2012届高三数学一轮复习练习 第九章 5 课后限时作业

用心 爱心 专心 1 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 7 分 共 42 分 1 垂直于同一平面的两条直线 A 平行B 垂直C 相交D 异面 解析 由平面的垂线性质知 答案 A 2 2009 山东 已知 表示两个不同的平面 m 为平面 内的一条直线 则 是 m 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 由平面与平面垂直的判定定理知 如果 m 为平面 内的一条直线 m 则 反过来则不一定 所以 是 m 的必要不充分条件 答案 B 3 2011 届 临沂质检 已知直线 m n 平面 下列命题中正确的是 A 若 m n m n 则 B 若 m n 则 m n C 若 m n 则 m n D 若 m m n 则 n 解析 本题考查线面位置关系的判定与性质 A 错 当 时 显然条件成立 B 错 当 n 时也可以有 n 此时 m n D 错 当直线 n 不在平面 内也不与平面 平行时 显然不正确 故选 C 答案 C 4 如图 在三棱锥 A BCD 中 若 AD BC AD BD BCD 是锐角三角形 那么 必有 A 平面 ABD 平面 ADCB 平面 ABD 平面 ABC C 平面 ADC 平面 BCDD 平面 ABC 平面 BCD 解析 因为 AD BC AD BD BD BC B 所以 AD 平面 BDC 又因为 AD平面 ADC 所以平面 ADC 平面 BCD 答案 C 5 下列命题正确的是 垂直于同一条直线的两直线平行 垂直于同一条直线的两直线垂直 垂直于同一个平面的两直线平行 垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 解析 在空间中垂直于同一直线的两条直线 可能平行 相交 也可能异面 所以 A B 错 垂直 于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内 直线和平面平行 所以 D 错 答案 C 用心 爱心 专心 2 6 如图 ABCD A1B1C1D1为正方体 下面结论错误的是 A BD 平面 CB1D1B AC1 BD C AC1 平面 CB1D1D 异面直线 AD 与 B1C 所成的角为 60 解析 因为 AD BC 所以 B1CB 就是异面直线 AD 与 B1C 所成的角 又因在正方体 ABCD A1B1C1D1中 B1BC 是等腰直角三角形 所以 B1CB 45 即异面直线 AD 与 B1C 所成的角为 45 故选 D 答案 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 6 分 共 24 分 7 如图所示 AB 是圆 O 的直径 C 是异于 A B 两点的圆周上的任意一点 PA 垂直于圆 O 所 在的平面 则 PAB PAC ABC PBC 中 直角三角形的个数是 解析 由 AC BC PA 平面 ABC 可知 PA AC PA AB PC BC 则 ABC PAC PAB PBC 均为直角三角形 答案 4 8 2009 江苏 设 和 为不重合的两个平面 给出下列命题 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线 则 平行于 若 外一条直线 l 与 内的一条直线平行 则 l 和 平行 设 和 相交于直线 l 若 内有一条直线垂直于 l 则 和 垂直 直线 l 与 垂直的充分必要条件是 l 与 内的两条直线垂直 上面命题中 真命题的序号是 解析 1 内两条相交直线分别平行于平面 则两条相交直线确定的平面 平行于 平面 正确 平面 外一条直线 l 与 内的一条直线平行 则 l 平行于 正确 3 如图 l a a l 但不一定有 错误 用心 爱心 专心 3 4 直线 l 与 垂直的充分必要条件是 l 与 内的两条相交直线垂直 而该命题缺少条件 相交 故为假命题 答案 1 2 9 2011 届 莱芜质检 设 为平面 m n l 为直线 则对于下列条件 l m l m m n n m 其中为 m 的充分条件的是 将你认为正确的所有序号都填上 解析 推不出 lm l m m m 推不出 Error m m m n n 所以由条件 均能推出 m 即 均为 m 的充分条件 而 均是 m 的既 不充分也不必要条件 答案 10 如图 在正四面体 P ABC 中 D E F 分别是 AB BC CA 的中点 下面四个结论成立 的个数为 BC 平面 PDF DF 平面 PAE 平面 PDF 平面 PAE 平面 PDE 平面 ABC 解析 因为 BC DF 所以 BC 平面 PDF 成立 易证 BC 平面 PAE BC DF 所以结论 均成立 点 P 在底面 ABC 内的射影为 ABC 的中心 不在中位线 DE 上 故结论 不成立 答案 3 三 解答题 本大题共 2 小题 每小题 12 分 共 24 分 11 如图 已知 ABC 中 ACB 90 且 SA 平面 ABC AD SC 求证 BC 平面 SAC AD SB 用心 爱心 专心 4 证明 1 由已知 SA 平面 ABC BC平面 ABC 则 SA BC 又由 ACB 90 BC AC 且 SA AC A 有 BC 平面 SAC 2 由 1 知 BC 平面 SAC AD平面 SAC 则 BC AD 又由 AD SC 且 BC SC C 有 AD 平面 SBC 由 SB平面 SBC 有 AD SB 本题也可用面面垂直 12 2010 江苏 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 90 求证 PC BC 求点 A 到平面 PBC 的距离 1 证明 因为 PD 平面 ABCD BC平面 ABCD 所以 PD BC 由 BCD 90 得 CD BC 又 PD DC D PD DC平面 PCD 所以 BC 平面 PCD 因为 PC平面 PCD 所以 PC BC 2 解 方法一 分别取 AB PC 的中点 E F 连 DE DF 则易证 DE CB DE 平面 PBC 点 D E 到平面 PBC 的距离相等 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍 由 1 知 BC 平面 PCD 所以平面 PBC 平面 PCD 于 PC 因为 PD DC PF FC 所以 DF PC 所以 DF 平面 PBC 于 F 易知 DF 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 2 2 用心 爱心 专心 5 方法二 体积法 连结 AC 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h 因为 AB DC BCD 90 所以 ABC 90 从而由 AB 2 BC 1 得 ABC 的面积 S ABC 1 由 PD 平面 ABCD 及 PD 1 得三棱锥 P ABC 的体积 VP ABC S ABC PD 3 1 3 1 因为 PD 平面 ABCD DC平面 ABCD 所以 PD DC 又 PD DC 1 所以 PC 2 22 DCPD 由 PC BC BC 1 得 PBC 的面积 S PBC 2 2 由 VA PBC VP ABC S PBC h 得 h 3 1 3 1 2 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 B 组组 一 选择题 本大题共 2 小题 每小题 8 分 共 16 分 1 2010 全国 正方体 ABCD A1B1C1D1中 BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为 A B C D 3 2 3 3 3 2 3 6 解析 方法一 因为 BB1 DD1 所以 BB1与平面 ACD1所成角和 DD1与平面 ACD1所成角相等 设 DO 平面 ACD1 由等体积法得 VD ACD1 VD1 ACD 即S ACD1 DO S ACD DD1 3 1 3 1 设 DD1 a 则 S ACD1 AC AD1 sin 60 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 1 aa S ACD AD CD 2 1 2 2 1 a 用心 爱心 专心 6 所以 a a a S DDS DO ACD ACD 3 3 3 2 3 1 1 记 DD1与平面 ACD1所成的角为 则 所以 3 3 sin 1 DD DO 3 6 cos 方法二 设上 下底面的中心分别为 O1 O O1O 与平面 ACD1所成角就是 BB1与平面 ACD1 所成的角 cos O1OD1 3 6 2 3 1 OD OO 1 1 答案 D 2 2009 四川 如图 已知六棱锥 P ABCDEF 的底面是正六边形 PA 平面 ABC PA 2AB 则下列结论正确的是 A PB AD 平面 PAB 平面 PBC 直线 BC 平面 PAE 直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45 解析 因为 AD 与 PB 在平面的射影 AB 不垂直 所以 PB AD 不成立 又平面 PAB 平面 PAE 所以平面 PAB 平面 PBC 也不成立 BC AD 平面 PAD 所以直线 BC 平面 PAE 也不成 立 在 Rt PAD 中 PA AD 2AB 所以 PDA 45 故选 D 答案 D 二 填空题 本大题共 2 小题 每小题 8 分 共 16 分 3 已知过 ABC 所在平面 外一点 作 PO 垂足为 O 连接 PA PB PC 若 PA PB PC 则点 O 是 ABC 的外心 若 PA PB PB PC PC PA 则点 O 是 ABC 的垂心 若 PAO PBO PCO 则点 O 是 ABC 的内心 若 AB PC AC PB BC PA 则点 O 是 ABC 的重心 以上说法正确的序号有 解析 1 同 3 一样 PAO PBO PCO 有 AO BO CO 则点 O 是 ABC 的外心 2 同 4 一样 由 PB PC PC PA 则有 PC 平面 PAB 有 AB PC 又由 PO AB 则 AB 平面 PCO 有 AB CO 同理 AC BO BC AO 则 O 为 ABC 的垂心 答案 1 2 4 2009 浙江 如图 在长方形 ABCD 中 AB 2 BC 1 E 为 DC 的中点 F 为线段 用心 爱心 专心 7 EC 端点除外 上一动点 现将 AFD 沿 AF 折起 使平面 ABD 平面 ABC 在平面 ABD 内 过点 D 作 DK AB K 为垂足 设 AK t 则 t 的取值范围是 解析 此题的破解可采用两个极端位置法 即对于 F 位于 DC 的中点时 t 1 随着 F 点到 C 点时 因 CB AB CB DK 所以 CB 平面 ADB 即有 CB BD 对于 CD 2 BC 1 所以 BD 又 AD 1 AB 2 因此有 AD BD 则有 t 因此 t 的取值范围是 3 2 1 1 2 1 答案 1 2 1 三 解答题 本大题共 2 小题 每小题 14 分 共 28 分 5 2009 福建 如图 平行四边形 ABCD 中 DAB 60 AB 2 AD 4 将 CBD 沿 BD 折起 到 EBD 的位置 使平面 EDB 平面 ABD 1 求证 AB DE 2 求三棱锥 E ABD 的侧面积 1 证明 在 ABD 中 因为 AB 2 AD 4 DAB 60 所以 32cos2 22 BADADABADABBD 所以 AB2 BD2 AD2 所以 AB BD 又因为平面 EBD 平面 ABD 平面 EBD 平面 ABD BD AB平面 ABD 所以 AB 平面 EBD 因为 DE平面 EBD 所以 AB DE 2 解 由 1 知 AB BD 因为 CD AB 所以 CD BD 从而 DE BD 在 Rt DBE 中 因为 DB DE DC AB 2 32 所以 S DBE DB DE 2 1 32 又因为 AB 平面 EBD BE平面 EBD 所以 AB BE 用心 爱心 专心 8 因为 BE BC AD 4 所以 S ABE AB BE 4 2 1 因为 DE BD 平面 EBD 平面 ABD 所以 ED 平面 ABD 而 AD平面 ABD 所以 ED AD 所以 S ADE AD DE 4 2 1 综上 三棱锥 E ABD 的侧面积 S 328 6 2010 浙江 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB 2BC ABC 120 E 为线段 AB 的中点 将 ADE 沿直线 DE 翻折成 A DE 使平面 A DE 平面 BCD F 为线段 A C 的中点 求证 BF 平面 A DE 设 M 为线段 DE 的中点 求直线 FM 与平面 A DE 所成角的余弦值 1 证明 取 A D 的中点 G 连结 GF GE 由条件易知 FG CD FG CD BE CD BE CD 2 1 2 1 所以 FG BE FG BE 故四边形 BEGF 为平行四边形 所以 BF EG 因为 EG平面 A DE BF平面 A DE 所以 BF 平面 A DE 2 解 在平行四边形 ABCD 中 设 BC a 则 AB CD 2a AD AE EB a 连结 CE 因为 ABC 120 在 BCE 中 可得 CE 在 ADE 中 可得 DE a a3 在 CDE 中 因为