2012-2013高中数学 3-2-3向量法在空间垂直关系中的应用同步检测 新人教B版选修2-1

1 3 23 2 第第 3 3 课时课时 向量法在空间垂直关系中的应用向量法在空间垂直关系中的应用 一 选择题 1 若直线l 且l的方向向量为 2 m 1 平面 的法向量为 1 2 则m为 1 2 A 4 B 6 C 8 D 8 答案 C 解析 l l与平面 的法向量垂直 故 2 1 m 1 2 0 1 2 解得m 8 故选 C 2 若n n 1 2 2 是平面 的一个法向量 则下列向量能作为平面 法向量的是 A 1 2 0 B 0 2 2 C 2 4 4 D 2 4 4 答案 C 解析 2 4 4 2 1 2 2 2n n 2 4 4 可作为 的一个法向量 3 2010 雅安高二检测 已知向量a a 1 1 0 b b 1 0 2 且ka a b b与 2a a b b互 相垂直 则k A B 1 7 5 C D 3 5 1 5 答案 A 解析 ka a b b k 1 k 2 2a a b b 3 2 2 若ka a b b与 2a a b b垂直 则 ka a b b 2a a b b 0 即 3 k 1 2k 4 0 解得k 故选 A 7 5 4 已知A 3 0 1 B 0 2 6 C 2 4 2 则 ABC是 A 等边三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 等腰直角三角形 2 答案 C 解析 3 2 5 1 4 1 则 AB AC 3 1 2 4 5 0 AB AC 故 ABC为直角三角形 AB AC 又 故选 C AB AC 二 填空题 5 在直角坐标系O xyz中 已知点P 2cosx 1 2cos2x 2 0 和点Q cosx 1 3 其中x 0 若直线OP与直线OQ垂直 则x的值为 答案 或 2 3 解析 cosx 2cosx 1 2cos2x 2 3 0 2cos2x cosx 2 2cos2x 1 OP OQ 2 2cosx2 cosx 2cos2x cosx 0 即 cosx 0 或 cosx 1 2 又 x 0 x 或 2 3 6 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点 如果 2 1 4 AB 4 2 0 1 2 1 对于结论 AP AB AP AD 是平面ABCD的法 AD AP AP 向量 其中正确的是 AP BD 答案 解析 2 1 1 2 4 1 2 2 4 0 则 AB AP AB AP 4 1 2 2 0 0 则 AP AD AP AD A AP AB AP AD AB AD 平面ABCD 故是平面ABCD的一个法向量 AP AP 三 解答题 7 已知A B C D是空间四个不同的点 求证 AC BD的充要条 件是AD2 BC2 CD2 AB2 3 证明 设 a a b b c c 则AC BD b b c c a a 0 a a b b b b c c AB AC AD AD2 BC2 CD2 AB2 2 2 2 2 c c 2 b b a a AD BC CD AB 2 c c b b 2 a a 2 a a b b b b c c AC BD AD2 BC2 CD2 AB2 8 如图 ABC中 AC BC D为AB边中点 PO 平面ABC 垂 足O在CD上 求证 AB PC 证明 设 a a b b v v CA CB OP 由条件知 v v是平面ABC的法向量 v v a a 0 v v b b 0 D为AB中点 a a b b CD 1 2 O在CD上 存在实数 使 a a b b CO CD 2 CA CB a a b b b b a a AB CP 2 a a b b v v a a b b b b a a b b a a v v 2 a a 2 b b 2 b b v v a a v v 0 2 AB PC AB CP 9 已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形 且PA 底 面ABCD 如果BC PB 求证ABCD是矩形 证明 由条件知 AP AB AP AD AD BC BC PB 0 BC PB 即 0 AD AB AP 0 AD AB AD AP 0 0 AD AP AD AB AD AB 四边形ABCD为平行四边形 ABCD为矩形 4 10 如图 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 AC BC D为AB的中点 AC BC BB1 1 求证 BC1 AB1 2 求证 BC1 平面CA1D 解析 如图 以C1点为原点 C1A1 C1B1 C1C所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立 空间直角坐标系 设AC BC BB1 2 则A 2 0 2 B 0 2 2 C 0 0 2 A1 2 0 0 B1 0 2 0 C1 0 0 0 D 1 1 2 1 0 2 2 2 2 2 BC1 AB1 0 4 4 0 BC1 AB1 BC1 AB1 BC1 AB1 2 取A1C的中点E E 1 0 1 0 1 1 又 0 2 2 ED BC1 ED 1 2 且ED和BC1不共线 则ED BC1 又ED 平面CA1D BC1 平面CA1D 故BC1 平面CA1D BC1 点评 第 2 问可求出 1 1 0 2 0 2 0 2 2 CD CA1 BC1 2 BC1 CD CA1 与 共面 BC1 CD CA1 BC1 平面CA1D BC1 平面CA1D 11 在棱长AB AD 2 AA1 3 的长方体ABCD A1B1C1D1中 点 E是平面BCC1B1上的动点 点F是CD的中点 试确定点E的位置 使D1E 平面AB1F 解析 建立空间直角坐标系如图 则A 0 0 0 F 1 2 0 B1 2 0 3 D1 0 2 3 设E 2 y z 2 y 2 z 3 D1E 1 2 0 2 0 3 AF AB1 D1E 平面AB1F 5 Error 即Error 解得Error E 2 1 即为所求 5 3 12 如图 在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 已知 AB 2 AA1 5 E F分别为D1D B1B上的点 且DE B1F 1 1 求证 BE 平面ACF 2 求点E到平面ACF的距离 解析 1 证明 以D为原点 DA DC DD1所在直线分别为x y z轴建立如图所示 空间直角坐标系 则D 0 0 0 A 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 D1 0 0 5 E 0 0 1 F 2 2 4 2 2 0 0 2 4 2 2 1 AC AF BE 2 0 1 AE 0 0 BE AC BE