2011届高二数学 期末备考专题线性回归 新人教A版选修2-3

1 20112011 届高二数学期末备考专题线性回归届高二数学期末备考专题线性回归 重点难点讲解重点难点讲解 1 1 回归分析 回归分析 就是对具有相关关系的两个变量之间的关系形式进行测定 确定一个相关的数学表达式 以便进行估计预测的统计分析方法 根据回归分析方法得出的数学表达式称为回归方程 它可能是直线 也可能是曲线 2 2 线性回归方程 线性回归方程 设 x 与 y 是具有相关关系的两个变量 且相应于 n 组观测值的 n 个点 xi yi i 1 n 大致分布在一条直线的附近 则回归直线的方程为 其中 3 3 线性相关性检验 线性相关性检验 线性相关性检验是一种假设检验 它给出了一个具体检验 y 与 x 之间线性相关与否的 办法 在课本附表 3 中查出与显著性水平 0 05 与自由度 n 2 n 为观测值组数 相应的相 关系数临界值 r0 05 由公式 计算 r 的值 检验所得结果 如果 r r0 05 可以认为 y 与 x 之间的线性相关关系不显著 接受统计假设 如果 r r0 05 可以认为 y 与 x 之间不具有线性相关关系的假设是不成立的 即 y 与 x 之 间具有线性相关关系 典型例题讲解典型例题讲解 例例 1 1 从某班 50 名学生中随机抽取 10 名 测得其数学考试成绩与物理考试成绩资料 如表 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 54 66 68 76 78 82 85 87 90 94 物理成绩 61 80 62 86 84 76 85 82 88 96 试建立该 10 名学生的物理成绩对数学成绩的线性回归模型 解 解 设数学成绩为 x 物理成绩为 则可设所求线性回归模型为 计算 代入公式得 2 所求线性回归模型为 0 74x 22 28 说明 说明 将自变量 x 的值分别代入上述回归模型中 即可得到相应的因变量的估计值 由回归模型知 数学成绩每增加 1 分 物理成绩平均增加 0 74 分 大家可以在老师的帮助 下对自己班的数学 化学成绩进行分析 例例 2 2 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y 万元 有如下的统计资 料 x 2 3 4 5 6 y 2 2 3 8 5 5 6 5 7 0 若由资料可知 y 对 x 成线性相关关系 试求 1 线性回归方程 2 估计使用年限为 10 年时 维修费用是多少 分析 分析 本题为了降低难度 告诉了 y 与 x 间成线性相关关系 目的是训练公式的使用 解 解 1 列表如下 i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2 2 3 8 5 5 6 5 7 0 xiyi 4 4 11 4 22 0 32 5 42 0 4 9 16 25 36 于是 b 线性回归方程为 bx a 1 23x 0 08 2 当 x 10 时 1 23 10 0 08 12 38 万元 即估计使用 10 年时维修费用 是 12 38 万元 说明 说明 本题若没有告诉我们 y 与 x 间是线性相关的 应首先进行相关性检验 如果本 身两个变量不具备线性相关关系 或者说它们之间相关关系不显著时 即使求出回归方程 也是没有意义的 而且其估计与预测也是不可信的 例例 3 3 某省七年的国民生产总值及社会商品零售总额如下表所示 已知国民生产总值 与社会商品的零售总额之间存在线性关系 请建立回归模型 年份 国民生产总值 亿元 社会商品零售总额 亿元 1985 396 26 205 82 1986 442 04 227 95 1987 517 77 268 66 3 1988 625 10 337 52 1989 700 83 366 00 1990 792 54 375 11 1991 858 47 413 18 合计 4333 01 2194 24 解 解 设国民生产总值为 x 社会商品零售总额为 y 设线性回归模型为 依上表计算有关数据后代入的表达式得 所求线性回归模型为 y 0 445957x 37 4148 表明国民生产总值每增加 1 亿元 社 会商品零售总额将平均增加 4459 57 万元 例例 4 4 已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量 xkg 与每单位面积蔬菜每年平均产 量 yt 之间的关系有如下数据 年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 x kg 70 74 80 78 85 92 90 95 y t 5 1 6 0 6 8 7 8 9 0 10 2 10 0 12 0 年份 1993 1994 1995 1996 1997 19987 1999 x kg 92 108 115 123 130 138 145 y t 11 5 11 0 11 8 12 2 12 5 12 8 13 0 1 求 x 与 y 之间的相关系数 并检验是否线性相关 2 若线性相关 求蔬菜产量 y 与使用氮肥量之间的回归直线方程 并估计每单位面 积施肥 150kg 时 每单位面积蔬菜的年平均产量 分析 分析 1 使用样本相关系数计算公式来完成 2 查表得出显著水平 0 05 与自由 度 15 2 相应的相关系数临界值 r0 05比较 若 r r0 05 则线性相关 否则不线性相关 解 解 1 列出下表 并用科学计算器进行有关计算 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 xi 70 74 80 78 85 92 90 95 92 108 115 123 130 138 145 yi 5 1 6 0 6 8 7 8 9 0 10 2 10 0 12 0 11 5 11 0 11 8 12 2 12 5 12 8 13 0 xiyi 357 444 544 608 4 765 938 4 900 1140 1058 1188 1357 1500 6 1625 1766 4 1885 故蔬菜产量与施用氮肥量的相关系数 4 r 由于 n 15 故自由度 15 2 13 由相关系数检验的临界值表查出与显著水平 0 05 及自 由度 13 相关系数临界值 r0 05 0 514 则 r r0 05 从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着 线性相关关系 2 设所求的回归直线方程为 bx a 则 回归直线方程为 0 0931x 0 7102 当 x 150 时 y 的估值 0 0931 150 0 7102 14 675 t 说明 说明 求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大 需要细心谨慎 计算 如果会使用含统计的科学计算器 能简单得到 这些量 也就无需有制表这一步 直接算出结果就行了 另外 利用计算机中有 关应用程序也可以对这些数据进行处理 练习精选练习精选 一 选择题 1 观测两相关变量得如下数据 x 9 6 99 5 01 2 98 554 9994 y 9 7 5 3 5 024 9953 998 则下列选项中最佳的回归方程为 A 1 2 1 xy B y x C 3 1 2 xy D y 2x 1 解析解析 对表格中的数据进行适当的近似处理 分别代入选项中进行检验 每组数据都相差不 多的直线模型为最佳回归方程 仔细观察可以发现 表格的每组数据的 x 和 y 都近似相等 所以回归方程为 y x 答案答案 B 2 下列两个变量之间是相关关系的是 A 圆的面积与半径 B 球的体积与半径 C 角度与它的正弦值 D 一个考生的数学成绩与物理成绩 5 解析解析 相关关系不是确定的函数关系 这里 A B C 都是确定的函数关系 答案答案 D 3 想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关 应该检验 A H0 男性喜欢参加体育活动 B H0 女性不喜欢参加体育活动 C H0 喜欢参加体育活动与性别有关 D H0 喜欢参加体育活动与性别无关 解析解析 独立性检验假设有反证法的意味 应假设两类变量 而非变量的属性 无关 这时的 K2应该很小 如果 K2很大 则可以否定假设 如果 K2很小 则不能够肯定或者否定假设 答案答案 D 4 已知一组观测值具有线性相关关系 若对于 y axb 求得b 0 51 x 61 75 y 38 14 则线性回归方程为 A y 0 51x 6 65 B y 6 65x 0 51 C y 0 51x 42 30 D y 42 30 x 0 51 解析解析 xbya 38 14 0 51 61 75 42 30 答案答案 C 5 下面关于卡方说法正确的是 A K2在任何相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关 B K2的值越大 两个事件的相关性就越大 C K2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量 当 K2的值很小时可以推定两类变量不 相关 D K2的观测值的计算公式是 2 dbcadcba bcadn K 解析解析 K2只适用于 2 2 型列联表问题 且 K2只能推定两个分类变量相关 但不能推定两个 变量不相关 选项 D 中 K2公式错误 分子上少了平方 答案答案 B 二 填空题 6 根据下表 K2 保留两位小数 解析解析 把列联表的行和列的合计补充完整 可利用公式 2 2 dbcadcba bcadn K 直接计算 答案答案 1 39 7 下列命题 6 用相关系数 r 来刻画回归的效果时 r 的值越大 说明模型拟合的效果越好 对分类变量 X 与 Y 的随机变量的 K2观测值来说 K2越小 X 与 Y 有关系 可信程度越大 两个随机变量相关性越强 则相关系数的绝对值越接近 1 其中正确命题的序号是 写出所有正确命题的序号 解析解析 正确的是 是由于 r 可能是负值 中 K2越大 X 与 Y 有关系 可信程度越大 答案答案 三 解答题 8 在 7 块并排 形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验 得到如下 表所示的一组数据 单位 kg 施化肥 量 x 15202530354045 水稻产 量 y 330345365405445450455 1 画出散点图 2 求 y 关于 x 的线性回归方程 3 若施化肥量为 38 kg 其他情况不变 请预测水稻的产量 解解 1 根据题表中数据可得散点图如下 2 根据回归直线方程系数的公式计算可得回归直线方程是 y 4 75x 257 3 把 x 38 代入回归直线方程得 y 438 所以 可以预测 施化肥量为 38 kg 其他情况不 变时 水稻的产量是 438 kg 9 某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查 统计数据如下 表所示 积极参加班级工作 不太主动参加班级 工作 合计 学习积极性高 18725 学习积极性一般 61925 合计 242650 1 如果随机抽查这个班的一名学生 那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少 抽 到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少 2 试运用独立性检验的思想方法点拨 学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关 系 并说明理由 参考下表 P K2 k 0 500 400 250 150 100 050 0250 0100 0050 001 k0 4550 7081 3232 0722 7063 8415 0246 6357 879 10 82 8 解解 1 积极参加班级工作的学生有 24 人 总人数为 50 人 概率为 25 12 50 24 7 不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有 19 人 概率为 50 19 2 5 11 13 150 26242524 761918 50 2 2 K K2 6 635 有 99 的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系 10 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x 吨 与相应的生产 能耗 y 吨标准煤 的几组对照数据 x3456 y2 5344 5 1 请画出上表数据的散点图 2 请根据上表提供的数据 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y axb 3 已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤 试根据 2 求出的线性回归方 程 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤 参考数值 3 2 5 4 3 5 4 6 4 5 66 5 解解 1 由题设所给数据 可得散点图如图 2 由对照数据 计算得 86 4 1 2 i i x 5 4 4 6543 x 5 3 4 5 4435 2 y 已知 4 1 5 66 i iiy x 所以 由最小二乘法确定的回归方程的系数为 7 0 5 4486 5 35 44 5 66 4 4 24 1 2 2 4 1 i i i ii xx yxyx b xbya 3 5 0 7 4 5 0 35 因此 所求的回归方程为 y 0 7x 0 35 3 由 2 的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗 得降低的生产能耗为 8 90 0 7 100 0 35 19 65 吨标准煤 11 对某校学生进行心理障碍测试得到如下列联表 焦 虑说 谎懒 惰合 计 女 生 5101530 男 生 20105080 合 计 252065110 试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大 解解 由题设表格可得三个新的表格如下 关于是否得到焦虑的结论 焦 虑不焦虑合 计 女 生 52530 男 生 206080 合 计 2585110 关于是否说谎的结论 说 谎不说谎合 计 女 生 102030 男 生 1070