高一数学 2.2.1《综合法和分析法》教案（1）（新人教A版选修2-2）

用心 爱心 专心 1 2 2 2 2 1 1 综合法和分析法综合法和分析法 一 教学目标 一 教学目标 一 知识与技能 一 知识与技能 结合已经学过的数学实例 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合 法 了解分析法和综合法的思考过程 特点 二 过程与方法 二 过程与方法 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力 三 情感 态度与价值观 三 情感 态度与价值观 通过学生的参与 激发学生学习数学的兴趣 二 教学重点 二 教学重点 了解分析法和综合法的思考过程 特点 三 教学难点三 教学难点 分析法和综合法的思考过程 特点 四 教学过程四 教学过程 一 导入新课 一 导入新课 合情推理分归纳推理和类比推理 所得的结论的正确性是要证明的 数学结 论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明 本节我们将学习两类基本的证明 方法 直接证明与间接证明 二 推进新课 二 推进新课 1 综合法 在数学证明中 我们经常从已知条件和某些数学定义 公理 定理等出发 通过推理推导出所要的结论 例如 已知 a b 0 求证 2222 4a bcb caabc 教师活动 给出以上问题 让学生思考应该如何证明 引导学生应用不等式 证明 教师最后归结证明方法 学生活动 充分讨论 思考 找出以上问题的证明方法 设计意图 引导学生应用不等式证明以上问题 引出综合法的定义 证明 因为 22 2 0bcbc a 所以 22 2a bcabc 因为 22 2 0caac b 所以 22 2b caabc 因此 2222 4a bcb caabc 一般地 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种方法叫做综合法 用 P 表示已知条件 已有的定义 定理 公理等 Q 表示要证明的结论 则综 合法可表示为 11223 n PQQQQQQQ 综合法的特点是 由因导果 即由已知条件出发 利用已知的数学定理 性 质和公式 推出结论的一种证明方法 例 1 在 ABC 中 三个内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 A B C 成等差数列 用心 爱心 专心 2 a b c成等比数列 求证 ABC 为等边三角形 分析 将 A B C 成等差数列 转化为符号语言就是 2B A C A B C 为 ABC 的内角 这是一个隐含条件 明确表示出来是 A B C a b c 成等比 数列 转化为符号语言就是 2 bac 此时 如果能把角和边统一起来 那么就可 以进一步寻找角和边之间的关系 进而判断三角形的形状 余弦定理正好满足要 求 于是 可以用余弦定理为工具进行证明 证明 由 A B C 成等差数列 有 2B A C 因为 A B C 为 ABC 的内角 所以 A B C 由 得 B 3 由 a b c 成等比数列 有 2 bac 由余弦定理及 可得 22222 2cosbacacBacac 再由 得 22 acacac 即 2 0ac 因此 ac 从而 A C 由 得 A B C 3 所以 ABC 为等边三角形 注 解决数学问题时 往往要先作语言的转换 如把文字语言转换成符号语 言 或把符号语言转换成图形语言等 还要通过细致的分析 把其中的隐含条件 明确表示出来 例 2 已知 Rba求证 abba baba 分析 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行 证明 1 差值比较法 注意到要证的不等式关于ba 对称 不妨设 0 ba 0 0 bababbabba babababa ba 从而原不等式得证 2 商值比较法 设 0 ba 0 1 ba b a 1 ba ab ba b a ba ba 故原不等式得证 注 比较法是证明不等式的一种最基本 最重要的方法 用比较法证明不等 式的步骤是 作差 或作商 变形 判断符号 2 分析法 证明数学命题时 还经常从要证的结论 Q 出发 反推回去 寻求保证 Q 成 立的条件 即使 Q 成立的充分条件 P1 为了证明 P1成立 再去寻求 P1成立的充 分条件 P2 为了证明 P2成立 再去寻求 P2成立的充分条件 P3 直到找到一 个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 例如 基本不等式 ab ba 2 a 0 b 0 的证明就用了上述方法 要证 用心 爱心 专心 3 ab ba 2 只需证 abba2 只需证 02 abba 只需证 0 2 ba 由于0 2 ba显然成立 因此原不等式成立 一般地 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种方法叫做分析法 分析法可表示为 1121 nnn QPPPPPPP 分析法的特点是 执果索因 例 3 求证5273 分析 从待证不等式不易发现证明的出发点 因此我们直接从待证不等式出 发 分析其成立的充分条件 证明 因为5273和 都是正数 所以为了证明 5273 只需明 22 52 73 展开得 2021210 只需证 521 因为2521 成立 所以 22 52 73 成立 在本例中 如果我们从 21 25 出发 逐步倒推回去 就可以用综合法证 出结论 但由于我们很难想到从 21 25 入手 所以用综合法比较困难 事实上 在解决问题时 我们经常把综合法和分析法结合起来使用 根据条 件的结构特点去转化结论 得到中间结论 Q 根据结论的结构特点去转化条件 得到中间结论 P 若由 P 可以推出 Q 成立 就可以证明结论成立 下面来看 一个例子 例 4 已知 2 kkZ 且 sincos2sin 2 sincossin 用心 爱心 专心 4 求证 22 22 1tan1tan 1tan2 1tan 分析 比较已知条件和结论 发现结论中没有出现角 因此第一步工作可 以从已知条件中消去 观察已知条件的结构特点 发现其中蕴含数量关系 2 sincos 2sincos1 于是 由 2一 2 得 22 4sin2sin1 把 22 4sin2sin1 与结论相比较 发现角相同 但函 数名称不同 于是尝试转化结论 统一函数名称 即把正切函数化为正 余 弦 函数 把结论转化为 2222 1 ssin ssin 2 coco 再与 22 4sin2sin1 比较 发现只要把 2222 1 ssin ssin 2 coco 中的角的 余弦转化为正弦 就能达到目的 证明 因为 2 sincos 2sincos1 所以将 代入 可得 22 4sin2sin1 另一方面 要证 22 22 1tan1tan 1tan2 1tan 即证 2 2 2 2 22 22 sin sin 1 1 cos cos sinsin 12 1 coscos 即证 2222 1 ssin ssin 2 coco 即证 22 1 1 2sin 1 2sin 2 即证 22 4sin2sin1 由于上式与 相同 于是问题得证 三 课堂练习 三 课堂练习 1 课本