期权定价与避险

权证定价与避险策略研究权证定价与避险策略研究 权证定价与避险策略研究 上证联合研究计划课题报告 权证定价与避险策略研究 一 文献综述 如何为期权定价在金融领域已经有很长的历史了 早在 1900 年法国数学家 Bachelier 在其投机理论一文中提出用 公平赌博 的方法 Fair Game Approach 得 出到期日看涨期权的预期价格公式 但他的工作并没有引起金融界的重视 在其后半个多世纪里 期权定价理论进展甚 微 期权定价方面的新发展始于 1960 年 其中 主要有 Sprenkle 的看涨期权价格模型 Samuelson 的欧式看涨期权模型等 但是这些模型都是不完善的 如包含着某些 无法准确估计的参数 定价公式依赖于特定投 资者的偏好等 1 B S 模型 现代期权定价理论的革命始于 1973 年 Fischer Black 和 Myron Scholes 1973 发表了 期权定价和公司财务 一 文 在一系列严格的假设条件下 通过严密的数 学推导和论证 提出了后来被称为 Black Scholes 模型 下称 BS 模型 的期权定价模型 成为期权定价理论研究中的开 创性成果 其中心思想是在已知股票价格未来 分布的假设下 可以用股票和一个无风险债券组合动态复制期权的收益进行避险 而期权的价格就等于动态复制所需的 成本 这一定价模型现已成为交易商们所普 遍使用的一个定价工具 极大地推动了衍生产品市场的深入发展 由于其严密的逻辑 形式上的优美及计算上的简单 BS 模型在实践应用方面被广泛采用 但理论本身涉及一些与 实际环境不相吻合的假设 导致 BS 模型价格 与实际期权的市场价格经常有很大的差距 因此该模型价格只能作为参考价格 具体是由以下两个因素所造成的 1 交易成本与交易的不连续性 BS 模型中假设不存在交易成本且证券交易是连续的 发行商采用 Delta 值 即期 权价格相对于标的股票价格每单位变动的变动 可由 BS 公式得出 避险策略 必须连续地微小地调整期权与股票的头寸 以消除市场价格风险 而实务中 由于交易成 本的存在 采取这样的动态连续避险操作会导 致过高的累积交易成本 因而只能采取间断性避险 虽然间断性避险降低了交易成本 却增大了避险误差 使得投资组合 不能保持无风险状态 2 股价分布与波动率 BS 模型所假设的股票价格的分布和实际分布不同 根据模型得到的避险头寸值也就并不准 确 这也造成动态复制的成本偏离期权价格 针对 BS 模型的这些与实际不符的假设条件 很多学者进行了修正与推广 主要地可分为两类 1 不完美市场 包括 引入交易成本及非连续避险 2 股价收益率 及波动率分布过程 采用与 BS 模型不同的假设 另外 也存在其它一些修正 如针对 BS 模型中利率固定的假设 引入随 机利率模型等 2 不完美市场 Leland 1985 开创性地提出对 BS 模型采用一种修正的波动率 来解决交易成本带来的避险误差问题 其基本思想 是 在连续时间的 BS 模型框架下 假设在给定 的时间间隔进行避险调整 通过在波动率中加入包含交易成本的因素 使得期权价格的增加恰好能抵消交易成本 从而对 BS 公式做出修正 使之仍可应用于避险操作 Leland 模型虽然比 BS 模型有所改进 但其策略并不是最优策略 有研究表明 这种避险策略并不能精确地避险 Whalley 和 Wilmott 1997 通过对最优化系统的 渐进分析 提出了一个相对容易实行的避险算法 他们提出一个决策规则 在每个时间瞬间监控股价并决定是否进行避 险头寸调整 从而解决巨幅累积交易成本的问 题 其基本思想是 投资者的 Delta 避险策略由市场的运动决定 如果 Delta 与实际持有的资产数量的差大于投资者指 定的避险带 则资产组合就需要重新调整 到 Delta 期权价值还是由期望收益率等于无风险利率决定 3 股价收益率及波动率分布 虽然 BS 模型被广泛应用于权证的定价 但对标的股价的实证研究表明 BS 模型并不能很好的刻划股价波动率的以下 几方面的特征 1 波动率微笑 Volatility Smile 按照 BS 模型的假设 隐含波动率应该与执行价无关且是常数 而实际上隐含波动率作为执行价格的函数曲线呈 现两头上翘的形态 2 肥尾 Fat Tails 分 布 即资产收益率分布在极端情况的概率大于相应的正态分布的概率 呈现肥尾分布 3 群聚 Clustering Effect 现 象 即波动率一个时期高而另一个时期低 且 在不同时期间的变换是不可预测的 4 均值回复 Mean Reversion 即波动率围绕一个常数值震荡 意味着波动率倾向 于回到长期均值的水平 5 杠杆作 用 Leverage Effect 即波动率与股价运动之间存在负相关关系 6 其他经验特征 如隐含波动率期限结构 隔夜与 周末效应 分红效应 溢出效应 信息到达 效应等 因此 对于经典的 BS 模型假定标的资产价格服从几何布朗运动 波动率为常数这些假设 学者们提出了多种修正 推广建模方法 Merton 1976 提出股价路径应是一个跳跃扩散过程 如果资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无关的话 就 属于可分散风险 可分散风险不应该获得期 望收益 利用几何布朗运动描述只有系统风险的资产价格运动 用 Poisson 随机过程描述产生非系统风险的偶然的资产 价格的跳跃 并且假设跳跃幅度服从正态分布 通过求解随机方程可得出期权定价公式 对于 BS 模型中波动率为常数的修正 大致上可根据所指定的波动率函数的特点分为两类 1 确定性波动率模型 这 类模型是将波动率作为标的股票价格水平的 函数 主要包括方差弹性为常数的 CEV 模型 The Constant Elasticity of Variance Model 及 IDV 模型 Implied Deterministic Volatility Model 2 随机波动 率模型 它们假设波动率服从一个随机过程 这两类模型均需要利用期权市场的数据来估计模型的参数 二 模型描述 由于目前我国内地尚不存在权证市场 各种定价模型的定价效率尚无法进行检验 一些定价模型 比如确定性 随机 波动率模型的参数亦无法估计 所以我们将 重点研究在间断避险及存在交易成本情况下 各种避险策略的避险效果问题 下面对相关模型作出描述 1 股价过程假设 在 BS 模型中 假设股价服从几何布朗运动 也就是说有一个固定的期望报酬率及一个固定的方差 同时还对市场做 了如下假设 1 无风险利率已知且在合约期限内为常数 投资者可以无风险利率自由借贷 2 股票不分发股利也不做任何其它形式的利润分配 3 期权为欧式的 即只能在到期时履约 4 买卖股票与期权时无交易成本 5 对卖空没有任何限制 6 交易时间及价格变动是连续的 2 B S 定价公式 根据伊藤定理 期权及股票的报酬都受相同的不确定性的影响 因此 若以股票及期权构造一投资组合 包含 Delta 单位标的股票的多头及一单位期权的空头 则 报酬的不确定性将被消除 在一个极短的时间内 该组合的价值变化独立于股价的变化 因为当股价变动时 如果避险 是连续进行 期权的价值变化恰好将股价的变 动抵消 消除了随机项 使得该投资组合在建立头寸的瞬间是无风险的 值得注意的是 这样的投资组合并不是永远无风险 它只有在很小的时间间隔内才无风险 当股价随着时间而改变 时 需要连续地调整组合中期权及股票的比例 也就是要连续避险 才能形成无风险的避险组合 在无套利的假设下 该投资组合的收益率应该等于无风险利率 再加上欧式看涨期权的边界条件 即可推导出欧式看 涨期权的定价公式 由定价公式可知 期权价值是由 5 个变量所决定 包括标的股价 S 履约价 K 无风险利率 r 剩余期限 T t 及标 的股报酬率标准差 这 5 个变量的变动会 影响期权价值的变动 模型中的五个变量 除标的股标准差 即波动率外 均可以从市场上直接获得 见表 1 3 避险策略 从 BS 公式的推导过程中可得出发行商所采用的避险策略 首先 发行商出售认购权证获得资金 C 元 然后借入资 金 元 利用这部分资金买入 N d1 delta 值 即避险比率 份标的股票 并随着时间及 delta 值的变化 连续调整所持 有的标的股票份数 这种根据 delta 值的变化随 时调整避险仓位的策略 是一种动态避险策略 称为 delta 避险策略或 delta 中性策略 4 存在交易成本的间断避险策略 明显地 在实务环境下 无交易成本及连续避险是不可能的 在进行权证避险时 需要对此作出修正 Leland 模型 Leland 1985 给的存在交易成本条件下的避险策略 是在 BS 公式的基础上 通过调整波动率进行的 他将波动率加 上一个与交易成本及避险间隔相关的调整项 将调整后的波动率代入 BS 模型可以得到调整后的避险比率 Delta 区间避险策略 Delta 区间避险策略 是指当 Delta 超出预定范围时才调整标的股票的避险头寸 有两种调整方法 一是按照一个理 想的 Delta 值进行避险 其次是进行一个最小 的避险交易以使 Delta 值保持在预定的范围之内 定义 H 为理想 Delta 值的偏离 D 是实际持有的标的股票头寸 即 H D Delta 当 H 超过预设值时 重新调整避险头寸使 得 H 0 效用最大化策略 效用最大化策略试图寻求一种全局最优的避险策略 其做法是 首先为避险操作定义一个效用函数 然后最大化该 效用函数的期望值 Whalley 和 Wilmott 通过 对最优化系统的渐进分析 给出了一个相对容易实行的避险算法 即给出了避险头寸的的避险带 Delta Bt Delta Bt 并 给出了避险带宽度为 2Bt 的计算公式 相应 的避险策略是 当现有避险头寸小于本期 BS 的 Delta 值减 Bt 时 需要将避险头寸调整到 Delta Bt 当现有避险头寸大于 本期 BS 的 Delta 值加 Bt 时 需要将避险头寸调整 到 Delta Bt 若现有避险头寸在这两个值之间 就保持原有头寸不变 其中 Bt 的值与投资者风险厌恶系数有关 三 模拟分析 在 BS 模型中 除了波动率以外的资料均可由市场中取得 因此我们只需要估计波动率 一般使用的波动率为历史波 动率及隐含波动率 历史波动率的计算较为 简单 但有两项缺点 1 没有考虑将投资者对标的股票未来波动率的预期 2 估计期间长短的选取 若期间太短可能会 面临估计错误的风险 若太长又可能与未来 波动率的相关性不高 由于我国市场上还不存在认购权证或场外期权 故无法采用隐含波动率 本文采用三个月的历史 波动率 作为三个月期限认购权证波动率的 估计 以避免使用历史波动率的缺点 以下说明应如何估计历史波动率 1 波动率的估计 在实证上要估计股价的波动率 通常是取固定间隔时间的股价资料进行估计 如 每日 每周 每月等等 定义 n 1 股票价格样本区间 Si 第 i 个时间间隔的股票价格 时间间隔的长度 以年计算 令 ui lnSi Si 1 i 0 1 2 n 要估计股价的波动率 也就是估计 i 的标准差 其中 u 是 ui 的算术平均 ui 的标准差相当于 的估计值 因此可以用 作为波动率 的估计值 利用上述方法 我们估计上证 50ETF 的波动率 2005 年 2 月 23 日至 2005 年 5 月 13 日 共计 53 个交易日数据 为 0 1853 2 方法描述 为比较各种避险策略的效果 我们以上证 50ETF 为标的的认购权证为例 本文以下所用到的参数如下 标的现价 S0 0 762 执行价格 K 0 762 期望收益率 4 5 漂移率 即期望收益率 取为无风险利率 波动率 0 1853 期限 T t 0 25 T t 为权证的 存续期限 以年计算 0 25 即表示三个月期限 无风险利率 r 4 5 这是根据目前发行商的融资成本得出的一个经验 估计值 单边交易费率 k 0 15 因为我国市场上尚不存在认购权证 因此 我们采用 Monte Carlo 模拟的方法 对各种避险策略进行检验 步骤如下 1 生成服从几何布朗运动的股价路径 2 检验避险头寸是否需要进行调整 并将头寸调整产生的交易成本及最新避险头寸进行记录 计算头寸调整总成本 的现值 3 到期时 支付行权收益 各种避险策略的总损益 等于避险误差与交易成本之和 即避险头寸市值的现值 交易成本现值 负值 行权支付 负值 及权利金收入之和 各种避险策略的 权利金收入均等于 BS 公式计算的价值 本文采用 95 的 VaR 值作为衡量各种策略避险效果的标准 3 模拟结果 我们通过 Monte Carlo 模拟的方法对几种避险策略进行了检验 1 固定时点的 B S 模型 95 的可能性最大亏损不 超过 0 01291 2 固定时点的 Leland 模 型 95 的可能性最大亏损不超过 0 01198 3 Delta 区间避险 95 的可能性最大亏损不超过 0 01281 4 Whalley Wilmott 避险带策略 95 的可能性最大亏损不 超过 0 0107 见表 2 在我们的例子中 以 95 的 VaR 作为衡量标准 避险效果最好的是 Whalley Wilmott 避险带策略 对应的最优风险厌 恶系数等于 2086 产生的初始避险带是 BS Delta 值上下浮动 0 02 如果避险头寸小于 BS Delta 0 02 需要将其调整为 BS Delta 0 02 如果避险头寸大于 BS Delta 0 02 则将其调整为 BS Delta 0 02 如果避 险头寸介于 BS Delta 0 02 与 BS Delta 0 02 之间 则不需调整 本研究报告结论 本文提供了一个权证定价理论的回顾及介绍 期权定价理论的经典模型是 BS 公式 由于计算比较简单 B S 模型在 实践应用方面被广泛采用 但理论本身涉及 一些与实务不吻合的假设 诸如完美市场假设 股价变动过程呈现对数正态分配 股价波动率 Volatility 固定不变及 利率水平不变等等 对这些假设条件的放松或改进 产生了许多的定价模型 比如对利率水平不便的放松 产生随机利率下的期权定价 模型 对于波动率为常数假设的放松 产生确 定性波动率模型 Deterministic Volatility Model 随机波动率模型 Stochastic Volatility Model SV Model 等 对于股价对数正态分布假设的改进 产生 跳跃扩散过程 GARCH 过程及 Levy 过程等分布下的期权定价模型 对于完美市场假设 连续交易及零交易成本 的放松 产生 Leland 模型 Wilmott 模型等 由于我国内地市场目前尚不存在权证市场 定价模型的定价效率尚无法进行检验 我们采用 Monte Carlo 模拟的方 法 研究了在间断避险及存在交易成本情况下 各种避险策略的避险效果问题 检验的避险策略包括固定时点的 BS 模型 固定时点的 Leland 模型 Delta 区间避险 及 Whalley Wilmott 避险带策略 结果发 现 Whalley Wilmott 避险带策略要优于其它避险策略 我们对各种避险策略效果的检验过程中 采用的衡量标准是 VaR 值 值得说明的是 不同的衡量标准可能会产生不 同的结论 由于采用 Monte Carlo 模拟的方法 在检验过程中也没有考虑随机波动率 买卖价差及股价的跳跃等问题 另外 检验过程也没有考虑我国市场的一些特殊 情况 比如卖空及涨跌幅限制等 这些都是 后续研究应注意的问题 权证定价内在机制及理论演化过程 权证是一种衍生证券 给予持有人这样一个权利 在约定的时间 按照约定的价格 买入或卖出约定数量的标的资产 持有人执行此权利的约定价格 称为 履约 价格 或 执行价格 此权利可被执行的最后日期称为 到期日 美式权证 可以在到期日前的任意交易日执行 而 欧 式权证 仅能在到期日执行 权证分为公司权证 Company Warrant 及衍生权证 Derivative Warrant 两类 衍生权证通常由券商等金融机构发 行 主要目的是理财及避险 行权后并不增加 标的公司的股本 本文所指权证均属此类 因理论上美式权证与欧式权证定价的一致性 本文将以欧式股票认购权证为 例讨论权证的定价与避险 本质上 认购权 证是一种看涨期权 故可用看涨期权的定价模型及避险策略来进行相应分析 权证的定价问题可作如下直观表述 一位上证 50ETF 认购权证的持有者 在到期日有权利但非义务 以事先约定的 履约价格购买一份上证 50ETF 如果届时履约 价格低于上证 50ETF 的市场价格 即权证处于 价内 投资者将在到期日行使权利买进上证 50ETF 因此 权证的定价模 型首先要回答的问题是 如何评估标的股票 如 上证 50ETF 在到期日的价格水平 如果能够找到合适的途径来刻划标的股票的动态过程 接下来的问题就是 如何利用标的股票的动态过程推算出权 证现时的价值 在期权定价理论中 复制 Re