2010年高三数学试题汇编 第九章直线、平面、简单几何体程 第四节 简单的几何体与球

用心 爱心 专心 1 第九章第九章 直线 平面 简单几何体直线 平面 简单几何体 四四 简单的几何体与球简单的几何体与球 考点阐述 多面体 正多面体 棱柱 棱锥 球 考试要求 8 了解多面体 凸多面体的概念 了解正多面体的概念 9 了解棱柱的概念 掌握棱柱的性质 会画直棱柱的直观图 10 了解棱锥的概念 掌握正棱锥的性质 会画正棱锥的直观图 11 了解球的概念 掌握球的性质 掌握球的表面积 体积公式 考题分类 一 选择题 共 12 题 1 北京卷理 8 如图 正方体 ABCD 1111 ABC D 的棱长为 2 动点 E F 在棱 11 AB 上 动点 P Q 分别在棱 AD CD 上 若 EF 1 1 A E x DQ y D 大于零 则四面体 PE 的体积 与 都有关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 与 有关 与 无关 答案 D 解析 这道题目延续了北京高考近年 8 14 20 的风格 即在变化中寻找不变 从图中可 以分析出 EFQ 的面积永远不变 为面 11 ABCD 面积的 1 4 而当P点变化时 它到面 11 ABCD 的距离是变化的 因此会导致四面体体积的变化 2 北京卷文 8 如图 正方体 1111 ABCD A B C D 的棱长为 2 动点 E F 在棱 11 A B 上 点 Q 是 CD 的中点 动点 P 在棱 AD 上 若 EF 1 DP x 1 A E y x y 大于零 则三棱锥 P EFQ 的体积 A 与 x y 都有关 B 与 x y 都无关 C 与 x 有关 与 y 无关 D 与 y 有关 与 x 无关 用心 爱心 专心 2 3 福建卷理 6 如图 若 是长方体 1111 ABCD A B C D 被平面EFGH截 去几何体 11 EFGHBC 后得到的几何体 其中 E 为线段 11 A B 上异于 1 B 的点 F 为线段 1 BB 上异于 1 B 的点 且EH 11 AD 则下列结论中不正确的是 A EH FG B 四边形EFGH是矩形 C 是棱柱 D 是棱台 答案 D 解析 因为EH 11 AD 11 AD 11 BC 所以EH 11 BC 又EH 平面11 BCBC 所以EH 平面 11 BCBC 又EH 平面EFGH 平面EFGH 平面 11 BCBC FG 所以EH FG 故EH FG 11 BC 所以选项 A C 正确 因为 11 AD 平面 11 ABB A EH 11 AD 所以EH 平面 11 ABB A 又EF 平面 11 ABB A 故EH EF 所以 选项 B 也正确 故选 D 命题意图 本题考查空间中直线与平面平行 垂直的判定与性质 考查同学们的空间想 象能力和逻辑推理能力 4 江西卷理 10 过正方体 1111 ABCDABC D 的顶点 A 作直线 L 使 L 与棱AB AD 1 AA 所成的角都相等 这样的直线 L 可以作 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 答案 D 解析 考查空间感和线线夹角的计算和判断 重点考查学生分类 划归转化的能力 第 一类 通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1 第二类 在图形外部和每条 棱的外角和另 2 条棱夹角相等 有 3 条 合计 4 条 5 江西卷文 11 如图 M 是正方体 1111 ABCDABC D 的棱 1 DD 的中点 给出下列命题 过 M 点有且只有一条直线与直线AB 11 BC 都相交 1 A 1 B 1 C 1 D A D CB MA 用心 爱心 专心 3 过 M 点有且只有一条直线与直线AB 11 BC 都垂直 过 M 点有且只有一个平面与直线AB 11 BC 都相交 过 M 点有且只有一个平面与直线AB 11 BC 都平行 其中真命题是 A B C D 答案 C 解析 考查立体几何图形中相交平行垂直性质 6 辽宁卷理 12 有四根长都为 2 的直铁条 若再选两根长都为 a 的直铁条 使这六根铁 条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架 则 a 的取值范围是 A 0 62 B 1 2 2 C 62 62 D 0 2 2 7 辽宁卷文 11 已知 S A B C 是球O表面上的点 SA ABC 平面 AB BC 1SAAB 2BC 则球O的表面积等于 A 4 B 3 C 2 D 解析 选 A 由已知 球O的直径为2 2RSC 表面积为 2 44 R 8 全国 卷理 12 文 12 已知在半径为 2 的球面上有 A B C D 四点 若 AB CD 2 则四 面体 ABCD 的体积的最大值为 用心 爱心 专心 4 A 2 3 3 B 4 3 3 C 2 3 D 8 3 3 答案 B 命题意图 本小题主要考查几何体的体积的计算 球的性质 异面直线的距 离 通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力 解析 过 CD 作平面 PCD 使 AB 平面 PCD 交 AB 与 P 设点 P 到 CD 的距离为h 则有 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 当直径通过 AB 与 CD 的中点时 22 max 2 212 3h 故 max 4 3 3 V 9 全国 新卷理 10 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有棱长都为a 顶点都在一个球面 上 则该球的表面积为 A 2 a B 2 7 3 a C 2 11 3 a D 2 5 a 答案 B 解析 如图 P 为三棱柱底面中心 O 为球心 易知 2331 3232 APaa OPa 所以球的半径R满足 2222 317 3212 Raaa 故 22 7 4 3 SRa 球 10 全国 新卷文 7 设长方体的长 宽 高分别为 2a a a 其顶点都在一个球面上 则该球的表面积为 A 3 a2 B 6 a2 C 12 a2 D 24 a2 答案 B 解析 根据题意球的半径R满足 22 2 6Ra 所以 2 6Sa 球 11 全国 卷理 9 已知正四棱锥S ABCD 中 2 3SA 那么当该棱锥的体积最大 时 它的高为 A 1 B 3 C 2 D 3 答案 C 命题意图 本试题主要考察椎体的体积 考察告辞函数的最值问题 解析 设底面边长为 a 则高所以体积 用心 爱心 专心 5 设 则 当 y 取最值时 解得 a 0 或 a 4 时 体积最大 此时 故选 C 12 四川卷理 11 文 12 半径为R的球O的直径AB垂直于平面 垂足为B BCDA 是平面 内边长为R的正三角形 线段AC AD分别 与球面交于点 M N 那么 M N 两点间的球面距离是 A 17 arccos 25 R B 18 arccos 25 R C 1 3 R D 4 15 R 解析 由已知 AB 2R BC R 故 tan BAC 1 2 cos BAC 2 5 5 连结 OM 则 OAM 为等腰三角形 AM 2AOcos BAC 4 5 5 R 同理 AN 4 5 5 R 且 MN CD 而 AC 5 R CD R 故 MN CD AN AC MN 4 5 R 连结 OM ON 有 OM ON R 于是 cos MON 222 17 225 OMONMN OM ON A 所以 M N 两点间的球面距离是 17 arccos 25 R 答案 A 二 填空题 共 8 题 1 湖北卷理 13 文 14 圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水 若放入 三个相同的球 球的半径与圆柱的底面半径相同 后 水恰好淹没最上 面的球 如图所示 则球的半径是 cm 答案 4 解析 设球半径为 r 则由3V VV 柱柱柱 可得3 322 4 86 3 rrrr 解得 r 4 用心 爱心 专心 6 2 江西卷理 16 如图 在三棱锥O ABC 中 三条棱OA OB OC两两垂直 且OA OB OC 分别经过三条棱OA OB OC作一个截面平分三棱锥的体积 截面面积依次为1 S 2 S 3 S 则 1 S 2 S 3 S 的大小关系为 答案 321 SSS 解析 考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力 通过补形 借助长方体验证结论 特殊化 令边长为 1 2 3 得 321 SSS 3 江西卷文 16 长方体 1111 ABCDABC D 的顶点均在同一个球面上 1 1ABAA 2BC 则A B两点间的球面距离为 答案 3 解析 考查球面距离 可先利用长方体三边长求出球半径 在三角形中求出球心角 再 利用球面距离公式得出答案 4 全国 卷理 16 文 16 已知球O的半径为 4 圆M与圆N为该球的两个小圆 AB为 圆M与圆N的公共弦 4AB 若 3OMON 则两圆圆心的距离MN 答案 3 命题意图 本试题主要考查球的截面圆的性质 解三角形问题 解析 设 E 为 AB 的中点 则 O E M N 四点共面 如图 4AB 所以 2 2 AB OER2 3 2 ME 3 由球的截面性质 有OM ME ONNE 3OMON 所以 MEO 与 NEO 全等 所以 MN 被 OE 垂直平分 在直角三角形 中 由面积相等 可得 ME MO MN 23 OE A 5 上海卷理 12 如图所示 在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中 AC 与 BD 相交于 O 剪去 AOBA 将剩余部分沿 OC OD 折叠 使 OA OB 重合 则以 A B C D O 为顶点的四面体的体积为 解析 翻折后的几何体为底面边长为 4 侧棱长为 22 的正三棱锥 用心 爱心 专心 7 高为 3 62 所以该四面体的体积为 3 28 3 62 2 3 16 2 1 3 1 6 上海卷文 6 已知四棱椎P ABCD 的底面是边长为 6 的正方形 侧棱PA 底面 ABCD 且8PA 则该四棱椎的体积是 解析 考查棱锥体积公式 96836 3 1 V 7 上海春卷 10 各棱长为 1 的正四棱锥的体积 V 答案 2 6 解析 由题知斜高 3 2 h 则 2 2 h 故 1122 1 3326 VSh 8 上海春卷 13 在右图所示的斜截圆柱中 已知圆柱底面的 直径为 40cm 母线长最短 50cm 最长 80cm 则斜截圆柱的侧面面 积 S cm2 答案 2600 解析 将侧面展开可得 5080 202600S 三 解答题 共 3 题 1 上海卷理 21 如图所示 为了制作一个圆柱形灯笼 先要制作 4 个全等的矩形骨架 总计耗用 9 6 米铁丝 骨架把圆柱底面 8 等份 再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下 底面 不安装上底面 1 当圆柱底面半径r取何值时 S取得最大值 并求出该最大值 结果 精确到 0 01 平方米 2 在灯笼内 以矩形骨架的顶点为点 安装一些霓虹灯 当灯笼的底 面半径为 0 3 米时 求图中两根直线 13 AB 与 35 A B 所在异面直线所成角的 大小 结果用反三角函数表示 解析 用心 爱心 专心 8 2 上海卷文 21 如图所示 为了制作一个圆柱形灯笼 先要制作 4 个全等的矩形骨架 总计耗用 9 6 米铁丝 再用S平方米塑料片制成 圆柱的侧面和下底面 不安装上底面 1 当圆柱底面半径r取何值时 S取得最大值 并求出该 最大值 结果精确到 0 01 平方米 2 若要制作一个如图放置的 底面半径为 0 3 米的灯笼 请作出用于灯笼的三视图