2012高考数学热点集中营 热点13 线性规划 新课标

用心 爱心 专心1 两年真题重温两年真题重温 2011 新课标全国理 13 2011A 新课标全国文 14 若变量x y满足约束条件 329 69 xy xy 则2zxy 的最小值为 答案 6 解析 本题主要考查简单线性规划 在坐标系中画出可行域 如下图 可知当直线过点A时取得最小值 由 230 4 5 90 xy A xy 可得A的坐标为 4 5 故2zxy 的最小值为6 2010A 新课标全国文 7 设偶函数 f x 满足 f x 2x 4 x0 则 20 x f x A B 24x xx 或 04 x xx 或 C D 06 x xx 或 22 x xx 或 x y 3 9 6 9 230 xy 90 xy A O 用心 爱心 专心2 答案 B 解析 本题考查函数性质和解不等式 因函数为偶函数 222 24 2 240 22 22 40 xxx f xfxx xx 或 命题意图猜想命题意图猜想 最新考纲解读最新考纲解读 1 一元二次不等式 1 会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型 2 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数 一元二次方程的联系 3 会解一元二次不等式 对给定的一元二次不等式 会设计求解的程序框图 2 二元一次不等式组与简单线性规划问题 从实际情境中抽象出二元一次不等式组 了解二元一次不等式的几何意义 能用平面区域表示二元一次不等式组 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题 并能加以解决 3 基本不等式 1 了解基本不等式的证明过程 2 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题 回归课本整合回归课本整合 1 一元二次不等式的解法 1 或分及情况分别axbxca 2 00 axbxca 2 00 a 0a 0 解之 还要注意的三种情况 即或或 最好联系二次函 bac 2 4 0 0 0 数的图象 2 一元二次函数 方程 不等式的的关系 用心 爱心 专心3 2 斜率型 11 11 b y ybaybxybycbxb a za bx yaakk yc xaxcxcxcxcyck xb 与的斜率 常见的变形式 用心 爱心 专心4 方法技巧提炼方法技巧提炼 1 1 如何确定含参二次不等式的分类标准如何确定含参二次不等式的分类标准 含参数的二次不等式的解法常常设计到参数的讨论问题 如何选择讨论标准 始终是学 生不易掌握的课题 实际上 只要把握好下面的四个 讨论点 一切便迎刃而解 分类标准一 二次项系数是否为零 目的是讨论不等式是否为二次不等式 分类标准二 二次项系数的正负 目的是讨论二次函数图像的开口方向 分类标准三 对判别式的正负 目的是讨论二次方程是否有解 分类标准四 讨论两根差的正负 目的是比较根的大小 例 1 解关于的不等式 x 0113Rmxxm 解 解 首先对二次项系数是否为零进行讨论 然后再讨论系数的正负 从而确定分类标准 当 m 时 原不等式为 x 1 0 不等式的解为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 1 x 当时 原不等式可化为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 m 01 3 1 x m x 用心 爱心 专心5 2 2 如何把握逆向不等式解法如何把握逆向不等式解法 例 2 不等式 1 12 1 ax x xxa x 的解集为或则的值为 用心 爱心 专心6 答案 1 2 解析 按照分式不等式的解法首先转化为整式不等式 然后利用以二次不等式为背景的思 路进行解决 由 1 1 10 1 1 1 0 11 axax axx xx 12 x xx 解集为或 则有 11 10 2 12 aa a 点评 此题关键在于转化 分式不等式转化为整式不等式 然后利用二次不等式为背景 的解题思路进行分析确定 虚线表示不包含直线 有等号时用实线表示包含直线 ll 3 设点 若与同号 则 P Q 在直 11 P x y 22 Q xy 11 AxByC 22 AxByC 线 的同侧 异号则在直线 的异侧 ll 例 3 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分 0 34 34 x xy xy 4 3 ykx 则的值是 k A B C D 7 3 3 7 4 3 3 4 答案 A 解析 首先画出三条直线 0 3434xxyxy x y A C B4 3 ykx D O 用心 爱心 专心7 则有 因两个三角形的高相同 可知 D 为 AB 的中点 则 D 1 2 BCDABC SS 1 5 2 2 5147 2233 kk 例 4 设为实数 若m 则的取 22 250 30 25 0 xy xyxxy xy mxy m 值范围是 答案 4 0 3 解析 此题给出了两个点集的关系 通过不等式组对点进行约 束 即可转化为线性规划问题 其中参数m是直线的斜率的相反数 直线ymx 表示恒过 0 0 点一组直线 从而确定m的正负对可行域的影响 由图易知 设ymx 若的斜率为正 显然可行域不是一块封闭区 5 0 3 4 3 4 ANM 0 m ymx 域 不可能满足条件 当 直线的斜率 时方成立 故答案为 0m m 4 3 OM k 4 0 3 点评 此题的分类讨论体现在直线的斜率 其讨论标准为正负两类 它决定着可行域的 范围 为 A 2000 元 B 2200 元 C 2400 元 D 2800 元 答案答案 B B 250 xy ymx 3x M x y A N x y 4 8 1 2 4 3 yx 用心 爱心 专心8 解析解析 设甲型货车使用x辆 已型货车y辆 则 求最 04 0 2010 x y xy 8 100 400300zxy 小值 可知使得直线的截距最小 目标函数最小 可 4 400300 3300 z zxyyx 求出最优解为 4 2 故 故选 B 2200z 例 6 设满足约束条件 若目标函数的值是最大 x y 360 20 0 0 xy xy xy 0 0 zaxby ab 值为 12 则的最小值为 23 ab A B C D 4 6 25 3 8 3 11 答案 答案 A A 解析 解析 不等式表示的平面区域如图 1 所示阴影部分 当直线 过直线与直线的交点 az yx bb 20 xy 360 xy 时 直线的截距最大 此时目标函数取得最大 12 即 4 6 而4612236abab 故选 A 23 ab 23 23131325 2 6666 abba abab 点评 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的 最值问题 要求能准确地画出不等式表示的平面区域 并且能够求得 目标函数的最值 对于形如已知 求的最小值 采236ab 23 ab 用 凑倒数 技巧 进而用基本不等式解答 w w w zxxk c o m x 2 2 y y O 2 zaxby 360 xy 20 xy 图 9 用心 爱心 专心9 8 8 均值不等式的一个重要应用均值不等式的一个重要应用 类似题型 已知 若 的最小值 可以采用 乘常 a b c d x yR 1axby cd xy 数 凑倒数 的变形技巧 然后利用均值不等式求其最值 如 2 1 2 cdcdbcyadx axbyacbdacbdabcdacbd xyxyxy 当且仅当等号成立 bcyadx xy 例 9 已知为内一点 且已知和MABC 2 3 30 AB ACBAC MBCMCA 用心 爱心 专心10 考场经验分享考场经验分享 6 一元二次不等式的界定 对于貌似一元二次不等式的形式要认真鉴别 如 解不等式 x a ax 1 0 如果a 0 它实际上是一个一元一次不等式 只有当a 0 时它才是一个 用心 爱心 专心11 一元二次不等式 新题预测演练新题预测演练 1 2012 年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测 若实数的最小值是 yx z x yx yx yx 2 3 0 0 01 则满足 A 0 B 1 C D 93 答案 B 解析 可行域如图 可知 B 0 1 O 0 0 答案 C 解析 当 222 2 2 114 4 2 aaa bab b aba 且仅当时等号成立 2 2 2 1 4 bab ab a a 3 2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测 二 x y B A B O 1 x y 1 0 x y 0 x 2y 0 5 4 Q x y A B C O 用心 爱心 专心12 已知点 5 4 动点 满足 则 的最小值为QPxy 01 02 022 y yx yx PQ A 5 B C 2 D 7 3 4 答案 A 解析 如图所示的可行域 直线 AB 为过 Q 点与直线 AB 垂直的直线为20 xy 与的交点为 而 B 1 1 A 0 2 因 45 10 yxxy 20 xy 3 1 2 2 故点 Q 3 1 2 答案 C 解析 由函数的图像可知 需满足或 所以点 2 1f xx a b 2 20 b a 2 02 a b 用心 爱心 专心13 答案 D A B C D 1 0 4 1 1 4 2 1 1 4 2 3 0 8 答案 C 用心 爱心 专心14 面区域的面积是 A 1 B 2 C 4 D 8 答案 C 解析 由在由不等式组 确定的平面区域 M a b 0 0 2 x y xy 内 得 02 02 ab ab 所以点所在平面如图所示 其面积为 N ab ab 2 224 11 山东省德州市 2012 届高三上学期期末考试数学试题 已知不等式的解集为则不等式的解集为 2 0axbxc 42 xx 2 0cxbxa A B C D 2 1 xx 4 1 xx 4 1 2 1 xx 4 1 2 1 xxx或 答案 D X O Y 2 2 用心 爱心 专心15 是锐角 故点 M 与原点重合时 的最小值为 0 zOM OA 答案 D 用心 爱心 专心16 解析 先画出约束条件Error 表示的可行域 如图 1 1 图 1 1 直线x y 1 与y mx的交点为 由图可知 当x y 时 目 1 m 1 m m 1 1 m 1 m m 1 标函数z x my有最大值小于 2 则有 m 2 得 1 m1 故m的取值范围为 1 m 1 故选 A 2 17 2011 浙江卷 设实数x y满足不等式组Error 若x y为整数 则 3x 4y的最小值 是 A 14 B 16 C 17 D 19 答案 B 解析 可行域如图所示 用心 爱心 专心17 图 1 3 答案 C 解析 由得 1 1 0fxfx 1 1 fxfx 又 22 623 8 0f mmf nn 22 623 1 81 f mmfnn 222 623 1 81 28 f mmfnnfnn 是上的增函数 f xR 2 623mm 2 28nn 22 3 4 4mn 又 结合图象知为半圆3m 22 mn 内的点到原点的距离 故 22 3 4 4 3 mnm 22 137mn 22 1349 mn x y O A B 用心 爱心 专心18 选项 B 也不恒成立 恒 112 2 ab ababab 222 2422abababab 成立 故选 D 21 2011 湖南卷 设x y R R 且xy 0 则的最小值为 x2 1 y2 1 x2 4y2 24 24 安徽省示范高中安徽省示范高中 20122012 届高三第二次联考届高三第二次联考 答案 0 1 用心 爱心 专心19 解析 由题意可知故函数的定义域 22 0 0 01 xxxxx 2 2 logxxy 为 0 1 示的平面区域的面积是 9 则实数的值为 a 答案 1 某所学校计划招聘男教师名 女教师名 和须满足约束条件则xyxy 25 2 5 xy xy x 该校招聘的教师人数最多是 名 答案 7 解析 本题是线性规划中的整点问题 注意到 虚线 当取可行域内的整点时 目标函 4 3 数取得最大值 7 zx y 29 保定市 2011 2012 学年度第一学期高三 x y O A B C 用心 爱心 专心20 期末调研考试 解得 tancos fxf xxxm 即t an x cos x m 2 mkkZ 又因为满足不等式 解得 所以 则的取值m 2 3100mm 25m 1