高中数学13空间几何体的表面积与体积同步练习 新人教A版必修2

用心 爱心 专心 柱体 锥体 台体的表面积柱体 锥体 台体的表面积 一 选择题一 选择题 1 正四棱柱的对角线长是 9cm 全面积是 144cm2 则满足这些条件的正四棱柱的个 数是 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 无数个 2 三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC 且侧面 A1ABB1与侧面 A1ACCl的面积相等 则 BB1C1等于 A 45 B 60 C 90 D 120 3 边长为 5cm 的正方形 EFGH 是圆柱的轴截面 则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点 G 的最短距离是 A 10cm B 5 2cm C 5 1 2 cm D 4 2 5 2 cm 4 中心角为4 3 面积为 B 的扇形围成一个圆锥 若圆锥的全面积为 A 则 A B 等 于 A 11 8 B 3 8 C 8 3 D 13 8 5 正六棱台的上 下底面的边长分别为 a b a b 侧面和底面所成的二面角为 60 则它的侧面积是 A 3 3 b2 a2 B 2 3 b2 a2 C 3 b2 a2 D 2 3 b2 a2 6 过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面 它们把圆锥的侧面分成的三部分的面 积之比为 A 1 2 3 B 1 3 5 C 1 2 4 D 1 3 9 7 若圆台的上 下底面半径的比为 3 5 则它的中截面分圆台上 下两部分面积之 比为 A 3 5 B 9 25 C 5 41 D 7 9 8 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形 这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A 2 21 B 4 21 C 21 D 2 41 9 已知正四面体 ABCD 的表面积为 S 其四个面的中心分别为 E F G H 设四面 体 EFGH 的表面积为 T 则S T 等于 A 9 1 B 9 4 C 4 1 D 3 1 10 一个斜三棱柱 底面是边长为 5 的正三角形 侧棱长为 4 侧棱与底面三角形两 边所成的角都是 60 则这个斜三棱柱的侧面积是 A 40 B 31 20 C 31 30 D 30 3 二 填空题二 填空题 11 长方体的高为 h 底面面积是 M 过不相邻两侧棱的截面面积是 N 则长方体的 侧面积是 12 正四棱台上 下底面的边长为 b a a b 且侧面积等于两底面面积之和 则棱 用心 爱心 专心 台的高是 13 圆锥的高是 10 cm 侧面展开图是半圆 此圆锥的侧面积是 轴截面等腰三 角形的顶角为 14 圆台的母线长是 3 cm 侧面展开后所得扇环的圆心角为 180 侧面积为 10 cm2 则圆台的高为 上下底面半径为 三 解答题三 解答题 15 已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为 60 棱台下底面的边长为 a 侧 面积为 S 求棱台上底面的边长 16 圆锥的底面半径为 5 cm 高为 12 cm 当它的内接圆柱的底面半径为何值时 圆 锥的内接圆柱全面积有最大值 最大值是多少 17 圆锥底面半径为 r 母线长是底面半径的 3 倍 在底面圆周上有一点 A 求一个动 点 P 自 A 出发在侧面上绕一周到 A 点的最短路程 参考答案参考答案 一 选择题 1 C 设正四棱柱的底面边长为 a 高为 c 由题意 2a2 c2 81 2a2 4ac2 144 即 a2 2ac2 72 8 9 得 7a2 18ac 8c2 0 即 7a 4c a 2c 0 因此 7a 4c 0 或 a 2c 由此可见由 构成方程组有两组满足条件的解 故正确答案选 C 2 C 3 D 4 A 5 A 6 B 7 D 8 A 设底面圆半径为 r 母线即高为 h h 2 r 侧 全 S S rh rhr 2 22 2 h hr r rr 2 2 2 21 应选 A 9 A 10 B 可计算出直截面的周长为 5 35 则 S侧 4 5 35 20 1 3 另解 如图 若 A1AC A1AB 60 则可证明 BB1C1C 为矩形 因此 S侧 2S BBAA 11 CCBB 11 矩形 S 2 4 5 sin60 4 5 20 1 3 二 填空题二 填空题 11 22 22MhN 设长方体的长和宽分别为 a b 则有 a b M 22 ba h N 2 a b h 2 2 ba h M h N 22 2 2 h 22 22MhN 12 ba ab 13 3 200 60 14 2 33 cm 2 11 cm 2 29 cm 三 解答题 用心 爱心 专心 15 设 O O1分别为下 上底面中心 连接 OO1 则 OO1 平面 ABC 上底面边长为 x 连接 AO A1O1并延长交 BC B1C1分别于 D D1两点 则 AD BC 连接 DD1 则 DD1 BC ADD1为二面角 A BC D1的平面角 即 ADD1 60 过 D1作 D1E OO1交 AD 于 E 则 D1E 平面 ABC 在正 ABC A1B1C1中 AD a 2 3 A1D1 x 2 3 在 Rt D1ED 中 ED OD OE 3 1 AD A1D1 6 3 a x 则 D1D 2ED 3 3 a x 由题意 S 3 2 3 3 xaax 即 S 2 3 a2 x2 解得 x Sa 3 32 2 16 如图 SAB 是圆锥的轴截面 其中 SO 12 OB 5 设圆锥内接圆柱底面半径为 O1C x 由 SO1C SOB 则 CO SO 1 1 OB SO SO1 OB SO O1C x 5 12 OO1 SO SO1 12 x 5 12 则圆柱的全面积 S S侧 2S底 2 12 x 5 12 x 2 x2 2 12x 2 5 7 x 当 x 7 30 cm 时 S 取到最大值 7 360 cm2 17 如图扇形 SAA 为圆锥的侧面展开图 AA 即为所求的最知路程 由已知 SA SA 3r SA r 360 120 在等腰 SAA 中可求得 AA r33 用心 爱心 专心 柱体 锥体与台体的体积柱体 锥体与台体的体积 用心 爱心 专心 一 选择题一 选择题 1 若正方体的全面积增为原来的 2 倍 那么它的体积增为原来的 A 2 倍 B 4 倍 C 2倍 D 22倍 2 一个长 宽 高分别为 a b c 长方体的体积是 8cm2 它的全面积是 32 cm2 且 满足 b2 ac 那么这个长方体棱长的和是 A 28cm B 32 cm C 36 cm D 40 cm 3 正六棱台的两底面的边长分别为 a 和 2a 高为 a 则它的体积为 A 3 2 321 a B 3 2 33 a C 3 37a D 3 2 37 a 4 若球的体积与其表面积的数值相等 则球的半径为 A 1 B 3 C 2 D 2 1 5 一个球的外切正方体的全面积的数值等于 6cm2 则此球的体积为 A 3 3 4 cm B 3 8 6 cm C 3 6 1 cm D 3 6 6 cm 6 正六棱锥的底面边长为 a 体积为 3 2 3 a 那么侧棱与底面所成的角为 A 6 B 4 C 3 D 12 5 7 正四棱锥的底面面积为 Q 侧面积为 S 则它的体积为 A SQ 3 1 B 2 1 22 QSQ C 2 1 22 QSS D 6 1 22 QSQ 8 棱台上 下底面面积之比为 1 9 则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是 A 1 7 B 2 7 C 7 19 D 3 16 9 正方体 等边圆柱与球它们的体积相等 它们的表面积分别为 S1 S2 S3 下面关 系中成立的是 A S3 S2 S1 B S1 S3 S2 C S1 S2 S3 D S2 Sl S3 10 沿棱长为 1 的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面 截得一个三棱锥 那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是 A 1 5 B 1 23 C 1 11 D 1 47 二 填空题二 填空题 11 底面边长和侧棱长都是 a 的正三棱锥的体积是 12 将 4 6 的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱 则圆柱的最大体积是 13 半径为 1 的球的内接正方体的体积是 外切正方体的体积是 14 已知正三棱台上 下底面边长分别为 2 4 且侧棱与底面所成角是 45 那么这 个正三棱台的体积等于 三 解答题三 解答题 15 三棱锥的五条棱长都是 5 另一条棱长是 6 求它的体积 16 两底面边长分别是 15cm 和 10cm 的正三棱台 它的侧面积等于两底面积的和 求 它的体积 17 一个圆锥形容器和一个圆柱形容器 它们的轴截面尺寸如图所示 两容器内所盛 液体的体积正好相等 且液面高度 h 正好相同 求 h 用心 爱心 专心 18 如图所示 已知正方体 ABCD A1B1ClDl的棱长为 a E 为棱 AD 的中点 求点 A1 到平面 BED1的距离 参考答案参考答案 一 选择题 1 D 2 B 解 由已知 acb cabcab cba 2 16 8 代入 得 b3 8 b 2 ac 4 代入 a c 6 长方体棱长的和为 4 a b c 4 8 32 cm2 3 D 4 B 5 C 6 B 7 D 设正四棱锥的底面边长和高分别为 a h 斜高为 h 则 h 22 2 ah S 2 1 4a h 2a 2 2 4 a h 解得 h 2 2 2 44 a a S 44 2 Q Q S Q QS 22 2 1 V 3 1 h Q 3 1 Q QS 22 2 1 Q 22 6 1 QSQ 8 C 9 B 10 D 由 E F G 分别为 BB1 B1C1 B1A1的中点 可证明平面 EFG 平面 BC1A1 因此 111 1 ABCB EFGB V V 3 1 BC EF 2 1 3 8 1 即 EFGB V 1 8 1 111 ABCB V 8 1 3 1 ADABCB V 111 8 1 3 1 2 1 1111 DCBAABCD V 48 1 1111 DCBAABCD V 用心 爱心 专心 EFGBDCBAABCD EFGB VV V 11111 1 47 1 二 填空题 11 3 12 2 a 12 36 13 9 38 8 14 3 14 15 三棱锥 A BCD 中 AB 6 设 E 为 AB 的中点 连结 CE DE 则 CE AB DE AB 在直角 AED 中 DE 22 AEAD 22 35 4 同理 CE 4 F 为 CD 中点 连接 EF 则 EF CD 在 Rt DFE 中 EF 22 2 5 DE 22 2 5 4 2 39 S CED 4 395 VA BCD VA ECD VB ECD 3 1 AE S CED 3 1 BE S CED 3 1 AE BE S CDE 3 1 6 4 395 39 2 5 16 设正三棱台的高为 h 则斜高 h 22 1015 6 3 h 12 25 2 h 由已知2 12 25 153103 2 h 4 3 152 102 解得 h 32 用心 爱心 专心 因此 V 3 1 32 4 3 102 4 3 152 22 15 10 4 3 2 475 cm3 别解 设上 下底面面积分别是 S1 S2 S1 S2 侧面与底面成二面角为 由已知 S 侧 S1 S2 又 S侧cos S2 S1 cos 21 12 SS SS 22 22 10 4 3 15 4 3 10 4 3 15 4 3 13 5 然后再求棱台的高和体积 17 设圆锥形容器的液面的半径为 R 则液体的体积为3 1 R2h 圆柱形容器内的液体体积 为 2 a 2h 根据题意 有3 1 R2h 2 a 2h 解得 R a 2 3 再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形 得 a a 2 3 a h 所以 h a 2 3 18 解 EDA S 11 2 1 A1D1 AA1 2 2 a D1B 3a D1E BE 22 ABAE 22 2 1 aa a 2 5 等腰 EBD1的高为 2 1 2 2 BD BE 22 2 3 2 5 aa a 2 2 1 BED S 2 1 a3 a 2 2 2 4 6 a 设 A1到平面 BED1的距离为 h 而 11 BEDA V EDAB V 11 即 1 3 1 BED S h EDA S 11 3 1 AB 3 1 2 4 6 a h 3 1 2 2 a a 解得 h a6 3 1 球的体积和表面积球的体积和表面积 一 选择题一 选择题 用心 爱心 专心 1 若球的大圆面积扩大为原来的 4 倍 则球的表面积比原来增加 A 2 倍 B 3 倍 C 4 倍 D 8 倍 2 若球的大圆周长是 C 则这个球的表面积是 A 4 2 c B 4 2 c C 2 c D 2 c2 3 已知过球面上 A B C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半 且 AB BC CA 2 则球面面积是 A 9 16 B 3 8 C 4 D 9 64 4 球的大圆面积增大为原来的 4 倍 那么球的体积增大为原来的 A 4 倍 B 8 倍 C 16 倍 D 32 倍 5 三个球的半径之比为 1 2 3 那么最大球的体积是其余两个球的体积和的 A 1 倍 B 2 倍 C 3 倍 D 4 倍 6 棱长为 1 的正方体内有一个球与正方体的 12 条棱都相切 则球的体积为 A 4 B 4 C 3 2 D 4 2 7 圆柱形烧杯内壁半径为 5cm 两个直径都是 5 cm 的铜球都浸没于烧杯的水中 若 取出这两个铜球 则烧杯内的水面将下降 A 3 5 cm B 3 10 cm C 3 40 cm D 6 5 cm 8 已知过球面上 A B C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半 且 AB BC CA 2 则球面面积为 A 9 16 B 3 8 C 4 D 9 64 9 长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为 3 4 5 且它的 8 个顶点都在同一球面 上 这个球的表面积为 A 20 2 B 25 2 C 50 D 200 10 等体积的球与正方体 其表面积的大小关系为 A S 球 S 正方体 B S 球 S 正方体 C S 球 S 正方体 D 大小关系不确定 二 填空题二 填空题 11 已知三个球的表面积之比为 1 4 9 若它们的体积依次为 V1 V2 V3 则 V1 V2 V3 12 已知球的两个平行截面的面积分别为 5 和 8 它们位于球心的同一侧 且相 距为 l 则球的体积为 13 将一个玻璃球放人底面面积为 64 cm2的圆柱状容器中 容器水面升高3 4 cm 则玻璃球的半径为 14 将一个半径为 R 的木球削成一个尽可能大的正方体 则此正方体的体积为 15 表面积为 Q 的多面体的每个面都外切于半径为 R 的一个球 则多面体与球的体积 之比为 16 国际乒乓球比赛已将 小球 改为 大球 小球 的外径为 38 mm 大球 的外径为 40 mm 则 小球 与 大球 的表面积之比为 三 解答题三 解答题 17 已知正三棱柱的底面边长为 1 侧棱长为 2 则这样的三棱柱内能否放进一个体积 用心 爱心 专心 为16 的小球 18 用刀切一个近似球体的西瓜 切下的较小部分的圆面直径为 30 cm 高度为 5 cm 该西瓜体积大约有多大 19 三棱锥 A BCD 的两条棱 AB CD 6 其余各棱长均为 5 求三棱锥的内切球的 体积 20 表面积为 324 的球 其内接正四棱柱的高是 14 求这个正四棱柱的表面积 参考答案参考答案 一 选择题 1 B 2 C 3 D 4 B 5 C 6 C 7 A 8 D 9 C 10 C 二 填空题 11 3 3 1