变换作为频窗函数满足 (3.4.5)时，频域的二进频带划分 (3.4.6)才是没有重叠的。这是一种真正的二进划分。相应的分析就是有名的二进小波分析。因为二进小波变换按频带而不是按频率点的方式处理频域信息，那么，它是怎样描述原信号在频带中的信息的呢？实际上，二进小波变换是用这个频带的中心频率处的“小波谱”来描述在中的局部频率信息的，即所谓的以“点”代替“带”的方式。这是二进小波时-频分析的特点。然而，对于数值计算来说，这还不够，因为“小波谱”中的参数应该取遍全部实数域，所以，对于任何整数，“小波谱”必须按参数进行重采样或者离散化参数。这个问题或者描述为利用离散数据重建，这时，问题集中表现为寻找函数空间的“子空间”的一组基或者一组标架(frame)，而这组基或标架应该由二进小波函数按某种方式表示出来，最后将展开成以为系数的线性组合；或者将这个问题改述为利用离散数据重建，进一步由小波反演公式最后重建原始信号，这时，问题表现为寻找函数空间的基或标架，而将原始信号表示为或展开为以离散数据为组合系数的线性组合。第二种解决方案导致正交小波的概念。21. 正交小波的时-频分析特性；考虑到数值计算和理论分析的特殊需要，对二进小波变换处理频域的方式进行时间参数的离散化，获得离散数据，为了保证原始信号域和变换域分析的一致性，当然应该要求离散后获得的数据按某种方式可以完全重建信号的小波变换或者原始信号本身。由第一章的介绍我们知道，最完美的一种解决方案就是正交小波分析。即选择小波，使函数族生成函数空间的标准正交基，这时，称为正交小波，而这个函数族称为的标准正交小波基。在这里，时间中心参数的离散化是与尺度参数的离散化有联系的，具体地说，对任意整数，当尺度参数时，时间中心参数，与此相应，频域中的“频带”是，而且对应于时间域上的就是函数空间上的闭子空间而且，与频域中互不相交的频带分割公式(3.4.6)相对应的是时间域中函数空间的正交闭子空间分解 (3.4.7)只有在这时，信号的时-频分析才具有明确的时域空间再分割的意义。正交小波分析显得异常的简单明了，信号分析过程的物理意义和数学意义同时都显得很清晰。另一方面，将函数空间的正交闭子空间分解的思想分别用于闭子空间，就产生了正交小波包的频域再分割理论。这在后面将得到充分的讨论。在正交小波分析的特殊情况下，原始信号的小波变换结果就是在离散二进网格点上的“正交小波谱”利用小波谱对原始信号的重建公式就是类似于Fourier级数的正交小波级数 (3.4.8)其中，是由正交小波产生的在各种不同尺度下中心在不同网格点处的再生正交小波，它们代表了一切可能的“基本单元”或者“时-频原子”，从“时-频原子分解”的观点来看，公式(40)说明，正交小波分析对应的时-频分析实质上是实现函数空间中任何信号“时-频原子分解”的一种有效途径。22. 小波包的时-频分析特性；23. Malvar小波的时-频分析特性；前面已经从一般的形式介绍了时-频分析小波，这里只简单介绍以H.Malvar的名字命名的特定的时-频小波。在这里，我们从小波变换的角度来分析前面已经详细讨论过的Gabor变换。这时，所用的连续小波就是Gabor的时-频小波它的基本特征是，将一个谐波按照时间参数分割成许多段，每次只保留一个小段，而将其余的全都仍掉，保留的小段在时间域本质上是有限长度的。所以，它在时间上是有开始和结尾的，在这两者之间存在一个振荡阶段，并以这种特定形式构成了一个小波。因此，可以抽象认为，Gabor的时-频小波由三段信息构成即开始、振荡和结束。但是，由于Gabor小波是由Gaussian窗函数与谐波的乘积组成，在进行信号分析时它没有离散快速算法，以至阻碍了Gabor小波的实际应用；另一方面，尽管全部的Gabor时-频小波构成的集合好象是的“基”一样，可以将空间中的任何信号展开成的“线性组合”即Gabor变换的反演公式但是，由于Gabor小波的时-频分析特性，人们最终还是放弃了它，而选中后来由Malvar构造的具有良好时-频分析特性的时-频小波，这些小波全都构成函数空间上的标准正交基，这就是著名的Malvar小波。有许多著名的小波都与它很相似。它实际上代表了一大类小波，这些小波之间可以用递推算法互相生成，而且Malvar小波本质上还包含时间-尺度小波作为其特例。因此，Malvar小波为信号处理提供了极其丰富的分析工具，最典型的应用就是信号的最优描述问题。关于小波理论与应用课程中几个问题的理解本学期我们学习了小波理论与应用这门课程，通过半个学期的学习，我们认识了小波变换这种新的变换分析方法。在老师的生动介绍和讲解的过程中，我逐渐地对小波分析的基本方法，基本思想，基本工具有了一定的了解。下面就把我对这门课程中几个问题的理解进行一下总结。小波分析是一种新的分析方法，是继Fourier分析之后纯粹数学和应用数学殊途同归的又一光辉典范。由于小波变换是从经典傅里叶变换发展起来的，而从傅里叶变换发展到小波变换的中间阶段是Gabor变换，因此首先谈一下我对傅里叶变换的局限性和Gabor变换的提出的一些认识。2窗口傅里叶变换的时-频分析下面谈一下我对窗口傅里叶变换的时-频分析特性的理解。窗口Fourier变换就给出了信号在时-频相平面上的一个时-频窗中的时-频局部信息。对于窗口Fourier变换的时-频分析能力，使用时-频窗之矩形的形状和面积来衡量。在时-频窗的形状固定不变时(这正是Gabor变换和窗口Fourier变换的时-频分析特性之一)，窗口面积越小，说明它的时-频局部化描述能力就越强；窗口面积越大，说明它的时-频局部化描述能力就越差。窗口傅里叶变换和Gabor变换发展了傅里叶变换,但是也存在着不足:(1) 没有离散正交基,没有快速算法;(2) 一旦窗函数选定之后,对窗口傅里叶变换和Gabor变换来说,时-频窗的窗口形状是固定的,它不能随着要分析的信号成分是高频信息或低频信息而相应变化,因此对非平稳信号的分析能力是很有限的。 3.几种小波变换工具的时-频分析首先看一下小波变换的时-频分析特性,看它是如何解决以上不足的.(1) 小波时-频窗的面积恒等于 ；(2) 小波的时-频窗是时-频相平面中的可变的矩形；(3) 小波时-频窗的变化规律： （a） 尺度参数a增大时，小波的时窗变宽，同时，它的主频变低，频窗变窄；由于低频成分在时间域的特点是变化缓慢，因此，为了完整地检测在时域中某点处的低频成分，必须利用该点附近较大范围内的观察数据，这必然要求在该点的时间窗比较大；（b） 尺度参数a减小时，小波的时窗变窄，同时，它的主频变高，频窗变宽. 由于高频成分在时间域的特点是变化迅速，因此，为了准确检测到在时域中某点处的高频成分，只能利用该点附近很小范围内的观察数据，这必然要求在该点的时间窗比较小。由此可见,小波变换具备的这种自适应性,这是小波变换作为时-频分析方法的独到之处.。可是, 从频率域的角度来看，小波变换本质上是按“频带”的方式分析和处理信号，它本质上是信号在“频带”内的时-频信息, 在参数固定的条件下，随着参数取遍非负实数，这些频带全体覆盖了原信号在固定时间点附近的各种频率成分，当然，它们之间的覆盖也是很严重的。当然,并不是任何情况下都这样,离散小波变换就是例外,特别是二进小波变换和正交小波变换,它