2012年高考数学《数列》专题 等差数列和等比数列的综合应用学案

1 第第 4 4 课时课时 等差数列和等比数列的综合应用等差数列和等比数列的综合应用 1 1 等差数列的常用性质 m n p r N 若 m n p r 则有 an 是等差数列 则 akn k N k 为常数 是 数列 Sn S2n Sn S3n S2n构成 数列 2 2 在等差数列中 求 Sn的最大 小 值 关键是找出某一项 使这一项及它前面的项皆取正 负 值或 0 而它后面的各项皆取负 正 值 a1 0 d 0 时 解不等式组 0 0 1n n a a 可解得 Sn达到最 值时 n 的值 a10 时 解不等式组 可解得 Sn达到最小值时 n 的值 3 3 等比数列的常用性质 m n p r N 若 m n p r 则有 an 是等比数列 则 a 2 n n a 1 是 数列 若 Sn 0 则 Sn S2n Sn S3n S2n构成 数列 例例 1 1 是否存在互不相等的三个实数 a b c 使它们同时满足以下三个条件 a b c 6 a b c 成等差数列 将 a b c 适当排列后成等比数列 解 解 设存在这样的三位数 a b c 由 a b c 6 2b a c 得 b 2 a c 4 若 b 为等比中项 则 ac 4 a c 2 与题设 a c 相矛盾 若 a 为等比中项 则 a2 2c 则 a c 2 舍去 或 a 4 c 8 若 c 为等比中项 则 c2 2a 解得 c a 2 舍去 或 c 4 a 8 存在着满足条件的三个数 4 2 8 或 8 2 4 变式训练变式训练 1 1 若 a b c 成等差数列 b c d 成等比数列 1 1 1 c d e 成等差数列 则 a c e 成 A 等差数列 B 等比数列 C 既成等差数列又成等比数列 D 以上答案都不是 答案 答案 B B 解析 由2 2 ac bacb 由 2 2 2 c cbdd ac 由 211 dce 基础过关基础过关 典型例题典型例题 2 2 2 acce cae cce 即 a c e成等比数列 例例 2 2 已知公差大于 0 的等差数列 n a 1 满足 a2a4 a4a6 a6a2 1 a2 a4 a8依次成等比数 列 求数列 an 的通项公式 an 解 解 设 n a 1 的公差为 d d 0 由 a2 a4 a8成等比数列可知 2 1 a 4 1 a 8 1 a 也成等比数列 4 1 a 2 2 1 a 8 1 a 1 1 a 3d 2 1 1 a d 1 1 a 7d 化简得 d2 1 a d 1 1 a d 又 a2a4 a4a6 a6a2 1 化简为 2 1 a 4 1 a 6 1 a 642 1 aaa 3 4 1 a 62 1 aa 4 1 a 2 1 a 6 1 a 3 即 1 1 a d 1 1 a 5d 3 2d 6d 3 d 2 1 1 1 a 2 1 n a 1 1 1 a n 1 d 2 n an n 2 变式训练变式训练 2 2 已知 1 1 1 a b c 成等差数列 求证 bc ac ab abc 也成等差数列 解析 解析 由 1 1 1 a b c 成等差数列 则 211 2 acb ac bac 22222 2 bcabbcca abbccaabb acacacac acacacacacb 即 bc ac ab abc 成等差数列 例例 3 3 已知 ABC 中 三内角 A B C 的度数成等差数列 边 a b c 依次成等比数列 求 证 ABC 是等边三角形 解 解 由 2B A C 且 A B C 180 B 60 由 a b c 成等比数列 有 b2 ac cosB ac bca 2 222 ac acca 2 22 2 1 得 a c 2 0 a c ABC 为等边三角形 变式训练变式训练 3 3 若互不相等的实数a b c成等差数列 c a b成等比数列 且 3 103 cba 则a A 4 B 2 C 2 D 4 答案 答案 D 解析 依题意有 2 2 310 acb bca abc 4 2 8 a b c 例例 4 4 数列 an 的前 n 项和 Sn 且 a1 1 an 1 3 1 Sn n 1 2 3 求 a2 a3 a4的值及 an 的通项公式 a2 a4 a6 a2n的值 解析 解析 1 由 a1 1 an 1 3 1 Sn n 1 2 3 得 a2 3 1 S1 3 1 a1 3 1 a3 3 1 S2 3 1 a1 a2 9 4 a4 3 1 S3 3 1 a1 a2 a3 27 16 由 an 1 an 3 1 Sn Sn 1 3 1 an n 2 得 an 1 3 4 an n 2 又 a2 3 1 an 3 1 3 4 n 2 n 2 an 通项公式为 an 2 3 4 3 1 11 2 n n n 2 由 1 可知 a2 a4 a2n是首项为 3 1 公比为 3 4 2 项数为 n 的等比数列 a2 a4 a6 a2n 3 1 2 2 3 4 1 3 4 1 n 7 3 3 4 2n 1 变式训练变式训练 4 4 设数列 n a的前n项的和 1 412 2 333 n nn Sa 3 2 1 n 求首项 1 a与通项 n a 解析 解析 I 2 111 412 2 333 aSa 解得 1 2a 21 111 441 22 333 nn nnnnn aSSaa 1 1 242 nn nn aa 所以数列 2n n a 是公比为 4 的等比数列 所以 11 1 224 nn n aa 得 42 nn n a 其中 n 为正整数 归纳小结归纳小结 归纳小结归纳小结 4 1 在三个数成等差 或等比 时 可用等差 或等比 中项公式 在三个以上的数成等差 或等比 时 可用性质 m n p r N 若 m n p r 则 am an ap ar 或 am an ap ar 进行解答 2 若 a b c 成