第三课时的教学设计

第三课时的教学设计 第三课时的教学设计 一 教学目标一 教学目标 1 知识与技能目标 1 体会最小二乘法和回归分析的思想 2 能根据线性回归方程系数公式建立线性回归方程 2 过程与方法目标 1 经历代数法寻求回归直线方程的过程 2 体验用计算器或工作表软件得出回归直线方程的过程 3 情感态度与价值观 通过对数据的分析和处理 增强学生应用数学知识解决实际问题的意识 体会数学应 用的广泛性 二 重点难点二 重点难点 重点 了解最小二乘法思想 会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 难点 体会最小二乘法和回归分析的思想 三 教学方法 三 教学方法 问题探究式和启发式教学方法 四 教学工具 四 教学工具 科学计算器 Excle 工作表软件以及多媒体电脑展示设备 五 教学过程 五 教学过程 1 1 复习引入 复习引入 首先展示学生上节课得出的不同直线 然后呈现问题组一问题组一 问题 1 如何评价这些直线拟合的优劣程度以及标准的合理性 问题 2 试文字语言概括最优拟合直线的标准 说明 说明 学生可能在对得出的不同直线评价其优劣性以及标准的合理性时会提出很多不同的 标准 为了防止漫无目的 教师对直线优劣性的判断提出一些基本要求 如尽可能考虑到 全部数据 体现整体性 尽可能便于数学计算等 并通过对标准的逐步修正 引导学生得 出最优直线的标准 从整体上看 各点与此直线最贴近 2 2 探求新知 探求新知 给出概念 我们把整体上最贴近已知数据点的直线叫做回归直线 设回归直线方程为 bxay 其中b叫做回归系数 坐标点 ii yx 表示第i个样本点 坐标点 yxi 表示 回归直线方程 bxay 上的点 点 ii yx 和点 yxi 的偏离差记作 yyi 问题组二问题组二 问题 1 如何从代数的角度刻画 从整体上看 各点与此直线最贴近 问题 2 n i i yy 1 能反映这些数据点与直线的贴近程度吗 该怎么规避呢 问题 3 比较 n i i yy 1 和 n i i yy 1 2 在 使各点与此直线的总偏离差最小 的判断 上可以等同吗 我们一般选择哪一个代数式作为我们研究的对象 为什么 说明 说明 1 学生可能会把 从整体上看 各点与此直线最贴近 理解为 各点与此直线的 离差之和最小 这样既是求代数式 n i i yy 1 的最小值 这时我们给出问题 2 学生可 能会想到加绝对值 也可能会想到平方 此时给出问题 3 因为学生在初二下学期的统计 学中的 数据的波动分析 中学习了方差的概念 并在课后的阅读与思考 数据波动的 几种度量 中了解了差的绝对值的和 n i i yy 1 与差的平方和 n i i yy 1 2 所以在这里 学生不难理解其等同性 这时可以给学生说明 为了计算方便 我们通常选择差的平方和 n i i yy 1 2 作为研究对象来求最小值 通过三个问题的设置 逐步引导学生利用最小二 乘法来求回归直线方程 2 如果有学生在问题 1 中把 从整体上看 各点与此直线最贴近 理解为 各点与此直线 的距离之和最小 这样既是求距离和 n i i d 1的最小值 在这里可以给学生从形的角度来 解释一下 PPT 通过图形我们看到 距离和 n i i d 1与差的绝对值的和 n i i yy 1 成比例 关系 所以二者在判断 整体上各点与此直线最贴近 上是等同的 为了计算方便 我们 通常选择差的平方和 n i i yy 1 2 作为研究对象来求最小值 这时给学生指出 这种使 离差平方和为最小 的方法叫做最小二乘法 这样就把学生从定性的观察引导到了定量 的分析 不仅完成了几何问题代数化的过程 而且在三个问题的引导下体会到了最小二乘 法的思想 问题组三问题组三 问题 1 怎样用最小二乘法求回归直线方程中的 ba 问题 2 回归直线方程中的 ba 的公式为 xbya xnx yxnyx b n i i n i ii 1 2 2 1 如何更好的认识和应用公式求出回归直线方程 说明 说明 1 教材没有给出公式的具体推导过程 在这里我们通过一个具体的例子来推导一下 以教材 74 页例 1 为例 即 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系 随机统计并制作了某 6 天卖出热茶 的杯数与当天气温的对照表 气温 0 C 261813104 1 杯数202434385064 解 我们将表中给出的自变量x的前 3 个值带入待定的直线方程 bxay 得到相应 的 3 个 y 的值 bababa13 18 26 这 3 个值与表中相应的实际值应该越接近越好 所以 我们用类似于估计平均数时的思想 考虑离差的平方和 2132156278811431169 1334 1824 2620 22 222 2 33 2 22 2 11 ababab bababa yyyyyyQ 先把a看作常数 那么Q是关于b的二次函数 易知 当 1169 571394a b 时 Q取得最小值 同理 把b看作常数 那么Q是关于a的二次函数 当 ba1926 时 Q取得最小值 因此 当 558 6 023 1 ab 时 Q取的最小值 此时回归直线方程为 xy023 1 558 6 这是根据具体实例 利用二次函数求最值的方法来求得了Q取最小值时 ba 的值 通过这 个特例 让学生简单了解了用最小二乘法求得回归直线方程中 ba 的值的过程 既避免了 直接给出公式的唐突 又不用花费大量的时间进行冗繁的推理 而对于一般情况下的推导 可以鼓励学生在课后自己尝试推导 并告诉学生 在选修 2 3 的相关章节中 我们会给出 另外一种推导方式 2 通过特例了解了如何用最小二乘法求得回归直线方程中 ba 的值后 我们直接给出 一般情况下的系数公式 由于公式比较复杂 因此在运用这个公式求 ba 时 必须要有条 理 先求什么 再求什么 这里可以分析 b 中分式的各个组成部分 让学生熟悉每一个数 据 以便求解 3 引导学生再观察回归直线方程 发现回归直线一定通过样本点中心 yx 在不确 定问题探讨中出现的确定性的性质 再次激发学生的探究欲望 而此问题的探究 使得学 生在 回归直线是两个变量具有相关关系的代表 的理解上 上升到 回归直线过双变量 样本点的中心 这一高度 深化对回归直线和回归思想的理解 完成学生认知结构的再次 建构 3 3 应用新知 应用新知 例 1 在某种产品表面进行腐蚀刻线实验 得到腐蚀深度Y与腐蚀时间x之间相应的一组观 察值如下表 sx 5101520304050607090120 mY 610101316171923252946 1 画出表中数据的散点图 2 试求Y对x的回归直线方程 结果保留到小数点后 3 位数字 3 试预测腐蚀时间为 100s 时腐蚀深度是多少 问题组四 问题组四 问题 1 回归系数b 的意义是什么 问题 2 预测腐蚀时间为 100s 时的腐蚀深度准确吗 你怎么理解回归方程的预测功能 说明 说明 1 这是教材的一个例题 在求回归直线方程时 我们采用的方法是 把数据列成表 格 代入公式分别计算 ba 的值 进而求出回归直线方程 通过本例 教师带领学生一起 来应用公式 求出回归直线方程 不仅让学生在学以致用中加深对公式结构的理解和认识 而且通过第三问的预测 体现了回归直线方程的应用价值 2 通过问题 1 让学生在具体实例中对回归系数b 再认识 强化了学生对数据的实际意义 的认识 问题 2 的设置 让学生在实例中正确认识回归方程的预测功能 体会到了回归直 线的应用价值 3 在学生通过具体实例 掌握了根据给出的系数公式建立回归直线方程的方法后 鼓励学 生尝试使用函数型计算器 参考教材例 3 和 Excle 工作表软件 详细过程参见附录 来 处理数据求得回归方程 需要说明的是 课标的要求是 能根据给出的线性回归方程系数 公式求出线性回归方程 所以必须要让学生掌握方法一 方法二和方法三并没有用到课本 所给出的公式 但是方法二和三的介绍会给学生在处理实际问题时带了很大的方便 为下 一节课作好铺垫 4 4 小 小结结和作和作业业 小结 了解最小二乘法思想 会根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 作业 课本第 79 页练习 A 第 1 题 习题 2 3 第 1 题 说明 说明 通过小结和作业 进一步明确本节课的目标 突出了教学重点 六 教学反思六 教学反思 1 1 关于本单元的教学设计是 关于本单元的教学设计是 2 2 个课时还是个课时还是 4 4 个课时的思考 个课时的思考 在进行本单元的教学设计时 我们遇到了到底安排几个课时进行教学的问题 如果把 统计理解为了解概念 会使用公式解题 那么 2 个课时就足够了 但是课标要求通过实际 问题学习统计知识 强调让学生通过解决实际问题 较为系统地经历数据收集与处理的全 过程 本节虽然知识内容不多 但引入新知识的过程中承载着新的数学方法 再加上这节 内容是统计必修内容的最后一节 实际上需要综合运用前面的知识 为了让学生真正动起 来 提升学生运用统计知识解决实际问题的能力 正确理解统计推断的结论 在实际的教 学中我安排了 4 个课时进行教学 2 2 关于如何通过几何问题代数化的过程让学生体会最小二乘法的思想的思考 关于如何通过几何问题代数化的过程让学生体会最小二乘法的思想的思考 如何把 从整体上看 各点与此直线最贴近 用合适的代数式刻画并化简 化几何问 题为代数问题 是顺利了解 最小二乘法思想 的前提 要了解 最小二乘法思想 还 必须要求对给出的系数公式的来源进行一定的说明 而如何化简复杂的代数式 学生缺乏 处理的经验 在计算能力的要求上也很高 知识发展的要求与学生能力和经验的欠缺成为 本节课遇到的最大矛盾 在教学中 我认为要防止两种倾向 一是直接套用公式求解回归 方程而回避说理过程 二是过多纠缠于数学刻画过程 甚至在课堂内花大量时间对回归系 数公式进行推导 这两种倾向 都脱离了课标的要求 前者忽略了 最小二乘法思想 迷失了本节课的教学目标 后者人为拔高教材要求 偏离了本节课教学的重难点 基于此 我在教学中通过问题组的设置一步步引导学生完成几何问题代数化 并通过特例 利用二 次函数求最值的方法来求得了Q取最小值时 ba 的值 突破了本节课的难点 3 3 关于合理使用计算器的意义的思考 关于合理使用计算器的意义的思考 使用计算器降低了计算的难度 就可以给学生安排更多的动手操作的机会 从而使学 生的活动集中于解决问题之中 这样就会使学生淡化回归直线系数公式的记忆 更多的思 考如何处理数据 以及对回归方程的推断作用进行更多的全面的思考 这也符合课标对学 习统计学的要求 附录 附录 1 一般地求系数公式的一种推导过程 一般地 设有n个观察数据如下 x 1 x 2 x 3 x n x y 1 y 2 y 3 y n y 222 1122 nn Qybxaybxaybxa 记 n y y n x x n i i n i i 11 所以 n i i n i ii n i i n i i n i i n i ii n i i n i i yaynbyxabxnnabx yaybyxabxnabxQ 1 2 1 22 1 2 1 2 111 22 1 2 222 222 先把a看作常数 那么Q是关于b的二次函数 易知 当 2 22 1 2 1 n i i n i ii x yxaxn b 时 Q取得 最小值 同理 把b看作常数 那么Q是关于a的二次函数 当 xby n ynbxn a 2 22 时 Q取得最小值 把 xbya 带入 2 22 1 2 1 n i i n i ii x yxaxn b 得 xbya xnx yxnyx b n i i n i ii 1 2 2 1 2 利用 Excel 表格求解回归直线方程的步骤及操作说明 1 直接在工作表中输入数据 2 选中数据 单击数据区域的第一个单元格 再拖动鼠标到最后一个单元格 3 单击 图表向导 或在 插入 菜单上单击 图表 4 单击 图表类型 单击 完成 按钮 得到数据的散点图 5 单击选中散点图中的任一点 在 图表 菜单上单击 添加趋势线 或右击 在 弹出的菜单中单击 添加趋势线 6 单击选中 类型 选项卡中 线性 选项 单击 确定 按钮 得到数据的回 归直线 7 单击选中数据的回归直线 在 格式 菜单上单击 趋势线格式 或右击 在弹 出的菜单中单击 趋势线格式 8 单击选中 选项 命令 单击选中 显示公式 复选框 单击 确定 按钮 得 到数据的回归直线方程 张红娟 各位老师大家好 我是苏州市第五中的数学老师 张红娟 今天我说的课题是线 性回归方程 本节内容主要有四部分组成 一是教学分析 二目标定位 三教学过程 四教法分析 在教学分析中 主要有两部分内容 1 从在教材中的地位和作用来看 2 学情分析 1 从在教材中的地位和作用 本章统计学的主要核心思想是研究客观事物的数量特征 和数量关系 根据搜集的数据来整理 归纳和分析 以便对客观事物规律性的数量表现出 统计上的解释 本节内容就是通过收集现实问题中两个有关联变量的数据做出散点图 并利用散点图 直观认识变量间的相关关系 经历用不同估算方法描述两个变量相关的过程 知道最小二 乘法的思想 能根据给出的线性回归方程系数建立线性回归方程 是回归分析中的具体做 法 2 学情分析 本章内容是在学生学完了平均数及其估计 方差及其标准差后学习的 平均数可以衡量样本的整体情况 方差跟标准差可以判断样本的稳定情况 本节课则要给 出的数据猜测在一定条件的下 其他样本的情况也需要学生很强的观察能力 较强的运算 能力 而本单元学生在观察整体感不强 运算能力较弱 再有热茶的推导出最小二乘法的思 想时 学生不易弄懂 在这里要根据学生具体情况多举实例 让学生体会在实例中探究 目标定位 有两部分内容 1 教学目标 分三部分内容 1 了解线性回归的方法及用最小二乘法研究两个变量的线性相关问题的思想方法 2 会根据给出的线性回归系数共识建立线性回归方程 3 回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的运用 应用回归直线方程可以把非确定 性问题转化成确定性问题 把 无序 变为 有序 并对情况进行估测 补充 因此 学 过回归直线方程以后 应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识 本节的教学重点 对相关关系的理解 认识 用线性回归方程表示线性相关关系 2 教学难点 最小二乘法的思想得出 教学过程 有五部分组成 1 问题情景 2 学生活动建构数学 3 数学理论 4 数学运用 5 回顾反思 1 问题情景 主要是高斯巧算 谷神星 的数学史以及俗语 也就是有些教师常说 如果你的数学成绩好 那么你的物理学习就不会有什么大问题 按照这种说法 似乎学 生的物理成绩与数学成绩之间也存在着某种关系 你如何认识它们之间的关系 通过数学史和俗语引入课堂 一是调动学生的学生兴趣 二是引入世界上万物间都有 的联系 有确定的函数关系 也有不确定的相关关系 为下面的问题打下铺垫 其次通过 现实生活的实例 热茶销售量和各气温之间的表格 能让学生建构学习提出三个问题 问题一 如果每一天的气温是 18 度 这天的热茶销售量一定是 24 杯 问题二 当气温是 5 度时 能够根据这些数据预测这间小卖部卖出的热茶的杯数 问题三 气温与杯数能否用确定的函数关系表示出来 通过热茶销售量与气温之间的关系 让学生感受到相关关系与函数关系的区别 进一 步强化对相关关系的认识 通过本例感受 运用统计学方法处理相关关系的过程 运用数 学理论和方法处理样本数据 建立数学模型 进行预测和估计 在问题的基础上让学生画出散点图 通过散点图让学生观察图中六个点情况 直观启 发学生发现线性相关特点 数据点分布在一条直线的附近 从而引导学生思考 能不能用 一条直线近似表示气温 X 与杯数 Y 之间的关系 进行以下的四个探究 探究 1 散点图分布在什么直线附近 探究 2 如何衡量直线与散点图中的点的接近程度 探究 3 能否用某个函数近似的表现这个相关关系 探究 4 用怎样的函数可以近似的表示这个相关关系 其中探究 1 和探究 2 通过学生的自主探究去思考什么直线最近 以来揭示相关关系 转化为函数关系的思想方法 从探究中寻找答案 也能让思维得到升华 探究 3 和探究 4 引导学生探索描述相关关系的数学模型 让学生猜想散点在一定直线附近可用线性函数 进行拟合 在线性探究的基础上 让学生再去思考如何判断哪条直线拟合最好 要求学生 将表中给出 x 的 6 个值代入直线方程 相应的 6 个 y 的值 这 6 个值应该与表中相应的实 际值越接近越好 所以我们用类似于估计平均数时的思想 考虑离差的平方和 让学生探究平方和何时取得的最小值 在学生自主探究的基础上得出数学理论 1 最小平方法 2 线性相关关系和线性回归方程 在数学理论基础上 通过两道例题巩固这节课的内容进行适当的运用 例 1 求三点 3 10 7 20 11 24 的线性回归方程 通过例题 1 主要让学生体会 简单的计 算线性回归方程的步骤 让学生熟悉解题过程 锻炼其解题能力 例 2 用五个学生的数学和物理成绩用表格体现 通过与学生最接近的实例 计算线 性方程的计算过程 猜测自己的化学和数学是否有线性相关关系 并且猜测 如果数学考 了 90 分 则其物理估计是多少分 在这两道例题的基础上 得到了线性回归方程的一个步 骤 1 列表 列出有关 iiii x y xy 的表格画出散点图 2 计算 计算出 x 平均 y 平均以及 i x 的平方 i y 的平方 ii x y 的和 3 代入公式求出 a 和 b 4 从而列出直线方程 这一堂课 主要是一堂新授课 这堂课采用了问题到探究 运用的一个教学模式 其 课堂教学主要分为问题情景 学生活动 建构数学 数学理论 数学应用 回顾反思五个 环节 其核心思想是通过实例引导学生发现什么用函数来拟合 为什么用一次函数拟合 这也是本节的难点 我在处理这节课时 多举与他们息息相关的例子 如热茶销售量与温度 化学与数学 的关系 调动学生的兴趣 本节内容虽然简单易懂 主要培养学生的观察 运算能力 当然在这堂课中 还可以 根据学生的提法拟合其他函数 让学生发现哪种函数拟合的效果更好 以上是我授课的内容 主持人 大家看完这两个片断 先请罗强老师给我们做一下分析 罗强 看了杨彬老师的教学过程 我认为里面有一个比较突出的亮点 她引入了 Excel 的 软件平台进行通过实践让学生上台实践操作 来体会这样一个线性回归的过程 我认为新 课程很突出让我们在数学教学中强化信息技术和数学教学整合 在这个教学内容中间是一 个很好的运用现代技术解决数学问题的一个学习课题 Excel 这个软件在处理线性回归问 题的时候有几个比较突出的优点 第一优点 操作比较简便 在课堂上面学生上台 在教学过程中完成了整个操作过程 第二 拟合的过程比较全面 有线性的拟合 还有指数 还有多项式 对数的等等 第三 我认为他们在处理当中比较快捷 第四 用 Excel 来处理线性比较完整 也可能得到拟合的曲线 也还可以得到拟合的 方程 还可以计算相关系数 判断拟合的效果 所有这个软件平台运用在这教学中间是比 较恰当的 这是我认为杨彬老师运用 Excel 在这堂课当中使用还是比较成功的 但是我认为杨老 师在这堂课当中有一点值得提出商榷 如提出教材中的一个例题让学生在课堂观察 使用 哪一个曲线拟合比较恰当 学生观察以后指出用指数函数比较恰当 杨老师提出我们在拟 合的时候一定要先观察散点的走势 然后再进行拟合 不要犯课本上的错误 指课本上的 错误是因为课本上用了一个线性拟合 我们线性拟合有好有坏 但是对跟错是不是不恰当 现在第一次学回归分析 最简单的拟合其实就是线性回归和线性拟合 这个是学生比 较能够理解接受 我想对线性回归的分析 不是一步到位的过程 是循序渐进的过程 那 么在这第一堂课的时候 不要提拟合的好坏 先让学生体会拟合的这样一种过程 这样一 种思想 第二堂课 张红娟老师的课 里面有三个比较突出的亮点 第一个亮点 在新授课的时候 引入了一个高斯巧算 谷神星 的故事引入线性回归 方程 我认为这个故事还是有一个很大的价值 一方面它是一个真实的故事 二方面它反 映的思想是 我们数学可以由已知来推测未知 由局部来推测整体 而这里面一个很重要 的数学规律就是线性回归 这就是我们接下来学习的一个数学知识 既揭示了知识的价值 激发了学生的学生兴趣 这一段的处理还是非常成功 第二个亮点 淡化了最小二乘法的推理过程 而重点展示数学家怎么来思考这个过程 数学家的思维过程 帮助学生理解线性回归这个知识的来龙去脉 比如张老师提出一个例 子 比如热茶的销量与气温的关系 然后她先问了三个问题 一组问题串 表中的数据中 18 度销量 24 杯 是不是一定 24 杯 说明这个数据仅仅是一个统计结果 也许有误差 但 是他不影响我们做出推断 第二个问题是表外的数据负度 能不能推测我卖出多少杯 这 反应了我们的一种需要 学生可以凭直觉进行推测 因为这里面已经隐含了一个线性回归 的关系 第三卖出热茶的杯水与气温能否用确定的函数关系表示 如果不能够用一个确定 的表示 能不能用一个近似的函数进行表示 在探索的过程中又提出四个问题 第一 散点图分布在什么直线附近 第二 如何衡量直线与散点图当中点的接近程度 第三 能否用某个函数近似表示这个相关关系 第四 用怎样的函数可以近似表示这个相关关系 这一组问题 我想可以比较好 当然不可能非常深刻 他是非常好的展示了我们这个 线性回归知识的来龙去脉 第三优点 张红娟老师这堂课是现场上的 当时和另一个老师两个人同时开课 两个 老师这个课堂教学 我们认为各有利弊各有优点 但是张老师有一个比较突出的优点 就 是教学效果比较明显 因为他这个课堂最后阶段有一些学生上黑板练习这个过程 当时学 生练习的准确率非常高 她在教学过程中 强化了一个求线性回归方程的步骤 共四个步 骤 列表 画散点图 计算代入求 a b 然后列出直线方程 这是一个数学的技能 例如程序性技能 数学技能知识的教学 要让学生掌握有两个基本办法 一个要反复 不可能一次掌握 这就如一个技能 太极拳 看一遍学不会 得需要练 二个是纠错 当 时张老师在课堂上面让学生上黑板 充分暴