2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷解析版）

1 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 北京卷 解析年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 北京卷 解析 版 版 一 选择题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出四个选项中 选出符合题目 要求的一项 1 已知集合 若 则a的取值范围是 2 1 Px x Ma PMP A B C D 1 1 1 1 1 1 答案 C 解析 选 C 2 1 11 Px xxx 1 1 PMPa 2 复数 i2 12i A B C D ii 43 i 55 43 i 55 答案 A 解析 选 A 2 2 i2 i2 1 2i 2242 1 24 12i 12i 1 2i 1 41 4 1 iiiii i i 3 在极坐标系中 圆的圆心的极坐标是2sin A B C D 1 2 1 2 1 0 1 答案 B 解析 圆心直角坐标为 0 1 极坐标为 22 2sin 1 1xy 1 2 选 B 4 执行如图所示的程序框图 输出的s的值为 A B C D 3 1 2 1 3 2 答案 D 解析 循环操作 4 次时 S 的值分别为 选 D 11 3 2 32 2 5 如图 AD AE BC分别与圆O切于点D E F 延长AF与圆O交于另一点G 给出下列 三个结论 CABCABAEAD AEADAGAF 其中正确的结论的序号是 ADGAFB A B C D 答案 A 解析 正确 由条件可知 BD BF CF CE 可得 CABCABAEAD 正确 通过条件可知 AD AE 由切割定理可得 2 AF AGADAD AE 错误 连接 FD 如下图 若 则有 通过图像可ADGAFB ABFDGF 知 因而错误 答案选 A 2ABFBFDBDFDGF 6 根据统计 一名工人组装第x件某产品所用的时间 单位 分钟 为 A c为常数 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟 组装第A件 c xA x f x c xA A 产品时用时 15 分钟 那么c和A的值分别是 A 75 25B 75 16 C 60 25 D 60 16 答案 D 解析 由条件可知 时所用时间为常数 所以组装第 4 件产品用时必然满足第一xA 个分段函数 即 4 3060 4 c fc 选 D 60 1516f AA A 7 某四面体三视图如图所示 该四面体四个面的面积中最大的是 A B C 86 210 D 8 2 答案 C 解析 由三视图还原几何体如下图 该四面体四个面 C B G A O D E F B C A P 4 2 3 5 4 4 3 的面积中最大的是PAC 面积为 10 选 C 8 设A 0 0 B 4 0 C 4 D t 4 记N t 为平行四边形4 ttR ABCD内部 不含边界 的整点的个数 其中整数点是指横 纵坐标都是整数的点 则函数 N t 的值域为 A 9 10 11 B 9 10 12 C 9 11 12 D 10 11 12 答案 C 解析 如下图 在 t 0 0 t 1 t 1 时分别对应点为 9 11 12 选 C 1 t 0 9 D t 4 4 C t 4 B 4 0 A 0 0 D t 4 4 C t 4 B 4 0 A 0 0 图 2 t 2 时情况点分布 11 点 3 t 1 12 D t 4 4 C t 4 B 4 0 A 0 0 4 上面 4 种情形涵概了 的所有可能取值 所以的值域为 9 11 12 如图所示 t N t 故选 C 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 在中 若 则 ABCA5b 4 B tan2A sin A a 答案 2 5 5 2 10 解析 由 又所以tan2A sin1 2cossin cos2 A AA A 22 sincos1AA 5 解得 正弦定理得则 22 1 sinsin1 4 AA 2 5 sin 5 A 2 5 5 5 5 2 52 sin 4 52 a a 2 10a 10 已知向量 若与共线 则 3 1 a 0 1 b 3 k c2ab c k 答案 1 解析 由与共线得2 3 3 ab 2ab c 3331kk 11 在等比数列中 若 则公比 n a 1 1 2 a 4 4a q 12 n aaa 答案 2 1 1 2 2 n 解析 由是等比数列得 又 所以 n a 3 41 aa q 14 1 4 2 aa 3 1 42 2 qq 是以为首项 以 2 为公比的等比数列 n a 1 2 1 12 1 2 2 n n aaa 12 用数字 2 3 组成四位数 且数字 2 3 至少都出现一次 这样的四位数共有 个 用数字作答 答案 14 解析 个数为 4 2214 13 已知函数 若关于x的方程有两个不同的实根 则实 3 2 2 1 2 x f xx xx f xk 数k的取值范围是 答案 0 1 解析 单调递减且值域为 0 1 单调递增且值 2 2 f xx x 3 1 2 f xxx 域为 有两个不同的实根 则实数k的取值范围是 0 1 1 f xk 14 曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的 1 1 0 F 2 1 0 F 2 1 aa 轨迹 给出下列三个结论 曲线C过坐标原点 曲线C关于坐标原点对称 若点P 在曲线C上 则的面积不大于 其中 所有正确结论的序号是 12 FPFA 2 1 2 a 答案 6 解析 曲线经过原点 这点不难验证是错误的 如果经过原点 即么 与C1a 条件不符 曲线关于原点对称 这点显然正确 如果在某点处关于C 2 12 PFPFa 原点的对称点处也一定符合 三角形的面积 2 12 PFPFa 12 FF P invm S 1 2 12 PFPF 12 1 sin 2 FPF 12 PFPF 2 2 a 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 已知函数 1 求的最小正周期 2 求在 4cos sin 1 6 f xxx f x f x 区间上的最大值和最小值 6 4 解析 因为1 6 sin cos4 xxxf1 cos 2 1 sin 2 3 cos4 xxx 所以的最小正周期1cos22sin3 2 xxxx2cos2sin3 6 2sin 2 x xf 为 因为于是 当时 3 2 6 2 6 46 xx所以 6 26 2 xx即 取得最大值 2 当取得最小 xf 6 66 2xfxx时即 值 1 16 共 14 分 如图 在四棱锥中 PABCD 平面ABCD 底面ABCD是菱形 PA 2AB 1 求证 平面PAC 60BAD BD 2 若 求PB与AC所成角的余弦值 PAPB 3 当平面PBC与平面PDC垂直时 求PA的长 解析 证明 因为四边形 ABCD 是菱形 所以 又因为平面 所以 PABD PA ABCDPABD 所以平面 BD PAC 设 因为0ACBD 0 60 2BADPAAB 所以 如图 以 O 为坐标原点 建立空间直角坐标系 则1 3BOAOCD Oxyz 所设 0 3 2 0 3 0 1 0 0 0 3 0 pABC 1 3 2 0 2 3 0 PBAC 与所成角为 则PBAC cos PB AC PB AC 66 42 22 3 D P A B C 7 由 知设 则设平 1 3 0 BC 0 3 Pt 0 t 1 3 BPt 面的法PBC 向量则 所以令则 mx y z 0 0BC mBP m 30 30 xy xytz 3 x 3 y 6 z t 所以同理 平面的法向量 因为平面 6 3 3 m t PDCn 6 3 3 t PBC PDC 所以 即解得 所以0mn 6 60 t 6t 6PA 17 以下茎叶图记录了甲 乙两组各四名同学的植树棵数 乙组记录中有一个数据模糊 无 法确认 在图中以X表示 1 如果 求乙组同学植树棵数的平均数和方差 8X 2 如果 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 求这两名同学的植树总棵数9X Y的分布列和数学期望 注 方差 其中 2222 12 1 n sxxxxxx n 为 的平均数 x 1 x 2 x n x 解析 1 当 X 8 时 由茎叶图可知 乙组同学的植树棵数是 8 8 9 10 所以平均数为 4 35 4 10988 x 方差为 16 11 4 35 10 4 35 9 4 35 8 4 35 8 4 1 22222 s 当X 9 时 由茎叶图可知 甲组同学的植树棵树是 9 9 11 11 乙组同学 的植树棵数是 9 8 9 10 分别从甲 乙两组中随机选取一名同学 共有 4 4 16 种可能的结果 这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17 18 19 20 21 事件 Y 17 等价于 甲组选出的同学植树 9 棵 乙组选出的同学植树 8 棵 所以该事件 有 2 种可能的结果 因此 P Y 17 8 1 16 2 同理可得 4 1 18 YP 4 1 19 YP 8 1 21 4 1 20 YPYP 所以随机变量 Y 的分布列为 Y1718192021 P 8 1 4 1 4 1 4 1 8 1 17 17 18 18 19 19 20 20 EYP YP YP YP Y 21 21 P Y 8 19 11111 1718192021 84448 18 已知函数 1 求的单调区间 2 若对 都有 k x ekxxf 2 xf0 x 求的取值范围 e xf 1 k 解析 令 当时 22 1 x k fxxke k 0 fxxk 0k 的情况如下 f xfx x k k k k k k fx 0 0 f x 21 4k e 0 所以 的单调递增区间是和 单调递减区间是 当 f x k k k k 时 与的情况如下 0k f x fx x k k kk k k fx 0 0 f x 0 21 4k e 所以 的单调递减区间是和 单调递减区间是 f x k k kk 当时 因为 所以不会有当0k 1 1 1 1 k f ke e 1 0 xf x e 时 由 知在上的最大值是所以0k f x 0 2 4 k fk e 等价于 解得故当 1 0 xf x e 2 4 k fk e 1 e 1 0 2 k 时 的取值范围是 0 1 0 xf x e k 1 2 19 已知椭圆G 过点 m 0 作圆的切线l交椭圆G于A B两 2 2 1 4 x y 22 1xy 点 9 1 求椭圆G的焦点坐标和离心率 2 将表示为m的函数 并求的最大值 AB AB 解析 由已知得 所以所以椭圆的焦点坐标2 1 ab 22 3eab G 为 离心率为 3 0 3 0 3 2 c e a 由题意知 当时 切线 l 的方程 点 A B 的1 m1 m1 x 坐标分别为此时当 m 1 时 同理可得 2 3 1 2 3 1 3 AB3 AB 当时 设切线 l 的方程为由1 m mxky 2 2 1 4 yk xm x y 222 14 8kxk mx 得 设 A B 两点的坐标分别为 则 22 440k m 2211 yxyx 又由l与圆 2 22 21 2 2 21 41 44 41 8 k mk xx k mk xx 22 1 xy 相切 所以 222 2 1 1 1 km m kk k 得即 2 12 2 12 yyxxAB 由于当时 41 44 4 41 64 1 2 22 22 4 2 k mk k mk k 3 34 2 m m 3 m 3 AB 所以 因为 1 1 3 34 2 m m m AB 2 3 34 3 34 2 m m m m AB 且当时 AB 2 所以 AB 的最大值为 23 m 20 若数列 满足 2 则 n A 1 a 2 a 2 n a n 1 1 kk aa k 11n 称为E数列 记 1 写出一个满足 且 n A 12 nn S Aaaa 15 0aa 10 的E数列 2 若 证明 E数列是递增数列的充要 5 0S A 5 A 1 12a 2000n n A 条件是 3 对任意给定的整数 是否存在首项为 0 的E数列 2011 n a 2 n n n A 使得 如果存在 写出一个满足条件的E数列 如果不存在 说明理由 0 n S A n A 解析 0 1 2 1 0 是一具满足条件的 E 数列 A5 答案不唯一 0 1