2011届湖南地区高三数学第一轮复习7.2等差数列学案（老师版）

用心 爱心 专心 7 27 2 等差数列等差数列 一 学习目标 一 学习目标 等差数列的概念 性质及前 n 项和求法 二 自主学习 二 自主学习 课前检测课前检测 1 20102010 年东城期末年东城期末 2020 设数列 n a的前n项和为 n S 已知5a1 1 3n nn aS n N 设3n nn bS 求数列 n b的通项公式 解 解 依题意 11 3n nnnn SSaS 即 1 23n nn SS 由此得 1 1 32 3 nn nn SS 因此 所求通项公式为 nn nn 23 Sb 2 设数列 n a是递增等差数列 前三项的和为12 前三项的积为48 则它的首项为 2 3 已知等差数列 n a的公差0d 且 139 a a a成等比数列 则 139 2410 aaa aaa 13 16 考点梳理考点梳理 1 1 在解决等差数列问题时 如已知 a1 an d n S n 中任意三个 可求其余两个 2 2 补充的一条性质补充的一条性质 1 项数为奇数21n 的等差数列有 1 sn sn 奇 偶 n ssaa 奇偶中 21 21 nn sna 2 项数为偶数2n的等差数列有 1 n n sa sa 奇 偶 ssnd 偶奇 21 nnn sn aa 3 3 等差数列的判定 等差数列的判定 an 为等差数列 数 缺常数项的 二次函 的 一次函数 关于 定义 BnAnS nBAna aaa daa n n nnn nn 2 21 1 2 即 2 2 11n1n Nnnaaaddaaa nnnn 为常数 BnAnsbkna nn 2 4 4 三个数成等差可设 三个数成等差可设 a a d a 2d或a d a a d 四个数成等差可设 四个数成等差可设 a 3d a d a d a 3d 5 5 等差数列与函数 等差数列与函数 1 1 等差数列通项公式与一次函数的关系 从函数的角度考查等差数 列的通项公式 an a1 n 1 d d n a1 d an是关于 n 的一次式 从图像上看 表示等差 用心 爱心 专心 数列的各点 n n a 均匀排列在一条直线上 由两点确定一条直线的性质 不难得出 任 两项可以确定一个等差数列 k d 1 1 n aan d mn aa mn 由此联想点列 n an 所在直线 的斜率 2 2 点 S n n 在没有常数项的二次函数 2 n Spnqn 上 其中 公差不为 0 6 6 等差数列前等差数列前 n n 项和最值的求法 结合二次函数的图象与性质理解 项和最值的求法 结合二次函数的图象与性质理解 1 若等差数列 n a的首项 1 0a 公差0d 则前n项和 n S有最大值 若已知通项 n a 则 n S最大 1 0 0 n n a a 若已知 2 n Spnqn 则当n取最靠近 2 q p 的非零自然数时 n S最大 2 若等差数列 n a的首项 1 0a 公差0d 则前n项和 n S有最小值 若已知通项 n a 则 n S最小 1 0 0 n n a a 若已知 2 n Spnqn 则当n取最靠近 2 q p 的非零自然数时 n S最小 7 7 等差数列的定义 通项公式 求和公式 性质等等差数列的定义 通项公式 求和公式 性质等 等 差 数 列 定义 an 为等差数列 an 1 an d 常数 n N 2an an 1 an 1 n 2 n N 通项公式 1 n a 1 a n 1 d k a n k d n a dn 1 a dbkn 2 推广 an am n m d 3 变式 a1 an n 1 d d 1 1 n aan d mn aa mn 由此联想点列 n an 所在直线的斜率 求和公式 1 nBnA 2 22 1 2 S 2 1 2 1 1 n d an d d nn na aan n n 2 变式 2 1n aa n Sn n aaa n 21 a1 n 1 2 d an n 1 2 d 等差中项 1 等差中项 若a b c成等差数列 则b称a与c的等差中项 且b 2 ca a b c成等差数列是 2b a c的充要条件 2 推广 2 n a 用心 爱心 专心 mnmn aa 1 1 mnlk mnlkaaaa 反之不一定成立 特别地 当 2mnp 时 有2 mnp aaa 特例 a1 an a2 an 1 a3 an 2 2 2 下标成等差数列且公差为m的项ak ak m ak 2m 组成的数列仍为等差 数列 公差为md 3 3 nnnnn sssss 232 成等差数列 4 4 1 1 nm nm aa n aa d nmn 为递增数列 n a0d 为常数列 n a0d 重 要 性 质 5 5 增 减 性 为递减数列 n a0d 1 1 an am n m d 2 2 若数列 an 是公差为d的等差数列 则数列 an b b为常数 是 公差为 d的等差数列 若 bn 也是公差为d的等差数列 则 1an 2bn 1 2为常数 也是等差数列且公差为 1d 2d 其 它 性 质 3 3 an an b 即 an是 n 的一次型函数 系数 a 为等差数列的公差 Sn an2 bn 即 Sn是 n 的不含常数项的二次函数 三 合作探究 三 合作探究 题型题型 1 1 等差数列的基本运算等差数列的基本运算 例例 1 1 在等差数列 an 中 1 已知 a15 10 a45 90 求 a60 2 已知 S12 84 S20 460 求 S28 3 已知 a6 10 S5 5 求 a8和 S8 解解 1 方法一 3 8 3 82 9044 1014 1 145 115 d a daa daa a60 a1 59d 130 方法 2 3 8 1545 1545 aa mn aa d mn an am n m d a60 a45 60 45 d 90 15 3 8 130 2 不妨设 Sn An2 Bn 17 2 4602020 841212 2 2 B A BA BA Sn 2n2 17n S28 2 282 17 28 1092 3 S6 S5 a6 5 10 15 用心 爱心 专心 又 S6 2 10 6 2 6 161 aaa 15 2 10 6 1 a 即 a1 5 而 d 3 16 16 aa a8 a6 2 d 16 S8 44 2 8 81 aa 变式训练变式训练 1 1 设 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前n项和 已知S7 7 S15 75 Tn为数列 n Sn 的前n项和 求Tn 解 解 设等差数列 an 的公差为d 则Sn na1 2 1 n n 1 d S7 7 S15 75 7510515 7217 1 1 da da 即 5 7 13 1 1 da da 解得a1 2 d 1 n Sn a1 2 1 n 1 d 2 2 1 n 1 2 5 n 1 1 n Sn n Sn 2 1 数列 n Sn 是等差数列 其首项为 2 公差为 2 1 Tn 4 1 n2 4 9 n 小结与拓展 小结与拓展 基本量的思想 常设首项 公差及首项 公比为基本量 借助于消元思想及 解方程组思想等 等差数列中 已知五个元素a1 an n d Sn中的任意三个 便可求出 其余两个 题型 2 等差数列的判定与证明 例例 2 2 已知数列 an 满足 2an 1 an an 2 n N 它的前n项和为Sn 且a3 5 S6 36 求数列 an 的通项公式 解 解 2an 1 an an 2 an 是等差数列 设 an 的首项为a1 公差为d 由a3 5 S6 36 得Error 解得a1 1 d 2 an 2n 1 变式训练变式训练 2 2 在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 设bn 证明 数列 bn 是等差 an 2n 1 数列 证明 证明 由已知 an 1 2an 2n得 bn 1 1 bn 1 an 1 2n 2an 2n 2n an 2n 1 又 b1 a1 1 因此 bn 是首项为 1 公差为 1 的等差数列 小结与拓展 小结与拓展 证明数列 an 是等差数列的两种基本方法是 1 利用定义 证明 an an 1 n 2 为常数 2 利用等差中项 即证明 2an an 1 an 1 n 2 题型题型 3 3 等差数列的性质等差数列的性质 例例 3 3 设等差数列 n a的首项及公差均是正整数 前n项和为 n S 且 1 1a 4 6a 3 12S 则 2010 a 答案 答案 4020 变式训练变式训练 3 3 在等差数列 an 中 已知 log2 a5 a9 3 则等差数列 an 的前 13 项的和 S13 答案 答案 52 解解 log2 a5 a9 3 a5 a9 23 8 用心 爱心 专心 S13 52 13 a1 a13 2 13 a5 a9 2 13 8 2 小结与拓展 小结与拓展 解决等差 比 数列的问题时 通常考虑两类方法 基本量法 即运用条 件转化成关于a1和d q 的方程 巧妙运用等差 比 数列的性质 如下标和的性质 子数列的性质 和的性质 一般地 运用数列的性质 可化繁为简 题型题型 4 4 等差数列的前等差数列的前n n项和及最值问题项和及最值问题 例例 4 4 设等差数列 an 的前n项和为Sn 已知a3 12 S12 0 S13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出S1 S2 S3 S12中哪一个最大 并说明理由 解 解 1 a3 12 a1 12 2d 解得a12 12 9d a13 12 10d 由S12 0 S13 0 即 2 12 121 aa 0 且 2 13 131 aa 0 解之得 7 24 d 3 2 易知a7 0 a6 0 故S6最大 变式训练变式训练 4 4 20102010 福建理数福建理数 3 3 设等差数列 n a的前 n 项和为 n S 若 1 11a 46 6aa 则当 n S取最小值时 n 等于 A A 6 B 7 C 8 D 9 解析解析 设该数列的公差为d 则 461 282 11 86aaadd 解得2d 所以 22 1 11212 6 36 2 n n n Snnnn 所以当6n 时 n S取最小值 命题意图命题意图 本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用 考查二次函数最值 的求法及计算能力 小结与拓展 小结与拓展 等差数列的前n项和为 n S 在0 d时 有最大值 如何确定使 n S取最大值 时的n值 有两种方法 一是求使0 0 1 nn aa 成立的n值 二是由 n d an d Sn 2 2 1 2 利用二次函数的性质求n的值 四 归纳与总结 以学生为主 师生共同完成 四 归纳与总结 以学生为主 师生共同完成 1 巧用性质 减少运算量 在等差 等比数列的计算中非常重要 但用 基本量法 并 树立 目标意识 需要什么 就求什么 既要充分合理地运用条件 又要时刻注意题的 目标 往往能取得与 巧用性质 解题相同的效果 2 等差数列 an 中 当a1 0 d 0 时 数列 an 为递增数列 Sn有最小值 当 a1 0 d 0 时 数列 an 为递减数列 Sn有最大值 当d 0 时 an 为常数列 3 注意方程思想 整体思想 分类讨论思想 数形结合思想的运用 四 课堂总结 以学生为主 师生共同完成 四 课堂总结 以学生为主 师生共同完成 以学生为主 师生共同完成 以学生为主 师生共同完成 1 巧用性质 减少运算量 在等差 等比数列的计算中非常重要 但用 基本量法 并 树立 目标意识 需要什么 就求什么 既要充分合理地运用条件 又要时刻注意题的 目标 往往能取得与 巧用性质 解题相同的效果 2 等差数列 an 中 当a1 0 d 0 时 数列 an 为递增数列 Sn有最小值 当 用心 爱心 专心 a1 0 d 0 时 数列 an 为递减数列 Sn有最大值 当d 0 时 an 为常数列 3 注意方程思想 整体思想 分类讨论思想 数形结合思想的运用 五 检测巩固 五 检测巩固 1 有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 且第一个数与第四个数的 和是16 第二个数与第三个书的和是12 求这四个数 解 设这四个数为 2 ad ad a ad a 则 2 16 212 ad ad a ad 解得 4 8 a d 或 9 6 a d 所以所求的四个数为 4 4 12 36 或15 9 3 1 2 由正数组成的等比数列 n a 若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的 11 倍 第 3 项与第 4 项之和为第 2 项与第 4 项之积的 11 倍 求数列 n a的通项公式 解 当1q 时 得 11 211nana 不成立 1q 22 11 2 233 1111 1 11 1 11 11 nn aqa qq qq a qa qa q a q 由 得 1 10 q 代入 得 1 10a 2 1 10 n n a 说明 用等比数列前n项和公式时 一定要注意讨论公比是否为 1 3 已知等差数列110 116 122 1 在区间 450 600 上 该数列有多少项 并