第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

第 3 讲 空间点 直线 平面之间的位置关系 高考会这样考 1 本讲以考查点 线 面的位置关系为主 同时考查逻辑推理能力与空间想象 能力 2 有时考查应用公理 定理证明点共线 线共点 线共面的问题 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命 题 复习指导 1 掌握平面的基本性质 在充分理解本讲公理 推论的基础上结合图形理解点 线 面的位置关系及等角定理 2 异面直线的判定与证明是本部分的难点 定义的理解与运用是关键 基础梳理 1 平面的基本性质 1 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都 在这个平面内 2 公理 2 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 3 公理 3 如果两个平面 不重合的两个平面 有一个公共点 那么它们还有其他 公共点 且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 推论 2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 2 直线与直线的位置关系 1 位置关系的分类 Error Error 2 异面直线所成的角 定义 设 a b 是两条异面直线 经过空间任一点 O 作直线 a a b b 把 a 与 b 所成的锐角或直角叫做异面直线 a b 所成的角 或夹角 范围 0 2 3 直线与平面的位置关系有平行 相交 在平面内三种情况 4 平面与平面的位置关系有平行 相交两种情况 5 平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行 6 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互 补 两种方法 异面直线的判定方法 1 判定定理 平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线 是异面直线 2 反证法 证明两线不可能平行 相交或证明两线不可能共面 从而可得两线异 面 三个作用 1 公理 1 的作用 检验平面 判断直线在平面内 由直线在平面内判断直 线上的点在平面内 2 公理 2 的作用 公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断 直线共面 的 方法 3 公理 3 的作用 判定两平面相交 作两平面相交的交线 证明多点共 线 双基自测 1 人教 A 版教材习题改编 下列命题是真命题的是 A 空间中不同三点确定一个平面 B 空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C 一条直线和一个点能确定一个平面 D 梯形一定是平面图形 2 已知 a b 是异面直线 直线 c 平行于直线 a 那么 c 与 b A 一定是异面直线 B 一定是相交直线 C 不可能是平行直线 D 不可能是相交直线 3 2011 浙江 下列命题中错误的是 A 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 B 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C 如果平面 平面 平面 平面 l 那么 l 平面 D 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 4 2011 武汉月考 如果两条异面直线称为 一对 那么在正方体的十二条棱 中共有异面直线 A 12 对 B 24 对 C 36 对 D 48 对 5 两个不重合的平面可以把空间分成 部分 答案 3 或 4 考向一 平面的基本性质 例 1 正方体 ABCDA1B1C1D1中 P Q R 分别是 AB AD B1C1的中点 那么 正方体的过 P Q R 的截面图形是 A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 训练 1 下列如图所示是正方体和正四面体 P Q R S 分别是所在棱的 中点 则四个点共面的图形是 考向二 异面直线 例 2 如图所示 正方体 ABCDA1B1C1D1中 M N 分别是 A1B1 B1C1的中点 问 1 AM 和 CN 是否是异面直线 说明理由 2 D1B 和 CC1是否是异面直线 说明理由 训练 2 在下图中 G H M N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线 GH MN 是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 考向三 异面直线所成的角 例 3 2011 宁波调研 正方体 ABCDA1B1C1D1中 1 求 AC 与 A1D 所成角的大小 2 若 E F 分别为 AB AD 的中点 求 A1C1与 EF 所成角的大小 训练 3 A 是 BCD 平面外的一点 E F 分别是 BC AD 的中点 1 求证 直线 EF 与 BD 是异面直线 2 若 AC BD AC BD 求 EF 与 BD 所成的角 考向四 点共线 点共面 线共点的证明 例 4 正方体 ABCDA1B1C1D1中 E F 分别是 AB 和 AA1的中点 求证 1 E C D1 F 四点共面 2 CE D1F DA 三线共点 训练 4 如图所示 已知空间四边形 ABCD 中 E H 分别是边 AB AD 的 中点 F G 分别是边 BC CD 上的点 且 求证 三条直线 CF CB CG CD 2 3 EF GH 阅卷报告 10 点 直线 平面位置关系考虑不全致误 问题诊断 由于空间点 直线 平面的位置关系是在空间考虑 这与在平面上 考虑点 线的位置关系相比复杂了很多 特别是当直线和平面的个数较多时 各 种位置关系错综复杂 相互交织 如果考虑不全面就会导致一些错误的判断 防范措施 借助正方体 三棱锥 三棱柱模型来分析 示例 2011 四川 l1 l2 l3是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 A l1 l2 l2 l3 l1 l3 B l1 l2 l2 l3 l1 l3 C l1 l2 l3 l1 l2 l3共面 D l1 l2 l3共点 l1 l2 l3共面 错因 受平面几何知识限制 未能全面考虑空间中的情况 实录 甲同学 A 乙同学 C 丙同学 D 正解 在空间中 垂直于同一直线的两条直线不一定平行 故 A 错 两平行线 中的一条垂直于第三条直线 则另一条也垂直于第三条直线 B 正确 相互平 行的三条直 线不一定共面 如三棱柱的三条侧棱 故 C 错 共点的三条直线不一定共面 如三棱锥的三条侧棱 故 D 错 答案 B 试一试 2010 江西 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A 作直线 l 使 l 与棱 AB AD AA1所成的角 都相等 这样的直线 l 可以作 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 尝试解答 如图 连结体对角线 AC1 显然 AC1与棱 AB AD AA1所成的角 都相等 所成角的正切值都为 联想正方体的 2 其他体对角线 如连结 BD1 则 BD1与棱 BC