高中物理中常用的三角函数数学模型(强烈推荐!!!)

高中物理中常用的三角函数数学模型高中物理中常用的三角函数数学模型 数学作为工具学科 其思想 方法和知识始终渗透贯穿于整个物理学习和研究的过程 中 为物理概念 定律的表述提供简洁 精确的数学语言 为学生进行抽象思维和逻辑推 理提供有效方法 为物理学的数量分析和计算提供有力工具 高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用 借助物理知识渗透考查数学能力 是高考命题的永恒主题 可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为 数学问题经过求解再次还原为物理结论的过程 高考物理考试大纲对学生应用数学工具解 决物理问题的能力作出了明确要求 一 三角函数的基本应用 在进行力的分解时 我们经常用到三角函数的运算 虽然三角函数学生初中已经学过 但笔者在多年的教学过程中发现 有相当一部分学生经常在这里出问题 还有一部分学生 一直到高三都没把这部分搞清楚 为此 本人将自己的一些体会写出来 仅供大家参考 一 三角函数的定义式 斜边 对边 正弦 邻边 对边 正切 斜边 邻边 余弦 对边 邻边 余切 二 探寻规律 1 涉及斜边与直角边的关系为 弦 类 涉及两直角边的关系为 切 类 2 涉及 对边 为 正 类 涉及 邻边 为 余 类 3 运算符 由直角边求斜边用 除以 由斜边求直角边用 乘以 为更具规律性 两 直角边之间互求我们都用 乘以 三 速写 第一步 判断运算符是用 乘以 还是 除以 第二步 判断用 正 还是用 余 第三步 判断用 弦 还是用 切 即 边 边 运算符 正 余 弦 切 1 由直角边求斜边 正弦 对边 斜边 余弦 邻边 斜边 2 由斜边求直角边 正弦斜边对边 余弦斜边邻边 3 两直角边互求 正切邻边对边 余切对边邻边 四 典例分析 经典例题经典例题 1 如图 1 所示 质量为 m 的小球静止于斜面与竖直挡板之间 斜面倾角为 求小球对挡板和对斜面的压力大小分别是多少 解析 小球受到的重力产生的效果是压紧挡板和使球压紧斜面 重力的分解如图 2 所示 tan 1 mgF cos 2 mg F 图 1 mg F1 F2 图 2 经典例题经典例题 2 如图 3 所示 质量为 m 的小球静止于斜面与挡板之间 斜面倾角为 挡 板与斜面垂直 求小球对挡板和对斜面的压力大小分别是多少 解析 小球受到的重力产生的效果是压紧 挡板和使球压紧斜面 重力的分解如图 4 所示 sin 1 mgF cos 2 mgF 二 三角函数求物理极值 因正弦函数和余弦函数都有最大值 为 1 如果我们整理出来的物理量的表达式为正 弦函数或余弦函数 我们可直接求其极值 若物理量的表达式不是正弦 或余弦 函数的 基本形式 那么我们可以通过三角函数公式整理出正弦 或余弦 函数的基本形式 然后 在确定极值 现将两种三角函数求极值的常用模型归纳如下 1 利用二倍角公式求极值 正弦函数二倍角公式 cossin22sin 如果所求物理量的表达式可以化成 cossinAy 则根据二倍角公式 有 2sin 2 A y 当 时 y 有最大值 0 45 2 max A y 经典例题经典例题 1 一间新房即将建成时要封顶 考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快地流 离房顶 要设计好房顶的坡度 设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦地运动 那么图 5 所示四种情况中符合要求的是 解析 雨滴沿房顶做初速度为零的匀加速直线运动 设房顶底边长为 L 斜面长为 S 倾角为 根据运动学公式有 解得 2 at 2 1 S singt 2 1 cos2 L 2 当时 t 有最小值 2sin gL2 cossin gL t 0 45 答案 C 经典例题经典例题 2 如图 6 所示 一辆 1 4 圆弧形的小车停在水平地面上 一个质量为 m 的滑块 从静止开始由顶端无摩擦滑下 这一过程中小车始终保持静止状态 则小车 图 3 mg F1 F2 图 4 150 A 300 B 450 C 600 D 图 5 O v 图 6 FN mg R 运动到什么位置时 地面对小车的静摩擦力最大 最大值是多少 解析 设圆弧半径为 R 滑块运动到半径与竖直方向成 角时 静摩擦力最大 且 此时滑块速度为 v 根据机械能守恒定律和牛顿第二定律 应有 2 2 1 cosmvmgR R v mmgN 2 cos 由 两式联立可得滑块对小车的压力 cos3mgN 而压力的水平分量为 2sin 2 3 cossin3sinmgmgNNx 设地面对小车的静摩擦力为 f 根据平衡条件 其大小 2sin 2 3 mgNf x 从 f 的表达式可以看出 当 450时 sin2 1 有最大值 则此时静摩擦力的最大值 mgf 2 3 max 2 利用和差角公式求物理极值 三角函数中的和差角公式为 sincoscossin sin sinsincoscos cos 在力学部分求极值或讨论物理量的变化规律时 这两个公式经常用到 如果所求物理 量的表达式为 我们可以通过和差角公式转化为 cossinbay cossin 2222 22 ba b ba a bay 令 cos 22 ba a sin 22 ba b 则 sin 22 bay 当 时 y 有最大值 0 90 22 max bay 经典例题经典例题 1 重为 G 的木块与水平面间动摩擦因数为 一人欲用最小的作用力 F 使 木块沿地面匀速运动 则此最小作用力的大小和方向如何 解析 木块受四个力的作用 即重力 G 地面的支持力 FN 摩擦力和施加的外 f F 力 F 受力分析如图 7 所示 设力 F 与轴夹角为 由于物体在水平面上做匀速直线运x 动 处于平衡状态 所以在轴和轴分别列平衡方程 xy f FF cos GFF N sin 且有 Nf FF 联立 式 sincos G F 利用和差角公式变形为 其中 sin 1 2 G F 1 tg 当 时 F 具有极小值 F 与轴正方向间夹角1 sin 2 min 1 G Fx 1 tg 若变形为 其中 cos 1 2 G F tg 当 时 F 具有极小值 F 与轴正方向间夹角1 cos 2 min 1 G Fx 1 tg 由以上分析可知 两种变形得到的结果一样 经典例题经典例题 2 用跨过定滑轮的绳牵引物块 使其从图 8 所示位置起沿水平面向左做匀速 运动 若物块与地面间的动摩擦因数为 绳与滑轮质量不计 试分析运动过程中绳1 拉力的变化情况 解析 本题为讨论物理量的变化规律的问题 设绳子拉力为 F 受力分析 列平衡方程 求解 F 同上一例题 sincos G F 利用和差角公式变形为 其中 sin 1 2 G F 1 tg 900 450 而随物块向左运动 450