上海市徐汇、松江、金山区2013届高三数学二模考试试卷 文（含解析）新人教A版

1 20132013 年上海市徐汇 松江 金山区高考数学二模试卷 文科 年上海市徐汇 松江 金山区高考数学二模试卷 文科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 本大题满分一 填空题 本大题满分 5656 分 本大题共有分 本大题共有 1414 题 考生应在答题纸相应编号的空格内直题 考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果 每个空格填对得接填写结果 每个空格填对得 4 4 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 1 4 分 2006 上海 若函数 f x ax a 0 且 a 1 的反函数的图象过点 2 1 则 a 考点 反函数 专题 计算题 分析 欲求 a 的值 可先列出关于 a 的两个方程 由已知得 y f x 的反函数图象过定点 2 1 根据互为反函数的图象的对称性可知 原函数图象过 1 2 从而 解决问题 解答 解 若函数 f x ax a 0 且 a 1 的反函数的图象过点 2 1 则原函数的图象过点 1 2 2 a 1 a 故答案为 点评 本题考查反函数的求法 属于基础题目 要会求一些简单函数的反函数 掌握互为 反函数的函数图象间的关系 2 4 分 2013 松江区二模 若直线 l1 2x my 1 0 与直线 l2 y 3x 1 平行 则 m 考点 两条直线平行的判定 专题 计算题 分析 当斜率相等但截距不相等建立等式关系 解之即可求出 m 使两直线平行 解答 解 直线 l2 y 3x 1 的斜率为 3 直线 l1 2x my 1 0 的斜率 3 即 m 故答案为 点评 本题主要考查了两条直线平行的判定 解题的关键是根据两直线的斜率相等建立关 系式 属于基础题 2 3 4 分 2013 松江区二模 若正整数 n 使得行列式 则 42 考点 二阶矩阵 排列及排列数公式 专题 计算题 分析 先根据根据二阶行列式的公式求出 n 的值 然后根据排列数公式求出的值即可 解答 解 即 3n n 2 n 6 正整数 n 2 则 7 6 42 故答案为 42 点评 本题主要考查了排列数以及二阶行列式的求解 属于基础题 4 4 分 2013 松江区二模 已知函数的值域为 A 集合 B x x2 2x 0 x R 则 A B 1 2 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 通过函数的值域求出集合 A 二次不等式求解得到集合 B 然后求解交集即可 解答 解 函数的值域为 A 1 3 集合 B x x2 2x 0 x R x 0 x 2 0 2 所以 A B 1 2 故答案为 1 2 点评 本题考查函数的值域与二次不等式的解法 交集的运算 考查计算能力 5 4 分 2013 松江区二模 已知 且 则 sin2 3 考点 二倍角的正弦 同角三角函数间的基本关系 专题 三角函数的求值 分析 利用同角三角函数的基本关系求得 sin 再由二倍角公式求得 sin2 2sin cos 的值 解答 解 已知 且 sin sin2 2sin cos 2 故答案为 点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系 二倍角公式的应用 属于基础题 6 4 分 2013 松江区二模 已知圆锥的母线长为 5 侧面积为 15 则此圆锥的体积 为 12 结果保留 考点 旋转体 圆柱 圆锥 圆台 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 设圆锥的底面半径为 r 母线为 l 高为 h 根据侧面积公式算出底面半径 r 3 用 勾股定理算出高 h 4 代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积 解答 解 设圆锥的底面半径为 r 母线为 l 高为 h 圆锥的母线长为 l 5 侧面积为 15 l r 15 解之得底面半径 r 3 因此 圆锥的高 h 4 圆锥的体积为 V r2h 9 4 12 故答案为 12 点评 本题给出圆锥母线长和侧面积 求它的体积 着重考查了圆锥的侧面积公式和体积 公式等知识 属于基础题 7 4 分 2013 松江区二模 已知 x 3 2i i 为虚数单位 是一元二次方程 x2 ax b 0 a b 均为实数 的一个根 则 a b 19 考点 复数相等的充要条件 复数代数形式的乘除运算 专题 计算题 4 分析 把 x 3 2i i 为虚数单位 代入方程 利用复数的运算法则进行化简 再根据复 数相等即可得出 解答 解 x 3 2i i 为虚数单位 是一元二次方程 x2 ax b 0 a b 均为实数 的 一个根 3 2i 2 a 3 2i b 0 化为 5 3a b 12 2a i 0 根据复数相等即可得到 解得 a b 19 故答案为 19 点评 熟练掌握方程的根的意义 复数的运算法则和复数相等的定义是解题的关键 8 4 分 2013 松江区二模 如图给出的是计算的值的一个程序框图 图中空白执行框内应填入 i i 2 考点 程序框图 专题 图表型 分析 由已知中该程序的功能是计算的值 最后一次进入循环的终值为 2013 即小于等于 2013 的数满足循环条件 大于 2013 的数不满足循环条件 由循 环变量的初值为 1 步长为 2 由此易给出执行框中填写的语句 解答 解 该程序的功能是计算的值 最后一次进入循环的终值为 2013 即小于等于 2013 的数满足循环条件 5 大于 2013 的数不满足循环条件 由循环变量的初值为 1 步长为 2 故执行框中应该填的语句是 i i 2 故答案为 i 2 点评 算法是新课程中的新增加的内容 也必然是新高考中的一个热点 应高度重视 程 序填空也是重要的考试题型 这种题考试的重点有 分支的条件 循环的条件 变量的赋值 变量的输出 其中前两点考试的概率更大 此种题型的易忽略点是 不能准确理解流程图的含义而导致错误 9 4 分 2013 松江区二模 某国际体操比赛 我国将派 5 名正式运动员和 3 名替补运 动员参加 最终将有 3 人上场比赛 其中甲 乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是 结果用最简分数表示 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 概率与统计 分析 利用组合的方法求出有 3 人上场比赛的所有方法和甲 乙两名替补运动员均不上场 比赛的方法 利用古典概型的概率公式求出概率 解答 解 有 3 人上场比赛的所有方法有 C83 56 有 C63 20 由古典概型的概率公式得 甲 乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是 故答案为 点评 求一个事件的概率 关键是先判断出事件的概率模型 然后选择合适的概率公式进 行计算 10 4 分 2013 松江区二模 满足条件的目标函数 P x2 y2的最大值是 4 考点 简单线性规划 专题 计算题 6 分析 本题考查的知识点是简单的线性规划 我们可以先画出足约束条件的平 面区域 再由目标函数 P x2 y2的几何意义 表示区域内一点到原点距离的平方 不 难根据图形分析出目标函数 P x2 y2的最大值 解答 解 满足约束条件的平面区域如下图 目标函数 P x2 y2表示区域内一点到原点距离的平方 故当 x 0 y 2 时 P 有最大值 4 故答案为 4 点评 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型 在解题时 关键是正确地画 出平面区域 分析表达式的几何意义 然后结合数形结合的思想 分析图形 找出 满足条件的点的坐标 即可求出答案 11 4 分 2013 松江区二模 在二项式的展开式中 常数项的 值是 20 则 考点 二项式定理 数列的极限 专题 计算题 分析 先求出二项式的展开式的通项为 Tr 1 令 6 2r 0 可求 r 结 合已知常数项的 值可求 a 然后利用等比数列的和对已知式子求和 即可求解极限 解答 解 由题意二项式的展开式的通项为 Tr 1 7 令 6 2r 0 可得 r 3 此时的常数项为 20 解得 a 则 故答案为 点评 本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项 等比数列的求和公式的应用及 数列极限的求解 12 4 分 2013 松江区二模 已知椭圆内有两点 A 1 3 B 3 0 P 为 椭圆上一点 则 PA PB 的最大值为 15 考点 椭圆的简单性质 专题 计算题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 根据椭圆的方程 算出它的焦点坐标为 B 3 0 和 B 3 0 因此连接 PB AB 根据椭圆的定义得 PA PB PA 2a PB 10 PA PB 再由三角形两边之差小于第三边 得到当且仅当点 P 在 AB 延 长线上时 PA PB 10 AB 15 达到最大值 从而得到本题答案 解答 解 椭圆方程为 焦点坐标为 B 3 0 和 B 3 0 连接 PB AB 根据椭圆的定义 得 PB PB 2a 10 可得 PB 10 PB 因此 PA PB PA 10 PB 10 PA PB PA PB AB PA PB 10 AB 10 10 5 15 当且仅当点 P 在 AB 延长线上时 等号成立 综上所述 可得 PA PB 的最大值为 15 故答案为 15 8 点评 本题给出椭圆内部一点 A 求椭圆上动点 P 与 A 点和一个焦点距离 B 和的最大值 着 重考查了椭圆的定义 标准方程和简单几何性质等知识 属于基础题 13 4 分 2013 松江区二模 如图 有以下命题成立 设点 P Q 是线段 AB 的三等分点 则有 将此命题推广 设点 A1 A2 A3 A4 A5是线段 AB 的六等分点 则 考点 类比推理 分析 由给出的关系式得到 如果线段 AB 上的两点 P Q 分别到 A B 的距离相等 则有 点 A1 A2 A3 A4 A5是线段 AB 的六等分点 可以看作是两对到 A B 距离相等的点 其中还有一 点是 AB 的中点 由此可类比得到结论 解答 解 如图 类比点 P Q 是线段 AB 的三等分点 则有 得 所以 故答案为 点评 本题考查了类比推理 类比推理是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比然后提出猜想的推理 是基础题 9 14 4 分 2013 松江区二模 如图 对正方形纸片 ABCD 进行如下操作 第一步 过点 D 任作一条直线与 BC 边相交于点 E1 记 CDE1 1 第二步 作 ADE1的平分线交 AB 边于点 E2 记 ADE2 2 第三步 作 CDE2的平分线交 BC 边于点 E3 记 CDE3 3 按此作法从第二步起重复以上步骤 得 到 1 2 n 则用 n和 n 1表示的递推关系式是 n 1 考点 进行简单的合情推理 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 由题意可得 2 2 结合此规律进行归纳 推理即可求解 解答 解 由题意可得 2即 2即 即 由以上规律可得 即 故答案为 点评 本题主要考查了归纳推理在实际问题中的应用 解题的关键是由前几项发现规律 10 二 选择题 本大题满分二 选择题 本大题满分 2020 分 本大题共有分 本大题共有 4 4 题 每题有且只有一个正确答案 考生应在题 每题有且只有一个正确答案 考生应在 答题纸的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得答题纸的相应编号上 将代表答案的小方格涂黑 选对得 5 5 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 15 5 分 2013 松江区二模 已知 a b 为实数 命题甲 ab b2 命题乙 则甲是乙的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 考点 充要条件 专题 计算题 分析 举反例 a 2 b 1 可证甲不能推乙 由不等式的性质可证乙可推甲 由充要条件的 定义可得 解答 解 命题甲 ab b2 不能推出命题乙 比如当取 a 2 b 1 当然满足甲 但推不出乙 若命题乙 成立 则可得 a b 均为负值 且 a b 由不等式的性质两边同除以 b 可得 ab b2 即甲成立 故甲是乙的必要不充分条件 故选 B 点评 本题考查充要条件 利用不等式的性质和反例法是解决问题的关键 属基础题 16 5 分 2013 松江区二模 已知函数 设 F x x2 f x 则 F x 是 A 奇函数 在 上单调递减 B 奇函数 在 上单调递增 C 偶函数 在 0 上递减 在 0 上递增 D 偶函数 在 0 上递增 在 0 上递减 考点 奇偶性与单调性的综合 专题 计算题 函数的性质及应用 11 分析 由 f x f x 可知 f x 为奇函数 利用奇偶函数的概念即可判断设 F x x2 f x 的奇偶性 从而得到答案 解答 解 f x f x f x 为奇函数 又 F x x2 f x F x x 2 f x x2 f x F x F x 是奇函数 可排除 C D 又 F x x2 f x F x 在 上单调递增 可排除 A 故选 B 点评 本题考查函数的奇偶性与单调性 着重考查函数奇偶性的定义的应用 属于基础 题 17 5 分 2010 上海 如图 已知三棱锥的底面是直角三角形 直角边长分别为 3 和 4 过直角顶点的侧棱长为 4 且垂直于底面 该三棱锥的正视图是 A B C D 考点 简单空间图形的三视图 专题 计算题 图表型 分析 本题的直观图是一个三棱锥 且存在同一点出发的三条棱两两垂直 由三视图的定 义判断出其正视图形状即可 解答 解 由已知三棱锥的底面是直角三角形 直角边长分别为 3 和 4 过直角顶点的侧棱 长为 4 且垂直于底面 由直观图可以看出 其正视图是一个直角三角形 水平的直角边长为 3 与其垂直的 直角边长为 4 12 由此特征知对四个选项逐一判断即可 对于选项 A 长不为 3 且其摆放位置不对 故不是其正视图 对于选项 B 符合三棱锥正视图的特征 对于选项 C 摆放位置错误 故不是其正视图 对于选项 D 由于外侧线投影落在 z 轴上 应去掉虚线 且投影中不可能有长为 5 的 线 故其不是三棱锥的正视图 故选 B 点评 本题考点是简单空间图形的三视图 考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能 力 三视图的投影规则是 主视 俯视 长对正 主视 左视高平齐 左视 俯视 宽相等 三视图是高考的新增考点 不时出现在高考试题中 应予以重视 本题特 征是据直观图选出正确的三视图 18 5 分 2013 松江区二模 气象意义上从春季进入夏季的标志为 连续 5 天的日平 均温度均不低于 22 现有甲 乙 丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据 记 录数据都是正整数 甲地 5 个数据的中位数为 24 众数为 22 乙地 5 个数据的中位数为 27 总体均值为 24 丙地 5 个数据中有一个数据是 32 总体均值为 26 总体方差为 10 8 则肯定进入夏季的地区有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 考点 进行简单的合情推理 专题 计算题 分析 根据数据的特点进行估计出甲 乙 丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据 根 据 总数 天数 平均数 进行解答即可得出答案 解答 解 甲地 5 个数据的中位数为 24 众数为 22 根据数据得出 甲地连续 5 天的日平均温度的记录数据可能为 22 22 24 25 26 其连续 5 天的日平均温度均不低于 22 乙地 5 个数据的中位数为 27 总体均值为 24 根据其总体均值为 24 可知其连续 5 天的日平均温度均不低于 22 丙地 5 个数据中有一个数据是 32 总体均值为 26 根据其总体均值为 24 可知其 连续 5 天的日平均温度均不低于 22 则肯定进入夏季的地区有甲 乙 丙三地 故选 D 点评 本题主要了进行简单的合情推理 解答此题应结合题意 根据平均数的计算方法进 行解答即可 三 解答题 本大题满分三 解答题 本大题满分 7474 分 本大题共有分 本大题共有 5 5 题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤 13 19 12 分 2013 松江区二模 在 ABC 中 a b c 分别是角 A B C 的对边 且 若 ABC 的面积 求 a c 的值 考点 余弦定理 两角和与差的正弦函数 专题 解三角形 分析 由条件可知 根据 ABC 的面积 求得 ac 3 再由 余弦定理求得 a c 的值 解答 解 在 ABC 中 由条件可知 即 ac 3 根据 由余弦定理 b2 a2 c2 2accosB 得 b2 a c 2 2ac 2accosB 于是 a c 4 点评 本题主要考查余弦定理 两角和差的正弦公式 属于中档题 20 14 分 2013 松江区二模 某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行 速度的平方成正比 比例系数为 k 轮船的最大速度为 15 海里 小时 当船速为 10 海里 小时 它的燃料费是每小时 96 元 其余航行运作费用 不论速度如何 总计是每小时 150 元 假定运行过程中轮船以速度 v 匀速航行 1 求 k 的值 2 求该轮船航行 100 海里的总费用 W 燃料费 航行运作费用 的最小值 考点 基本不等式在最值问题中的应用 函数模型的选择与应用 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 1 根据题意 设比例系数为 k 得燃料费为 将 v 10 时 W1 96 代入即可 算出 k 的值 2 算出航行 100 海里的时间为小时 可燃料费为 96v 其余航行运作费用为 元 由此可得航行 100 海里的总费用为 再运用基本不等式 即可算出当且仅当 v 12 5 时 总费用 W 的最小值为 2400 元 解答 解 1 由题意 设燃料费为 当船速为 10 海里 小时 它的燃料费是每小时 96 元 14 当 v 10 时 W1 96 可得 96 k 102 解之得 k 0 96 2 其余航行运作费用 不论速度如何 总计是每小时 150 元 航行 100 海里的时间为小时 可得其余航行运作费用为 元 因此 航行 100 海里的总费用为 0 v 15 当且仅当时 即时 航行 100 海里的总费用最小 且这个最小值为 2400 元 答 1 k 值为 0 96 2 该轮船航行 100 海里的总费用 W 的最小值为 2400 元 点评 本题给出函数应用题 求航行所需费用的最小值 着重考查应用题的转化能力 运 用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识 属于中档题 21 14 分 2013 松江区二模 如图 已知 ABC A1B1C1是正三棱柱 它的底面边长和侧 棱长都是 2 1 求异面直线 A1C 与 B1C1所成角的大小 结果用反三角函数值表示 2 求三棱锥 C ABC1的体积 考点 异面直线及其所成的角 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 计算题 空间位置关系与距离 空间角 分析 1 连接 A1B 由三棱柱的性质得 C1B1 CB 从而得到 A1CB 或其补角 是异面 直线 A1C 与 B1C1所成角 然后在 A1CB 中计算出各边的长 再根据余弦定理算出 cos A1CB 即可得到异面直线 A1C 与 B1C1所成角的大小 2 由棱柱体积公式 算出正三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 2 而三棱锥 C1 ABC 与正三棱柱 ABC A1B1C1同底等高 得到 由此 不难得到三棱锥 C ABC1的体积的值 解答 解 1 连接 A1B 正三棱柱 ABC A1B1C1中 C1B1 CB A1CB 或其补角 是异面直线 A1C 与 B1C1所成角 15 四边形 AA1C1C 与 AA1B1B 都是边长为 2 的正方形 A1CB 中根据余弦定理 得 cos A1CB 因此 A1CB 即异面直线 A1C 与 B1C1所成角的大小为 2 由题意得 ABC 的面积 S ABC 高 CC1 2 正三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 V S ABC CC1 2 而三棱锥 C1 ABC 与正三棱柱 ABC A1B1C1同底等高 三棱锥 C1 ABC 的体积为 三棱锥 C ABC1的体积为 点评 本题给出所有棱长均相等的正三棱柱 求异面直线所成角并求三棱锥的体积 着重 考查了异面直线所成角的求法和锥体 柱体体积公式等知识 属于中档题 22 16 分 2013 松江区二模 已知双曲线 C 的中心在原点 D 1 0 是它的一个顶点 是它的一条渐近线的一个方向向量 1 求双曲线 C 的方程 2 若过点 3 0 任意作一条直线与双曲线 C 交于 A B 两点 A B 都不同于点 D 求的值 3 对于双曲线 E 为它的右顶点 M N 为双 曲线 上的两点 M N 都不同于点 E 且 EM EN 求证 直线 MN 与 x 轴的交点是一个 定点 考 点 直线与圆锥曲线的关系 平面向量数量积的运算 双曲线的标准方程 专 题 向量与圆锥曲线 16 分 析 1 设出双曲线方程 利用 D 1 0 是它的一个顶点 是它的一条渐 近线的一个方向向量 可得几何量 即可求双曲线 C 的方程 2 分类讨论 直线方程与双曲线方程联立 利用向量知识 即可得出结论 3 设出直线方程与双曲线方程联立 利用韦达定理 由 EM EN 可得结论 解 答 1 解 设双曲线 C 的方程为 则 a 1 又 得 所以 双曲线 C 的方程为 2 解 当直线 AB 垂直于 x 轴时 其方程为 x 3 A B 的坐标为 3 4 3 4 所以 0 当直线 AB 不与 x 轴垂直时 设此直线方程为 y k x 3 由得 2 k2 x2 6k2x 9k2 2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 故 9k2 1 0 综上 0 3 证明 设直线 MN 的方程为 x my t 由 得 b2m2 a2 y2 2b2mty b2 t2 a2 0 设 M x1 y1 N x2 y2 则 分 由 EM EN 得 x1 a x2 a y1y2 0 my1 t a my2 t a y1y2 0 即 17 化简得 或 t a 舍 所以 直线 MN 过定点 0 点 评 本题考查双曲线的标准方程 考查直线与双曲线的位置关系 考查向量知识的运用 考 查学生分析解决问题的能力 属于中档题