11-12学年高中数学 第二章 随机变量及其分布综合检测 新人教A版选修2-3

1 选修选修 2 32 3 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 综合检测综合检测 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知随机变量X满足D X 2 则D 3X 2 A 2 B 8 C 18 D 20 答案 C 解析 D 3X 2 9D X 18 2 离散型随机变量X的概率分布列如下 X1234 P0 20 30 4c 则c等于 A 0 1 B 0 24 C 0 01 D 0 76 答案 A 解析 c 1 0 2 0 3 0 4 0 1 3 设服从二项分布X B n p 的随机变量X的均值与方差分别是 15 和 则n p的 45 4 值分别是 A 50 B 60 1 4 1 4 C 50 D 60 3 4 3 4 答案 B 解析 由Error 得Error 4 某次语文考试中考生的分数X N 90 100 则分数在 70 110 分的考生占总考生数 的百分比是 A 68 26 B 95 44 C 99 74 D 31 74 答案 B 5 若随机变量X服从正态分布 其正态曲线上的最高点的坐标是 则该随机变 10 1 2 2 量的方差等于 A 10 B 100 C D 2 2 答案 C 解析 由正态分布密度曲线上的最高点知 D X 2 10 1 2 1 2 1 2 2 6 2010 山东文 6 在某项项体育比赛中 七位裁判为一选手打出的分数如下 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均值和方差分别为 A 92 2 B 92 2 8 C 93 2 D 93 2 8 答案 B 解析 本题考查了方差及平均值的概念 数据设置便于运算属基础题 可各减去 90 得 0 0 3 4 3 2 平均数为 92 方差 3 4 3 0 0 5 2 0 2 2 0 2 2 3 2 2 4 2 2 3 2 5 2 8 选 B 7 甲 乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击 设击中的概率分别为 0 4 0 5 则恰 有一人击中敌机的概率为 A 0 9 B 0 2 C 0 7 D 0 5 答案 D 解析 设事件A B分别表示甲 乙飞行员击中敌机 则P A 0 4 P B 0 5 事 件恰有一人击中敌机的概率为P A B P A 1 P B 1 P A P B 0 5 BA 8 盒中有 10 只螺丝钉 其中有 3 只是坏的 现从盒中随机地抽取 4 个 那么概率是 的事件为 3 10 A 恰有 1 只是坏的 B 4 只全是好的 C 恰有 2 只是好的 D 至多有 2 只是坏的 答案 C 解析 X k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的 则P X k 3 k 1 2 3 4 Ck7C4 k3 C 4 10 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4 选 C 1 30 3 10 1 2 1 6 9 某计算机网络有n个终端 每个终端在一天中使用的概率为p 则这个网络在一天中 平均使用的终端个数为 A np 1 p B np C n D p 1 p 答案 B 解析 每天平均使用的终端个数X B n p 每天平均使用的终端个数值即E X np 故答案选 B 10 在高三某个班中 有 的学生数学成绩优秀 若从班中随机找出 5 名学生 那么 1 4 其中数学成绩优秀的学生数X B 则P X k C k 5 k取最大值时k的值为 5 1 4 k5 1 4 3 4 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 B 解析 由Error 解得 k 又因为k N N 所以k 1 1 2 3 2 11 若X是离散型随机变量 P X x1 P X x2 且x1 x2 又已知E X 2 3 1 3 D X 则x1 x2的值为 4 3 2 9 A B 5 3 7 3 C 3 D 11 3 答案 C 解析 E X x1 x2 2 3 1 3 4 3 x2 4 2x1 D X 2 2 4 3 x1 2 3 4 3 x2 1 3 2 9 x1 x2 Error x1 x2 3 12 利用下列盈利表中的数据进行决策 应选择的方案是 4 自然状况 A1A2A3A4 S10 255070 20 98 S20 3065265282 S30 45261678 10 A A1 B A2 C A3 D A4 答案 C 解析 A1的均值为 50 0 25 65 0 30 26 0 45 43 7 A2的均值为 70 0 25 26 0 30 16 0 45 32 5 A3的均值为 20 0 25 52 0 30 78 0 45 45 7 A4的均值为 98 0 25 82 0 30 10 0 45 44 6 选方案A3 二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 4 分 共 16 分 将正确答案填在题中横线上 13 将一颗骰子连掷 100 次 则点 6 出现次数X的均值E X 答案 50 3 解析 这是 100 次独立重复试验 X B 100 1 6 E X 100 1 6 50 3 14 一离散型随机变量X的概率分布列为 X0123 P0 1ab0 1 且E X 1 5 则a b 答案 0 解析 Error Error a b 0 15 2009 上海 理 7 某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志 愿者 若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数 则数学期望 均值 E 结果用最简分数表示 5 答案 4 7 解析 本题考查概率 互斥事件 数学期望 以及运用知识解决问题的能力 由题意 的可能取值为 0 1 2 则P 0 C2 5 C2 7 10 21 P 1 P 2 C1 5C1 2 C2 7 10 21 C2 2 C2 7 1 21 的分布列为 012 P 10 21 10 21 1 21 的数学期望E 0 1 2 10 21 10 21 1 21 12 21 4 7 16 2010 安徽理 15 甲罐中有 5 个红球 2 个白球和 3 个黑球 乙罐中有 4 个红球 3 个白球和 3 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以A1 A2和A3表示由甲罐取 出的球是红球 白球和黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以B表示由乙罐取出的球是 红球的事件 则下列结论中正确的是 写出所有正确结论的编号 P B 2 5 P B A1 5 11 事件B与事件A1相互独立 A1 A2 A3是两两互斥的事件 P B 的值不能确定 因为它与A1 A2 A3中究竟哪一个发生有关 答案 解析 由条件概率知 正确 显然正确 而且P B P B A1 A2 A3 P B A1 P B A2 P B A3 P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 5 10 5 11 2 10 4 11 3 10 4 11 9 22 故 不正确 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分 12 分 袋中有 5 个大小相同的小球 其中 1 个白球和 4 个黑球 每次从 中任取一球 每次取出的黑球不再放回去 直到取出白球为止 求取球次数X的均值和方 差 解析 取球次数X是一个随机变量 X的所有可能值是 1 2 3 4 5 为了求X的均 值和方差 可先求X的分布列 6 P X 1 0 2 1 5 P X 2 0 2 4 5 1 4 P X 3 0 2 4 5 3 4 1 3 P X 4 0 2 4 5 3 4 2 3 1 2 P X 5 0 2 4 5 3 4 2 3 1 2 1 1 于是 我们得到随机变量X的分布列 X12345 P0 20 20 20 20 2 由随机变量的均值和方差的定义可求得 E X 1 0 2 2 0 2 3 0 2 4 0 2 5 0 2 0 2 1 2 3 4 5 3 D X 1 3 2 0 2 2 3 2 0 2 3 3 2 0 2 4 3 2 0 2 5 3 2 0 2 0 2 22 12 02 12 22 2 点评 把 5 个小球排成一排 在每一个位置上是白球的概率都是 P X k 1 5 k 1 2 3 4 5 1 5 18 本题满分 12 分 9 粒种子种在甲 乙 丙 3 个坑内 每坑 3 粒 每粒种子发芽的概 率为 0 5 若一个坑内至少有 1 粒种子发芽 则这个坑不需要补种 若一个坑内的种子都没有 发芽 则这个坑需要补种 1 求甲坑不需要补种的概率 2 求 3 个坑中恰有 1 个坑不需要补种的概率 3 求有坑需要补种的概率 精确到 0 001 解析 1 因为甲坑内 3 粒种子都不发芽的概率为 1 0 5 3 1 8 所以甲坑不需要补种的概率为 1 0 875 1 8 7 8 2 3 个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 C 2 0 041 1 3 7 8 1 8 3 因为 3 个坑都不需要补种的概率为 3 所以有坑需要补种的概率为 1 3 0 330 7 8 7 8 7 19 本题满分 12 分 某陶瓷厂准备烧制甲 乙 丙三件不同的工艺品 制作过程必须 先后经过两次烧制 当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制 两次烧制过程相互独 立 根据该厂现有技术水平 经过第一次烧制后 甲 乙 丙三件产品合格的概率依次为 0 5 0 6 0 4 经过第二次烧制后 甲 乙 丙三件产品合格的概率依次为 0 6 0 5 0 75 求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率 经过前后两次烧制后 合格工艺品的个数为X 求随机变量X的均值 解析 分别记甲 乙 丙经第一次烧制后合格为事件A1 A2 A3 设E表示第一次烧制后恰好有一件合格 则 P E P A1 P A2 P A3 A2A3A1A3A1A2 0 5 0 4 0 6 0 5 0 6 0 6 0 5 0 4 0 4 0 38 解法一 因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p 0 3 所以X B 3 0 3 故E X np 3 0 3 0 9 解法二 分别记甲 乙 丙经过两次烧制后合格为事件A B C 则 P A P B P C 0 3 所以P X 0 1 0 3 3 0 343 P X 1 3 1 0 3 2 0 3 0 441 P X 2 3 0 32 0 7 0 189 P X 3 0 33 0 027 于是 E X 1 0 441 2 0 89 3 0 027 0 9 20 本题满分 12 分 2010 浙江杭州高二检测 甲 乙等五名奥运志愿者被随机地分 到A B C D四个不同的岗位服务 每个岗位至少有一名志愿者 1 求甲 乙两人同时参加A岗位服务的概率 2 求甲 乙两人不在同一个岗位服务的概率 3 设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数 求X的分布列 解析 1 记甲 乙两人同时参加A岗位服务为事件EA 那么P EA A3 3 C2 5A4 4 1 40 即甲 乙两人同时参加A岗位服务的概率是 1 40 2 记甲 乙两人同时参加同一岗位服务为事件E 那么P E A4 4 C2 5A4 4 1 10 所以 甲 乙两人不在同一岗位服务的概率是P 1 P E E 9 10 3 随机变量X可能取的值为 1 2 事件 X 2 是指有两人同时参加A岗位服务 则 8 P X 2 所以P X 1 1 P X 2 X的分布列为 C2 5A3 3 C2 5A4 4 1 4 3 4 X12 P 3 4 1 4 21 本题满分 12 分 坛子里放着 5 个相同大小 相同形状的咸鸭蛋 其中有 3 个是绿皮 的 2 个是白皮的 如果不放回地依次拿出 2 个鸭蛋 求 1 第一次拿出绿皮鸭蛋的概率 2 第 1 次和第 2 次都拿到绿皮鸭蛋的概率 3 在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下 第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率 解析 设第 1 次拿出绿皮鸭蛋为事件A 第 2 次拿出绿皮鸭蛋为事件B 则第 1 次和 第 2 次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB 1 从 5 个鸭蛋中不放回地依次拿出 2 个的基本事件数为 A 20 2 5 又 A A A 12 于是P A 1 31 4 A 12 20 3 5 2 因为 AB A 6 所以P AB 2 3 AB 6 20 3 10 3 解法一 由 1 2 可得 在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下 第 2 次拿出绿皮鸭蛋的 概率为 P B A P AB P A 3 10 3 5 1 2 解法二 因为 AB 6 A 12 所以P B A AB A 6 12 1 2 22 本题满分 14 分 2010 山东理 20 某学校举行知识竞赛 第一轮选拔共设有 A B C D四个问题 规则如下 每位参加者计分器的初始分均为 10 分 答对问题A B C D分别加 1 分 2 分 3 分 6 分 答错任一题减 2 分 每回答一题 计分器显示累计分数 当累计分数小于 8 分时 答题结束 淘汰出局 当累计分数大于或等于 14 分时 答题结束 进入下一轮 当答完四题 累计分数仍不足 14 分时 答题结束 淘汰出局 每位参加者按问题A B C D顺序作答 直至答题结束 9 假设甲同学对问题A B C D回答正确的概率依次为 且各题回答正确与否相 3 4 1 2 1 3 1 4 互之间没有影响 1 求甲同学能进入下一轮的概率 2 用 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数 求 的分布列和数学期望E 分析 本题考查了相互独立事件同时发生的概率 考查了离散型随机变量的分布列以 及数学期望的知识 考查了同学