2011高考数学总复习 6.3 不等式的证明二夯实基础 大纲人教版

1 6 36 3 不等式的证明不等式的证明 二二 巩固巩固 夯实基础夯实基础 一 自主梳理一 自主梳理 1 用综合法证明不等式 利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出 待证不等式的方法叫综合法 概括为 由因导果 2 用分析法证明不等式 从待证不等式出发 分析并寻求使这个不等式成立的充分条 件的方法叫分析法 概括为 执果索因 除三种基本方法外 还有以下常用方法 1 反证法 是先假设结论不成立 并由此出发 推出与题设条件或已经知道的结论相矛 盾的结果 从而说明结论成立 2 换元法 原不等式的代数式 经适当的三角代换或代数换元 能使证明的过程简化 3 放缩法 借助于不等式的传递性 要证 a b 只需证 a c c b 或借助于其他途径放缩 如舍项 添项等 值得注意的是 放缩法是高考的 热点 特别在解答题中 注意使用 4 构造函数法 导数法在证明不等式时 也经常使用 5 数学归纳法证明不等式在数列中的运用也应引起重视 链接链接 提示提示 不等式证明方法多 证法灵活 其中比较法 分析法 综合法是基本方法 要熟练掌握 其他方法作为辅助 这些方法之间不能截然分开 要综合运用 二 点击双基二 点击双基 1 2010 上海春季高考 若 a b c R a b 则下列不等式成立的是 A a 1 b2 C 1 2 c a 1 2 c b D a c b c 解析 由不等式的性质容易得答案 C 答案 C 2 理 北京春季高考 若不等式 1 na 2 n n 1 1 对任意 n N 恒成立 则实数 a 的取值范 围是 A 2 2 3 B 2 2 3 C 3 2 3 D 3 2 3 解析 当 n 为正偶数时 a 2 n 1 又 2 n 1 为增函数 a 2 2 1 2 3 当 n 为正奇数时 a 2 n 1 而 2 n 1 为增函数 2 n 1 2 a 2 故 a 2 2 3 答案 A 文 经典回放 若 a 1 b 1 0 则下列结论不正确的是 A a2 b2 B ab b2 C a b b a 2 D a b a b 2 解析 由 a 1 b 1 0 知 b a 0 A 不正确 答案 A 3 2010 湖北八校联考 设函数 f x 是定义在 R 上 周期为 3 的奇函数 若 f 1 1 f 2 1 12 a a 则 A a 2 1 且 a 1 B 1 a 0 C a0 D 1 a 2 解析 由题意得 f 2 f 1 3 f 1 1 f 2 1 即 1 12 a a 0 即 3a a 1 0 a0 故选 C 答案 C 4 上海春季高考 同学们都知道 在一次考试后 如果按顺序去掉一些高分 那么班级的平均 分将降低 反之 如果按顺序去掉一些低分 那么班级的平均分将提高 这两个事实可以用数 学语言描述为 若有限数列 a1 a2 an满足 a1 a2 an 则 结论用数学式子 表示 解析 设原有人数为 n 去掉 n m 个人 1 m n n 个人的平均分为 n aaa n 21 m 个人的平均分为 m aaa m 21 依题意 m aaa m 21 n aaa n 21 mn aaa nmm 21 n aaa n 21 答案 m aaa m 21 n aaa n 21 1 m n 和 mn aaa nmm 21 n aaa n 21 1 m n 诱思诱思 实例点拨实例点拨 例 1 设实数 x y 满足 x2 0 0 a 1 求证 loga ax ay loga2 8 1 剖析 不等式左端含 x y 而右端不含 x y 故从左向右变形时应消去 x y 3 证明 ax 0 ay 0 ax ay 2 yx a 2 2 xx a x x2 4 1 x 2 1 2 4 1 0 a 1 ax ay 2 4 1 a 2 8 1 a loga ax ay 0 f x 在 0 上单调递增 a b a b 1 ba ba 1 ba ba 1 ba