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两角和与差的三角函数公式的证明两角和与差的三角函数公式的证明 三角函数 两角和与差 单位圆 托勒密定理 数学 利用单位圆方法证明 sin 与 cos 是进一步证明 大部分三角函数公式的基础 1 sin sin cos cos sin 在笛卡尔坐标系中以原点 O 为圆心作单位圆 在单位圆中作以下线段 如图中所示 容易看出 sin CF sin AB cos OB sin CD cos OD 则 平面几何的证明方法 如图所示 过程见下面的 评论 中新浪网友的提示 非常感谢这位网友的提示 让我们看到了证明一个定理的多种途径 真是妙 不可言 附 如何证明托勒密定理 见 托勒密 Ptolemy 定理指出 圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线 的乘积 原文 圆内接四边形中 两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面 积与另一组对边所包矩形的面积之和 从这个定理可以推出正弦 余弦的和差公式及一系列的三角恒等式 托勒 密定理实质上是关于共圆性的基本性质 具体的推导方法详见数学目录下的 博文 来自网友的提供 思路 托勒密定理在平面几何中赫赫有名 其难点在于 把一条对角线分割成 两条线段 DE 和 BE 第一步证明一对旋转的三角形相似 ABE ACD 第二 步还需要证一对旋转的三角形相似 ADE ACB 只有这两对相似的三角形出 来了才能得到结论 证明 以 AB 为边 作一个角等于已知角 即 BAE DAC 在 ABE 和 ACD 中 BAE DAC ABE ACD ABE ACD AB DC BE AC BAE DAC DAE CAB 在 ADE 和 ACB 中 ADE ACB DAE CAB ADE ACB AD BC DE AC 得 AB DC AD BC BE AC DE AC BE DE AC BD AC 结论 该命题对于圆内接的任意四边形都成立 最初是由数学家托勒密想出来 的 叫做托勒密定理 当你遇到 AB DC AD BC AC BD 这样的等积式时 如 果等式左边可以合二为一 则考虑
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