2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 复数的基本概念

用心 爱心 专心 1 第一节第一节 复数的基本概念复数的基本概念 一 知识归纳一 知识归纳 1 1 知识精讲 知识精讲 1 1 复数的概念 复数的概念 形如 a bi a b R 的数 a b 分别叫做它的实部与虚部 2 2 复数的分类 复数的分类 复数 a bi a b R 当 b 0 时就是实数 当 b 0 时 叫做虚数 当 a 0 b 0 时 叫做纯虚数 3 3 复数相等的充要条件 复数相等的充要条件 若 a b c d R 则 a bi c di a c b d 注注 两个实数可以比较大小 但两个复数 如果不全是实数 就不能比较大小 4 4 共轭复数 共轭复数z 两个复数的实部相等 虚部互为相反数 即若 z a bi 则z a bi a b R 注 注 当 b 0 时 又可说成互为共轭虚数 实数的共轭复数是其本身 5 5 复平面 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面 x 轴叫做实轴 y 轴除去原点的部分叫做 虚轴 注 注 复数 z a bi a b R 与复平面内的点 P a b 及向量OP是一一对应的 6 6 复数是实数的充要条件 复数是实数的充要条件 z a bi R b 0 a b R z R z z Z R 2 2 ZZ 7 7 复数是纯虚数的充要条件 复数是纯虚数的充要条件 z a bi 是纯虚数 a 0 且 b 0 a b R z 是纯虚数或 0 Z z 0 z 是纯虚数 z2 0 8 8 复数的摸 复数的摸 z a bi 22 ba 显然有 z z 9 9 几个重要结论 几个重要结论 2 2 2 2 1 2 21 2 21 zzzzzz 22 zzzz 2 2 重点难点 重点难点 复数的概念 3 3 思维点拨 思维点拨 转化的思想 将复数问题转化为实数问题 4 4 特别注意 特别注意 2 z不一定等于 2 z 二 问题讨论二 问题讨论 例例 1 1 设复数 设复数 z lg mz lg m2 2 2m2m 2 m2 m2 2 3m 2 i 3m 2 i 试求实数 试求实数 m m 取何值时 取何值时 1 z 1 z 是纯虚数 是纯虚数 2 z 2 z 是实数是实数 3 z 3 z 对应的点位于复平面的第二象限对应的点位于复平面的第二象限 解 解 1 由 023 0 22lg 2 2 mm mm 得3 m 2 由 m2 3m 2 0 得 m 1 2 3 由 023 0 22lg 2 2 mm mm 得311 m或331 m 思维点拨思维点拨 对复数的分类条件要注意其充要性 对复数相等 共轭复数的概念的运用也是 用心 爱心 专心 2 这样 例例 2 2 设 设 z C z C 求满足求满足R z z 1 且且 z z 2 22 2 的复数的复数 z z 解 解 R z z 1 z z z z 11 0 zz zz zz 0 1 2 2 z z zz 1 z或zz 设biaz 则0 b或1 22 ba 当0 b时 az 所以2 2 a 故0 a或 4 0 a不合舍去 z 4 当1 22 ba时 由 Z 2 2 得4 2 22 ba 联立解得 4 15 4 1 ba 综上可得 z 4 或iz 4 15 4 1 思维点拨思维点拨 利用复数是实数的充要条件解题有时会显得简单 变式 已知变式 已知 z Cz C z z 2 12 1 且复数且复数 z z 2 2 对应的点落在直线对应的点落在直线 y xy x 上 求上 求 z z 解 解 设 z 2 a ai z 2 1 2 2 a iz 2 2 2 2 2 或iz 2 2 2 2 2 思维点拨思维点拨 从整体出发利用条件 可简化运算 本题也可设 z a bi 再利用条件 但运算 复杂 例例 3 3 求求 7 24i7 24i 的平方根 的平方根 解 解 设平方根为 x yi x y R 则 x yi 2 7 24i 即 3 4 242 7 22 y x xy yx 或 3 4 y x 故 7 24i 的平方根为 4 3i 例例 4 4 已知 已知 z 1 iz 1 i a a b b 为实数 为实数 1 1 若若 z z2 2 3 3z 4 4 求求 2 2 若若i zz bazz 1 1 2 2 求求 a a b b 的值 的值 解 解 1 1 i 2 3 1 i 4 1 i 2 2 由条件i i iaba 1 2 iiaba 1 2 2 1 b a 思维点拨思维点拨 利用复数的充要条件解题 例例 5 5 已知 已知ixxz 1 22 1 iaxz 2 2 对于任意的对于任意的 x Rx R 均有均有 z z1 1 z z2 2 成立成立 试求试求 用心 爱心 专心 3 实数实数 a a 的取值范围 的取值范围 解 解 z1 z2 2224 1axxx 0 1 21 22 axa 对Rx 成立 当021 a 即 2 1 a时 不等式成立 当021 a时 0 1 21 4 021 2 aa a 2 1 1 a 综上得 2 1 1 a 思维点拨思维点拨 通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段 例例 6 6 已知 已知 i i 是虚数单位 数是虚数单位 数 z z 和和 满足满足 z 2izz 2iz 2i 1 02i 1 0 且 且 z z 2 2 3 3 求证 求证 4i 4i 的值是一个常数 并求这个常数 的值是一个常数 并求这个常数 解 解 z 2i 2i 1 i i z 2 12 3 2 12 i i z 设 Ryxyix 22 2 2 yxi 22 4 12 12 xyi 2 3 12 ii 1444 44 3 2222 yxyyyx 即118 22 yyx 331611168 4