04 第四节 连续型随机变量及其概率密度

第四节第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 内容分布图示内容分布图示 连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量分布函数的性质 例 1 例 2 例 3 均匀分布 例 4 指数分布 例 5 正态分布 标准正态分布 例 6 3 准则 例 7 例 8 例 9 例 10 内容小结 课堂练习 习题 2 4 内容要点 内容要点 一 一 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 定义 如果对随机变量的分布函数 存在非负可积函数 使得对于任意实数X xF xf 有x x dttfxXPxF 则称为连续型随机变量 称为的概率密度函数 简称为概率密度或密度函数 X xfX 关于概率密度的说明 1 对一个连续型随机变量 若已知其密度函数 则根据定义 可求得其分布函数X xf 同时 还可求得的取值落在任意区间上的概率 xFX ba b a dxxfaFbFbXaP 2 连续型随机变量取任一指定值的概率为 0 X Raa 3 若在点处连续 则 xfx 1 xfxF 二 常用连续型分布二 常用连续型分布 均匀分布均匀分布 定义 若连续型随机变量的概率密度为X 其它 0 1 bxa abxf 则称在区间上服从均匀分布 记为 X ba baUX 指数分布指数分布 定义 若随机变量的概率密度为X 0 0 0 其它 xe xf x 则称服从参数为的指数分布 简记为X eX 正态分布正态分布 定义 若随机变量的概率密度为X 2 1 2 2 2 xexf x 其中和都是常数 则称服从参数为和的正态分布 记为 0 X 2 2 NX 注 正态分布是概率论中最重要的连续型分布 在十九世纪前叶由高斯加以推广 故又 常称为高斯分布 一般来说 一个随机变量如果受到许多随机因素的影响 而其中每一个因素都不起主导作 用 作用微小 则它服从正态分布 这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因 例如 产品的质量指标 元件的尺寸 某地区成年男子的身高 体重 测量误差 射击目标的水平 或垂直偏差 信号噪声 农作物的产量等等 都服从或近似服从正态分布 标准正态分布标准正态分布 正态分布当时称为标准正态分布 此时 其密度函数和分布函数常用和1 0 x 表示 x 2 1 2 2 x ex x t dtex 2 2 2 1 标准正态分布的重要性在于 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标 准正态分布 定理 设则 2 NX 1 0 N X Y 标准正态分布表的使用 标准正态分布表的使用 1 表中给出了时的数值 当时 利用正态分布的对称性 易见有0 x x 0 x 1 xx 2 若则 1 0 NX abbXaP 3 若 则 故的分布函数 2 NX 1 0 N X Y X xxX PxXPxF b Y a PbXaP ab 例题选讲 例题选讲 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 例例 1 设随机变量的密度函数为X 其它 0 11 1 2 2 xx xf 求其分布函数 xF 解解 x dttfxXPxF 当 1 x 0 xF 当 11 x x dttdtxF 1 2 1 1 2 0 2 1 arcsin 1 1 2 xx x 当 故 1 x 1 xF 1 1 11 2 1 arcsin 1 1 1 0 2 x xxx x x xF 例例 2 设随机变量 X 具有概率密度 0 43 2 2 30 其它 x x xkx xf 2 71 3 2 1 XPxFXk求的分布函数求确定常数 解解 1 由 得 1 dxxf 1 2 2 4 3 3 0 dx x kxdx 解得于是的概率密度为 6 1 kX 0 43 2 2 30 6 其它 x x x x xf 2 的分布函数为X xF 4 1 43 2 2 6 30 6 0 0 3 03 0 x xdt t dt t xdt t x x x 4 1 43 4 23 30 12 0 0 2 2 x xxx xx x 3 2 7 1 2 71 dxxfXP 2 7 3 3 1 2 2 6 1 dx x xdx 2 7 3 2 3 1 2 4 2 12 1 x xx 48 41 或 1 2 7 2 71 FFXP 48 41 例例 3 讲义例 讲义例 1 设随机变量 X 的分布函数为 x xx x xF 1 1 10 0 0 2 求 1 概率 2 X 的密度函数 7 03 0 XP 解解由连续型随机变量分布函数的性质 有 1 3 0 7 0 7 03 0 FFXP 4 03 07 0 22 2 的密度函数为X xFxf x xx x 1 0 10 2 0 0 0 10 2 其它 xx 常用连续型分布常用连续型分布 均匀分布均匀分布 例例 4 讲义例 讲义例 2 某公共汽车站从上午 7 时起 每 15 分钟来一班车 即 7 00 7 15 7 30 7 45 等时刻有汽车到达此站 如果乘客到达此站时间是 7 00 到 7 30 之间的均匀随X 机变量 试求他候车时间少于 5 分钟的概率 解解以 7 00 为起点 0 以分为单位 依题意 X 30 0 U 其它 0 300 30 1 x xf 为使候车时间少于 5 分钟 乘客必须在 7 10 到 7 15 之间 或在 7 25 到 7 30 之间到达X 车站 故所求概率为 3025 1510 XPXP 3 1 30 1 30 1 30 25 15 10 dxdx 即乘客候车时间少于 5 分钟的概率是 1 3 指数分布指数分布 例例 5 讲义例 讲义例 3 某元件的寿命服从指数分布 已知其参数 求 3 个这样X 1000 1 的元件使用 1000 小时 至少已有一个损坏的概率 解解由题设知 的分布函数为X 0 0 0 1 1000 x xe xF x 由此得到 1000 1 1000 XPXP 1000 1 1 eF 各元件的寿命是否超过 1000 小时是独立的 用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的Y 元件数 则 1 3 1 ebY 所求概率为 0 1 1 YPYP 1 1 1 331010 3 eeeC 正态分布正态分布 例例 6 讲义例 讲义例 4 设 求 4 1 NX 2 1 6 10 5 XPXPF 解解这里 故 1 2 查表得 0 9772 2 1 5 5 X PXPF 2 15 2 2 15 2 10 2 16 1 6 10 XP 5 0 3 0 5 0 1 6179 0 3094 0 6915 0 1 6179 0 31 2 1 XPXP 2 1 1 X P2 1 1 1 2 1 1 6826 0 18413 0 2 例例 7 设某项竞赛成绩 65 100 若按参赛人数的 10 发奖 问获奖分数线应NX 定为多少 解解设获奖分数线为 则求使成立的 0 x1 0 0 xXP 0 x 1 1 000 xFxXPxXP 1 0 10 65 1 0 x 即 查表得 解得 故分数线可定为 78 分 9 0 10 65 0 x 29 1 10 65 0 x 9 77 0 x 例例 8 讲义例 讲义例 5 假设某地区成年男性的身高 单位 厘米 求该地区成 69 7 170 2 NX 年男性的身高超过 175 厘米的概率 解解 根据假设且表示该地区成年男性的身高超过 175 厘米 69 7 170 2 NX 175 X 可得 175 1 175 175 XPXPXP 65 0 1 69 7 170175 1 2578 0 7422 0 1 即该地区成年男性身高超过 175 厘米的概率为 0 2578 例例 9 在电源电压不超过 200 伏 在 200 240 伏和超过 240 伏三种情形下 某种电子元 件损坏的概率分别为 0 1 0 001 和 0 2 假设电源电压服从正态分布 220 25 试XN 2 求 1 该电子元件损坏的概率 2 该电子元件损坏时 电源电压在 200 240 伏的概率 解解引入事件 电压不超过 200 伏 电压不超过 200 240 伏 电压超过 240 伏 1 A 2 A 3 A 电子元件损坏 B 由条件知 因此 25 220 2 NX 25 220200 25 220 200 1 X PXPAP 212 0 8 0 1 8 0 240200 2 XPAP 8 0 25 220 8 0 X P 576 0 1 8 0 2 240 1 240 3 XPXPAP 212 0 8 0 1 1 由题设条件 1 0 1 ABP 001 0 2 ABP2 0 3 ABP 于是由全概率公式 有 0642 0 3 1 i ii ABPAPBP 2 由贝叶斯公式 有 009 0 22 2 BP ABPAP BAP 例例 10 讲义例 讲义例 6 已知某台机器生产的螺栓长度 单位 厘米 服从参数X 05 10 的正态分布 规定螺栓长度在内为合格品 试求螺栓为合格品的概率 06 0 12 0 05 10 解解根据假设 06 0 05 10 2 NX 记则表示螺栓为合格品 于是 12 0 05 10 a 12 0 05 10 b bXa bXaP ab 2 2 2 1 2 1 2 2 1977