2012高二数学 1.1.2余弦定理学案 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 1 1 21 1 2 余弦定理余弦定理 学习目标 1 掌握余弦定理的两种表示形式 2 证明余弦定理的向量方法 3 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 学习过程 一 课前准备 复习 1 在一个三角形中 各 和它所对角的 的 相等 即 复习 2 在 ABC中 已知10c A 45 C 30 解此三角形 思考 已知两边及夹角 如何解此三角形呢 二 新课导学 探究新知 问题 在ABC 中 AB BC CA的长分别为c a b AC ACAC 同理可得 222 2cosabcbcA 222 2coscababC 新知 余弦定理 三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们 的夹角的 的积的两倍 思考 这个式子中有几个量 从方程的角度看已知其中三个量 可以求出第四个量 能否由三边求出一角 从余弦定理 又可得到以下推论 222 cos 2 bca A bc 理解定理理解定理 c a b AB C 用心 爱心 专心2 1 若C 90 则cosC 这时 222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广 勾股定理是余弦定理的特例 2 余弦定理及其推论的基本作用为 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边 已知三角形的三条边就可以求出其它角 试试 1 ABC中 3 3a 2c 150B 求b 2 ABC中 2a 2b 31c 求A 典型例题 例 1 在 ABC 中 已知2 3 a 62 c 0 60 B 求 b 及 A 变式 1 在在 ABC ABC 中 若中 若 3 bcacbcba 则则A A A 0 90 B B 0 60 C C 0 135 D D 0 150 例 2 在 ABC中 已知 3abc abcab 且2cossinsinABC 试确定 用心 爱心 专心3 三角形的形状 变式 2 在 ABC 中 若 coscoscosCcBbAa 则 ABC 的形状是什么 三 总结提升 学习小结 用心 爱心 专心4 1 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律 勾股定理是余弦定理的特例 2 余弦定理的应用范围 已知三边 求三角 已知两边及它们的夹角 求第三边 知识拓展 在 ABC中 若 222 abc 则角C是直角 若 222 abc 则角C是钝角 若 222 abc 则角C是锐角 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 已知三角形的三边长分别为 3 5 7 则最大角为 A 60 B 75 C 120 D 150 2 已知锐角三角形的边长分别为 2 3 x 则x的取值范围是 A 513x B 13 x 5 C 2 x 5 D 5 x 5 3 在 ABC 中 AB 5 BC 6 AC 8 则 ABC 的形状是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 非钝角三角形 4 在 ABC中 AB 3 AC 2 AB 与AC 的夹角为 60 则 AB AC 5 在 ABC中 已知三边a b c满足 222 bacab 则 C等于 课后作业 1 已知在 ABC 中 45A 2 a 6 c 解此三角形 2 如图 在四边形ABCD中 已知AD CD 10AD 14AB 60BDA 135BCD 求BC的长 1 1 2 余弦定理参考答案 A B C D 用心 爱心 专心5 典型例题 例 1 解 222 2cos bacacB 22 2 3 62 2 2 3 62 cos 0 45 2 12 62 4 3 3 1 8 2 2 b 求A可以利用余弦定理 也可以利用正弦定理 解法一 cos 222222 2 2 62 2 3 1 22 2 2 2 62 bca A bc 0 60 A 解法二 sin 0 2 3 sinsin45 2 2 a AB b 又 62 2 4 1 4 3 8 2 3 2 1 8 3 6 a c 即 0 0 A 0 90 0 60 A 变式 1 D D 0 1 2 sin sin2sinsin sin 30 2 baBBABAA 或或 0 150 例 2 解 因为2cossinsinABC 由正弦定理得 sin cos 2sin2 Cc A Bb 由余弦定理 222 cos 2 bca A bc 得 2222 cbcaab 又因为 3abc abcab 所以 22 3 abcab 222 43bcb 得bc abc 因此 ABC为等边三角形 变式 2 在 ABC 中 若 coscoscosCcBbAa 则 ABC 的形状是什么 解 coscoscos sincossincossincosaAbBcCAABBCC sin2sin2sin2 2sin cos 2sincosABCABABCC cos cos 2coscos0ABABAB cos0A 或cos0B 得 2 A 或 2 B 所以 ABC 是直角三角形 当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 用心 爱心 专心6 1 C 2 A 3 4 7 5 60 课后作业 1 解 由余弦定理得 445cos62 6 22 bb 0232 2 bb 13 b 又 Cbbcos222 6 222 2 1 cos C 60C 或 120C 75B 或 15B 13 b 60C 75B 或 13 b 120C 15B 2 解 在 ABD 中 设BD x 则 BDAADBDA