高中数学教案排列、组合和概率课时复习19份

1 1 两个基本原理两个基本原理 一 教学目标 1 1 知识传授目标 知识传授目标 正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2 2 能力培养目标 能力培养目标 能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3 3 思想教育目标 思想教育目标 发展学生的思维能力 培养学生分析问题和解决问题的能力 二 教材分析 1 重点重点 加法原理 乘法原理 解决方法 利用简单的举例得到一般的结论 2 难点难点 加法原理 乘法原理的区分 解决方法 运用对比的方法比较它们的异同 三 活动设计 1 活动活动 思考 讨论 对比 练习 2 教具教具 多媒体课件 四 教学过程正 1 新课导入 随着社会发展 先进技术 使得各种问题解决方法多样化 高标准严要求 使得商品生产工序复杂 化 解决一件事常常有多种方法完成 或几个过程才能完成 排列组合这一章都是讨论简单的计数问题 而排列 组合的基础就是基本原理 用好基本原理是排 列组合的关键 2 新课 我们先看下面两个问题 l 从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘汽车 还可以乘轮船 一天中 火车有 4 班 汽车有 2 班 轮 船有 3 班 问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法 板书 图 因为一天中乘火车有 4 种走法 乘汽车有 2 种走法 乘轮船有 3 种走法 每一种走法都可以从甲地 到达乙地 因此 一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4 十 2 十 3 9 种不同的走法 一般地 有如下原理 加法原理 做一件事 完成它可以有加法原理 做一件事 完成它可以有 n n 类办法 在第一类办法中有类办法 在第一类办法中有 m m1 1种不同的方法 在第二类办法种不同的方法 在第二类办法 中有中有 m m2 2种不同的方法 种不同的方法 在第 在第 n n 类办法中有类办法中有 m mn n种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法 那么完成这件事共有 N N m m1 1十十 m m2 2十十 十十 m mn n种不同的方法 种不同的方法 2 我们再看下面的问题 由 A 村去 B 村的道路有 3 条 由 B 村去 C 村的道路有 2 条 从 A 村经 B 村去 C 村 共有多少种不同 的走法 板书 图 这里 从 A 村到 B 村有 3 种不同的走法 按这 3 种走法中的每一种走法到达 B 村后 再从 B 村到 C 村又有 2 种不同的走法 因此 从 A 村经 B 村去 C 村共有 3X2 6 种不同的走法 一般地 有如下原理 乘法原理 做一件事 完成它需要分成乘法原理 做一件事 完成它需要分成 n n 个步骤 做第一步有个步骤 做第一步有 m m1 1种不同的方法 做第二步有种不同的方法 做第二步有 m m2 2种不种不 同的方法 同的方法 做第 做第 n n 步有步有 m mn n种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法 那么完成这件事共有 N N m m1 1 m m2 2 m mn n种不同的方法 种不同的方法 例 1 书架上层放有 6 本不同的数学书 下层放有 5 本不同的语文书 1 从中任取一本 有多少种不同的取法 2 从中任取数学书与语文书各一本 有多少的取法 解 1 从书架上任取一本书 有两类办法 第一类办法是从上层取数学书 可以从 6 本书中任取一本 有 6 种方法 第二类办法是从下层取语文书 可以从 5 本书中任取一本 有 5 种方法 根据加法原理 得到不同的取法的种数是 6 十 5 11 答 从书架 L 任取一本书 有 11 种不同的取法 2 从书架上任取数学书与语文书各一本 可以分成两个步骤完成 第一步取一本数学书 有 6 种 方法 第二步取一本语文书 有 5 种方法 根据乘法原理 得到不同的取法的种数是 N 6X5 30 答 从书架上取数学书与语文书各一本 有 30 种不同的方法 练习 一同学有 4 枚明朝不同古币和 6 枚清朝不同古币 1 从中任取一枚 有多少种不同取法 2 从中任取明清古币各一枚 有多少种不同取法 例 2 1 由数字 l 2 3 4 5 可以组成多少个数字允许重复三位数 2 由数字 l 2 3 4 5 可以组成多少个数字不允许重复三位数 3 由数字 0 l 2 3 4 5 可以组成多少个数字不允许重复三位数 解 要组成一个三位数可以分成三个步骤完成 第一步确定百位上的数字 从 5 个数字中任选一个 数字 共有 5 种选法 第二步确定十位上的数字 由于数字允许重复 这仍有 5 种选法 第三步确定个位上的数字 同理 它也有 5 种选法 根据乘法原理 得到可以组成的 三位数的个数是 N 5X5X5 125 答 可以组成 125 个三位数 练习 1 从甲地到乙地有 2 条陆路可走 从乙地到丙地有 3 条陆路可走 又从甲地不经过乙地到丙地有 2 条水 路可走 1 从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法 2 从甲地到丙地共有多少种不同的走法 2 一名儿童做加法游戏 在一个红口袋中装着 2O 张分别标有数 1 2 19 20 的红卡片 从中任抽 一张 把上面的数作为被加数 在另一个黄口袋中装着 10 张分别标有数 1 2 9 1O 的黄卡片 从 中任抽一张 把上面的数作为加数 这名儿童一共可以列出多少个加法式子 3 题 2 的变形 4 由 0 9 这 10 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数 小结 要解决某个此类问题 首先要判断是分类 还是分步 分类时用加法 分步时用乘法 其次要注意怎样分类和分步 以后会进一步学习 练习 1 口答 一件工作可以用两种方法完成 有 5 人会用第一种方法完成 另有 4 人会用第二种方法完 成 选出一个人来完成这件工作 共有多少种选法 2 在读书活动中 一个学生要从 2 本科技书 2 本政治书 3 本文艺书里任选一本 共有多少种不同 的选法 3 乘积 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 c5 展开后共有多少项 4 从甲地到乙地有 2 条路可通 从乙地到丙地有 3 条路可通 从甲地到丁地有 4 条路可通 从丁地到丙 地有 2 条路可通 从甲地到丙地共有多少种不同的走法 5 一个口袋内装有 5 个小球 另一个口袋内装有 4 个小球 所有这些小球的颜色互不相同 1 从两个口袋内任取一个小球 有多少种不同的取法 2 从两个口袋内各取一个小球 有多少种不同的取法 作业 略 2 2 排列排列 复习基本原理复习基本原理 1 加法原理 做一件事 完成它可以有 n 类办法 第一类办法中有 m1种不同的方法 第二办法中有 m2 种不同的方法 第 n 办法中有 mn种不同的方法 那么完成这件事共有 N m1 m2 m3 mn 种不同的方法 2 乘法原理 做一件事 完成它需要分成 n 个步骤 做第一 步有 m1种不同的方法 做第二步有 m2种不 同的方法 做第 n 步有 mn种不同的方法 那么完成这件事共有 N m1 m2 m3 mn 种不同的方法 3 两个原理的区别 练习 1 1 北京 上海 广州三个民航站之间的直达航线 需要准备多少种不同的机票 2 由数字 1 2 3 可以组成多少个无重复数字的二位数 请一一列出 基本概念 1 什么叫排列 从 n 个不同元素中 任取 m 个元素 这里的被取元素各不相同 按照一定的顺一定的顺nm 序序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列一个排列 2 什么叫不同的排列 元素和顺序至少有一个不同 3 什么叫相同的排列 元素和顺序都相同的排列 4 什么叫一个排列 例题与练习 1 由数字 1 2 3 4 可以组成多少个无重复数字的三位数 2 已知 a b c d 四个元素 写出每次取出 3 个元素的所有排列 写出每次取出 4 个元素的所有排 列 排列数 1 定义 从 n 个不同元素中 任取 m 个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的nm 排列数 用符号表示 m n p 用符号表示上述各题中的排列数 2 排列数公式 n n 1 n 2 n m 1 m n p 1 n p 2 n p 3 n p 4 n p 计算 2 5 p 4 5 p 2 15 p 课后检测 1 写出 从五个元素 a b c d e 中任意取出两个 三个元素的所有排列 由 1 2 3 4 组成的无重复数字的所有 3 位数 由 0 1 2 3 组成的无重复数字的所有 3 位数 2 计算 3 100 p 3 6 p 2 8 4 8 p2p 7 12 8 12 p p 3 3 排排 列列 课题 课题 排列的简单应用 1 目的 目的 进一步掌握排列 排列数的概念以及排列数的两个计算公式 会用排列数公式计算和解决简单的 实际问题 过程 过程 一 一 复习 引导学生对上节课所学知识进行复习整理 1 排列的定义 理解排列定义需要注意的几点问题 2 排列数的定义 排列数的计算公式 或 其中m n m n Z 1 2 1 mnnnnAm n mn n Am n 3 全排列 阶乘的意义 规定 0 10 1 4 分类 分步 思想在排列问题中的应用 二 二 新授 例例 1 1 7 位同学站成一排 共有多少种不同的排法 解 问题可以看作 7 个元素的全排列 5040 7 7 A 7 位同学站成两排 前 3 后 4 共有多少种不同的排法 解 根据分步计数原理 7 6 5 4 3 2 1 7 5040 7 位同学站成一排 其中甲站在中间的位置 共有多少种不同的排法 解 问题可以看作 余下的 6 个元素的全排列 720 6 6 A 7 位同学站成一排 甲 乙只能站在两端的排法共有多少种 解 根据分步计数原理 第一步 甲 乙站在两端有种 第二步 余下的 5 名同学进行全排 2 2 A 列有种 则共有 240 种排列方法 5 5 A 2 2 A 5 5 A 7 位同学站成一排 甲 乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种 解法一 直接法 第一步 从 除去甲 乙 其余的 5 位同学中选 2 位同学站在排头和排尾 有种方法 第二步 从余下的 5 位同学中选 5 位进行排列 全排列 有种方法 所以 2 5 A 5 5 A 一共有 2400 种排列方法 2 5 A 5 5 A 解法二 排除法 若甲站在排头有种方法 若乙站在排尾有种方法 若甲站在排头 6 6 A 6 6 A 且乙站在排尾则有种方法 所以甲不能站在排头 乙不能排在排尾的排法共有 5 5 A 7 7 A 2400 种 6 6 2A 5 5 A 小结一 小结一 对于 在 与 不在 的问题 常常使用 直接法 或 排除法 对某些特殊元素可以优 先考虑 例例 2 2 7 位同学站成一排 甲 乙两同学必须相邻的排法共有多少种 解 先将甲 乙两位同学 捆绑 在一起看成一个元素与其余的 5 个元素 同学 一起进行全排 列有种方法 再将甲 乙两个同学 松绑 进行排列有种方法 所以这样的排法一共有 6 6 A 2 2 A 1440 种 6 6 A 2 2 A 甲 乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种 解 方法同上 一共有 720 种 5 5 A 3 3 A 甲 乙两同学必须相邻 而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种 解法一 将甲 乙两同学 捆绑 在一起看成一个元素 此时一共有 6 个元素 因为丙不能站在 排头和排尾 所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾 有种方法 将剩 2 5 A 下的 4 个元素进行全排列有种方法 最后将甲 乙两个同学 松绑 进行排列有种方 4 4 A 2 2 A 法 所以这样的排法一共有 960 种方法 2 5 A 4 4 A 2 2 A 解法二 将甲 乙两同学 捆绑 在一起看成一个元素 此时一共有 6 个元素 若丙站在排头或排尾有 2种方法 所以丙不能站在排头和排尾的排法有 5 5 A 种方法 960 2 2 2 5 5 6 6 AAA 解法三 将甲 乙两同学 捆绑 在一起看成一个元素 此时一共有 6 个元素 因为丙不能站在 排头和排尾 所以可以从其余的四个位置选择共有种方法 1 4 A 再将其余的 5 个元素进行全排列共有种方法 最后将甲 乙两同学 松绑 所以这样的排 5 5 A 法一共有 960 种方法 1 4 A 5 5 A 2 2 A 小结二 小结二 对于相邻问题 常用 捆绑法 先捆后松 例例 3 3 7 位同学站成一排 甲 乙两同学不能相邻的排法共有多少种 解法一 排除法 3600 2 2 6 6 7 7 AAA 解法二 插空法 先将其余五个同学排好有种方法 此时他们留下六个位置 就称为 5 5 A 空 吧 再将甲 乙同学分别插入这六个位置 空 有种方法 所以一共有 2 6 A 种方法 3600 2 6 5 5 AA 甲 乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种 解 先将其余四个同学排好有种方法 此时他们留下五个 空 再将甲 乙和丙三个同学 4 4 A 分别插入这五个 空 有种方法 所以一共有 1440 种 3 5 A 4 4 A 3 5 A 小结三 小结三 对于不相邻问题 常用 插空法 特殊元素后考虑 三 小结 1 对有约束条件的排列问题 应注意如下类型 某些元素不能在或必须排列在某一位置 某些元素要求连排 即必须相邻 某些元素要求分离 即不能相邻 2 基本的解题方法 有特殊元素或特殊位置的排列问题 通常是先排特殊元素或特殊位置 称为优先处理特殊 元素 位置 法 优限法 某些元素要求必须相邻时 可以先将这些元素看作一个元素 与其他元素排列后 再考虑 相邻元素的内部排列 这种方法称为 捆绑法 某些元素不相邻排列时 可以先排其他元素 再将这些不相邻元素插入空挡 这种方法称 为 插空法 在处理排列问题时 一般可采用直接和间接两种思维形式 从而寻求有效的解题途径 这 是学好排列问题的根基 4 4 排排 列列 课题 课题 排列的简单应用 2 目的 目的 使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题 进一步培养分析问题 解决问题的能 力 同时让学生学会一题多解 过程 过程 一 一 复习 1 排列 排列数的定义 排列数的两个计算公式 2 常见的排队的三种题型 某些元素不能在或必须排列在某一位置 优限法 某些元素要求连排 即必须相邻 捆绑法 某些元素要求分离 即不能相邻 插空法 3 分类 分布思想的应用 二 二 新授 示例一 示例一 从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单 如果某女演员的独唱节目一定不能排 在第二个节目的位置上 则共有多少种不同的排法 解法一 从特殊位置考虑 136080 5 9 1 9 AA 解法二 从特殊元素考虑 若选 若不选 5 9 5 A 6 9 A 则共有 136080 5 9 5 A 6 9 A 解法三 间接法 136080 5 9 6 10 AA 示例二 示例二 八个人排成前后两排 每排四人 其中甲 乙要排在前排 丙要排在后排 则共有多少种不同的排法 略解 甲 乙排在前排 丙排在后排 其余进行全排列 2 4 A 1 4 A 5 5 A 所以一共有 5760 种方法 2 4 A 1 4 A 5 5 A 不同的五种商品在货架上排成一排 其中a b两种商品必须排在一起 而c d两种商品不 排在一起 则不同的排法共有多少种 略解 捆绑法 和 插空法 的综合应用 a b捆在一起与e进行排列有 2 2 A 此时留下三个空 将c d两种商品排进去一共有 最后将a b 松绑 有 所以一共 2 3 A 2 2 A 有 24 种方法 2 2 A 2 3 A 2 2 A 6 张同排连号的电影票 分给 3 名教师与 3 名学生 若要求师生相间而坐 则不同的坐法 有多少种 略解 分类 若第一个为老师则有 若第一个为学生则有 3 3 A 3 3 A 3 3 A 3 3 A 所以一共有 2 72 种方法 3 3 A 3 3 A 示例三 示例三 由数字 1 2 3 4 5 可以组成多少个没有重复数字的正整数 略解 325 5 5 4 5 3 5 2 5 1 5 AAAAA 由数字 1 2 3 4 5 可以组成多少个没有重复数字 并且比 13 000 大的正整数 解法一 分成两类 一类是首位为 1 时 十位必须大于等于 3 有种方法 另一类是首位不 3 3 1 3A A 为 1 有种方法 所以一共有个数比 13 000 大 4 4 1 4A A 3 3 1 3A A114 4 4 1 4 AA 解法二 排除法 比 13 000 小的正整数有个 所以比 13 000 大的正整数有 3 3 A 114 个 5 5 A 3 3 A 示例四 示例四 用 1 3 6 7 8 9 组成无重复数字的四位数 由小到大排列 第 114 个数是多少 3 796 是第几个数 解 因为千位数是 1 的四位数一共有个 所以第 114 个数的千位数应该是 3 十60 3 5 A 位数字是 1 即 31 开头的四位数有个 同理 以 36 37 38 开头的数12 2 4 A 也分别有 12 个 所以第 114 个数的前两位数必然是 39 而 3 968 排在第 6 个位置上 所以 3 968 是第 114 个数 由上可知 37 开头的数的前面有 60 12 12 84 个 而 3 796 在 37 开头的四位 数中排在第 11 个 倒数第二个 故 3 796 是第 95 个数 示例五 示例五 用 0 1 2 3 4 5 组成无重复数字的四位数 其中 能被 25 整除的数有多少个 十位数字比个位数字大的有多少个 解 能被 25 整除的四位数的末两位只能为 25 50 两种 末尾为 50 的四位数有个 末 2 4 A 尾为 25 的有个 所以一共有 21 个 1 3 1 3A A 2 4 A 1 3 1 3A A 注 注 能被 25 整除的四位数的末两位只能为 25 50 75 00 四种情况 用 0 1 2 3 4 5 组成无重复数字的四位数 一共有个 因为在这 300 个300 3 5 1 5 AA 数中 十位数字与个位数字的大小关系是 等可能的等可能的 所以十位数字比个位数字大的有 个 150 2 1 3 5 1 5 AA 三 三 小结 能够根据题意选择适当的排列方法 同时注意考虑问题的全面性 此外能够借助一题多 解检验答案的正确性 5 5 组组 合合 课题 课题 组合 组合数的概念 目的 目的 理解组合的意义 掌握组合数的计算公式 过程 过程 一 一 复习 引入 1 复习排列的有关内容 定 义特 点相同排列公 式 排 列 以上由学生口答 2 提出问题 示例 1 从甲 乙 丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动 其中 1 名同学参加上午的活 动 1 名同学参加下午的活动 有多少种不同的选法 示例 2 从甲 乙 丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动 有多少种不同的选法 引导观察 示例 1 中不但要求选出 2 名同学 而且还要按照一定的顺序 排列 而示例 2 只要求 选出 2 名同学 是与顺序无关的 引出课题 组合问题 二 二 新授 1 1 组合的概念 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个组合组合 注 注 1 不同元素 2 只取不排 无序性无序性 3 相同组合 元素相同 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题 从A B C D四个景点选出 2 个进行游览 组合 从甲 乙 丙 丁四个学生中选出 2 个人担任班长和团支部书记 排列 2 2 组合数的概念 从n个不同元素中取出m m n 个元素的所有组合的个数 叫做从n个不同元 素中取出m个元素的组合数组合数 用符号表示 m n C 例如 示例 2 中从 3 个同学选出 2 名同学的组合可以为 甲乙 甲丙 乙丙 即有种3 2 3 C 组合 又如 从A B C D四个景点选出 2 个进行游览的组合 AB AC AD BC BD CD一共 6 种 组合 即 6 2 4 C 在讲解时一定要让学生去分析 要解决的问题是排列问题还是组合问 题 关键是看是否与顺序有关关键是看是否与顺序有关 那么又如何计算呢 m n C 3 3 组合数公式的推导 提问 从 4 个不同元素a b c d中取出 3 个元素的组合数是多少呢 3 4 C 启发 由于排列是先组合再排列排列是先组合再排列 而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 可以求得 故 3 4 A 我们可以考察一下和的关系 如下 3 4 C 3 4 A 组 合 排列 dcbcdbbdcdbccbdbcdbcd dcacdaadcdaccadacdacd dbabdaadbdabbadabdabd cbabcaacbcabbacabcabc 由此可知 每一个组合都对应着 6 个不同的排列 因此 求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的 排列数 可以分如下两步 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合 共有个 3 4 A 3 4 C 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列 各有种方法 由分步计数原理得 3 3 A 3 4 A 3 4 C 3 3 A 所以 3 3 3 43 4 A A C 推广 一般地 求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 可以分如下两步 先求从 m n A n个不同元素中取出m个元素的组合数 求每一个组合中m个元素全排列数 根据 m n C m m A 分布计数原理得 m n A m n C m m A 组合数的公式 1 2 1 m mnnnn A A C m m m nm n 或 mnm n C m n nmNmn 且 巩固练习 1 计算 4 7 C 7 10 C 2 求证 1 1 m n m n C mn m C 3 设 求的值 Nx 32 1 1 32 x x x x CC 解 由题意可得 即 2 x 4 321 132 xx xx x 2 或 3 或 4 Nx 当x 2 时原式值为 7 当x 3 时原式值为 7 当x 2 时原式值为 11 所求值为 4 或 7 或 11 4 4 例题讲评 例 1 6 本不同的书分给甲 乙 丙 3 同学 每人各得 2 本 有多少种不同的分 法 略解 90 2 2 2 4 2 6 CCC 例 2 4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人实践活动小组 问组成方法共有多少种 解法一 直接法 小组构成有三种情形 3 男 2 男 1 女 1 男 2 女 分别有 3 4 C 1 6 2 4 CC 所以一共有 100 种方法 2 6 1 4 CC 3 4 C 1 6 2 4 CC 2 6 1 4 CC 解法二 间接法 100 3 6 3 10 CC 三 三 小结 定 义特 点相同组合组合公 式 排 列 组组 合合 此外 解决实际问题时首先要看是否与顺序有关 从而确定是排列问题还是组合问题 必要时 要利用分类和分步计数原理 6 6 组组 合合 课题 课题 组合的简单应用及组合数的两个性质 目的 目的 深刻理解排列与组合的区别和联系 熟练掌握组合数的计算公式 掌握组合数的两个性质 并且 能够运用它解决一些简单的应用问题 过程 过程 一 一 复习回顾 1 复习排列和组合的有关内容 定 义特 点相同 公 式 排 列 组 合 强调 排列 次序性 组合 无序性 2 练习一 练习 1 求证 本式也可变形为 1 1 m n m n C m n C 1 1 m n m n nCmC 练习 2 计算 和 与 3 10 C 7 10 C 2 6 3 7 CC 3 6 C 5 11 4 11 CC 答案 120 120 20 20 792 此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础 3 练习二 平面内有 10 个点 以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条 平面内有 10 个点 以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条 答案 组合问题 排列问题 45 2 10 C90 2 10 A 二 二 新授 1 1 组合数的 性质性质 1 1 mn n m n CC 理解 一般地 从n个不同元素中取出m个元素后 剩下n m个元素 因 为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合 与剩下的n m个元素的每一个组合一一一一 对应对应 所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数 等于从这n个元素中取出n m个元 素的组合数 即 在这里 我们主要体现 取法 与 剩法 是 一一对应 mn n m n CC 的思想 证明 mnm n mnnmn n C mn n 又 mnm n C m n mn n m n CC 注 注 1 我们规定 1 0 n C 2 等式特点 等式两边下标同 上标之和等于下标 3 此性质作用 当时 计算可变为计算 能够使运算简化 2 n m m n C mn n C 例如 2002 2001 2002 C 20012002 2002 C 1 2002 C 4 或 y n x n CC yx nyx 2 2 示例一 课本 101 例 4 一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球 从口袋内取出 3 个球 共有多少种取法 从口袋内取出 3 个球 使其中含有 1 个黑球 有多少种取法 从口袋内取出 3 个球 使其中不含黑球 有多少种取法 解 56 3 8 C21 2 7 C35 3 7 C 引导学生发现 为什么呢 3 8 C 2 7 C 3 7 C 我们可以这样解释 从口袋内的 8 个球中所取出的 3 个球 可以分为两类 一类含有 1 个黑球 一类不含有黑球 因此根据分类计数原理 上述等式成立 一般地 从这n 1 个不同元素中取出m个元素的组合数是 这些组合可以分 121 n aaa m n C 1 为两类 一类含有元素 一类不含有 含有的组合是从这n个元素中取出m 1 a 1 a 1 a 132 n aaa 1 个元素与组成的 共有个 不含有的组合是从这n个元素中取出m个 1 a 1 m n C 1 a 132 n aaa 元素组成的 共有个 根据分类计数原理 可以得到组合数的另一个性质 在这里 我们主要体 m n C 现从特殊到一般的归纳思想 含与不含其元素 的分类思想 3 3 组合数的 性质性质 2 2 m n C 1 m n C 1 m n C 证明 1 1 1 mnm n mnm n CC m n m n 1 1 mnm mnmnn 1 1 mnm nmmn 1 1 mnm n m n C 1 m n C 1 m n C 1 m n C 注 1 公式特征 下标相同而上标差 1 的两个组合数之和 等于下标比原下标多 1 而上标与高 的相同的一个组合数 2 此性质的作用 恒等变形 简化运算 在今后学习 二项式定理 时 我们会看到它的 主要应用 4 4 示例二 计算 6 9 5 8 4 7 3 7 CCCC 求证 n m C 2 n m C 1 2 n m C 2 n m C 解方程 32 13 1 13 xx CC 解方程 3 3 3 2 2 2 10 1 x x x x x ACC 计算 和 4 4 3 4 2 4 1 4 0 4 CCCCC 5 5 4 5 3 5 2 5 1 5 0 5 CCCCCC 推广 推广 nn n n nnnn CCCCC2 1210 5 5 组合数性质的简单应用 证明下列等式成立 讲解 1 1321 k n k k k k k n k n k n CCCCCC 练习 1 121 k kn k nk k k k k k k CCCCC 2 32 10321n nnn n nnnn CCC n nCCCC 三 三 小结 1 组合数的两个性质 2 从特殊到一般的归纳思想 7 7 组组 合合 课题 课题 组合 组合数的综合应用 目的 目的 进一步巩固组合 组合数的概念及其性质 能够解决一些较为复杂的组合应用问题 提高合理选 用知识的能力 过程 过程 一 一 知识复习 1 复习排列和组合的有关内容 依然强调 排列 次序性 组合 无序性 2 排列数 组合数的公式及有关性质 性质 1 性质 2 mn n m n CC m n C 1 m n C 1 m n C 常用的等式 1 1 1 0 1 0 k k k kkk CCCC 二 二 例题评讲 例 1 100 件产品中有合格品 90 件 次品 10 件 现从中抽取 4 件检查 都不是次品的取法有多少种 至少有 1 件次品的取法有多少种 不都是次品的取法有多少种 解 2555190 4 90 C 1366035 4 10 1 90 3 10 2 90 2 10 3 90 1 10 4 90 4 100 CCCCCCCCC 3921015 4 90 1 10 3 90 2 10 2 90 3 10 1 90 4 10 4 100 CCCCCCCCC 例 2 从编号为 1 2 3 10 11 的共 11 个球中 取出 5 个球 使得这 5 个球的编号之和为奇 数 则一共有多少种不同的取法 解 分为三类 1 奇 4 偶有 3 奇 2 偶有 5 奇 1 偶有 4 5 1 6C C 2 5 3 6C C 5 6 C 所以一共有 4 5 1 6C C 2 5 3 6C C236 5 6 C 例 3 现有 8 名青年 其中有 5 名能胜任英语翻译工作 有 4 名青年能胜任德语翻 译工作 其中有 1 名青年两项工作都能胜任 现在要从中挑选 5 名青年承担一项任务 其中 3 名 从事英语翻译工作 2 名从事德语翻译工作 则有多少种不同的选法 解 我们可以分为三类 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作 有 2 3 2 4C C 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作 有 1 3 3 4C C 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作 有 2 3 3 4C C 所以一共有 42 种方法 2 3 2 4C C 1 3 3 4C C 2 3 3 4C C 例 4 甲 乙 丙三人值周 从周一至周六 每人值两天 但甲不值周一 乙不值周六 问可以排出 多少种不同的值周表 解法一 排除法 422 1 3 1 4 2 4 1 5 2 4 2 6 CCCCCC 解法二 分为两类 一类为甲不值周一 也不值周六 有 另一类为甲不值周一 但值 2 4 1 4C C 周六 有 所以一共有 42 种方法 2 3 2 4C C 2 4 1 4C C 2 3 2 4C C 例 5 6 本不同的书全部送给 5 人 每人至少 1 本 有多少种不同的送书方法 解 第一步从 6 本不同的书中任取 2 本 捆绑 在一起看成一个元素有种方法 第二步将 2 6 C 5 个 不同元素 书 分给 5 个人有种方法 根据分步计数原理 一共有 1800 5 5 A 2 6 C 5 5 A 种方法 变题 1 6 本不同的书全部送给 5 人 有多少种不同的送书方法 变题 2 5 本不同的书全部送给 6 人 每人至多 1 本 有多少种不同的送书方法 变题 3 5 本相同的书全部送给 6 人 每人至多 1 本 有多少种不同的送书方法 答案 1 2 3 1562556 720 5 6 A6 5 6 C 三 三 小结 1 组合的定义 组合数的公式及其两个性质 2 组合的应用 分清是否要排序 8 8 组组 合合 课题 课题 组合 组合数的综合应用 目的 目的 对排列组合知识有一个系统的了解 掌握排列组合一些常见的题型及解题方法 能够运用两个原 理及排列组合概念解决排列组合问题 过程 过程 一 一 知识复习 1 两个基本原理 2 排列和组合的有关概念及相关性质 二 二 例题评讲 例 1 6 本不同的书 按下列要求各有多少种不同的选法 分给甲 乙 丙三人 每人两本 分为三份 每份两本 分为三份 一份一本 一份两本 一份三本 分给甲 乙 丙三人 一人一本 一人两本 一人三本 分给甲 乙 丙三人 每人至少一本 解 根据分步计数原理得到 种 90 2 2 2 4 2 6 CCC 分给甲 乙 丙三人 每人两本有种方法 这个过程可以分两步完成 第一步分为 2 2 2 4 2 6 CCC 三份 每份两本 设有x种方法 第二步再将这三份分给甲 乙 丙三名同学有种方法 根据 3 3 A 分步计数原理可得 所以 因此分为三份 每份两本一共有 3 3 2 2 2 4 2 6 xCCCC 15 3 3 2 2 2 4 2 6 A CCC x 15 种方法 注 本题是分组中的 均匀分组 问题 这是 不均匀分组 问题 一共有种方法 60 3 3 2 5 1 6 CCC 在 的基础上在进行全排列 所以一共有种方法 360 3 3 3 3 2 5 1 6 ACCC 可以分为三类情况 2 2 2 型 即 中的分配情况 有种方法 90 2 2 2 4 2 6 CCC 1 2 3 型 即 中的分配情况 有种方法 1 1 4 型 有360 3 3 3 3 2 5 1 6 ACCC 种方法 所以一共有 90 360 90 540 种方法 90 3 3 4 6 AC 例 2 身高互不相同的 7 名运动员站成一排 甲 乙 丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排 法有多少种 解 插空法 现将其余 4 个同学进行全排列一共有种方法 再将甲 乙 丙三名同学插入 5 4 4 A 个空位置中 但无需要进行排列 有种方法 根据分步计数原理 一共有 240 种方 3 5 C 4 4 A 3 5 C 法 例 3 四个不同的小球放入四个不同的盒中 一共有多少种不同的放法 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种 解 根据分步计数原理 一共有种方法 25644 捆绑法 第一步从四个不同的小球中任取两个 捆绑 在一起看成一个元素有种方法 2 4 C 第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有种方法 所以一共有 144 种方法 3 4 A 2 4 C 3 4 A 例 4 马路上有编号为 1 2 3 10 的十盏路灯 为节约用电又不影响照明 可以把其中 3 盏灯 关掉 但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏 在两端的灯都不能关掉的情况下 有多少种不同的 关灯方法 解 插空法 本题等价于在 7 只亮着的路灯之间的 6 个空档中插入 3 只熄掉的灯 故所求方法 总数为种方法 20 3 6 C 例 5 九张卡片分别写着数字 0 1 2 8 从中取出三张排成一排组成一个三位数 如果 6 可 以当作 9 使用 问可以组成多少个三位数 解 可以分为两类情况 若取出 6 则有种方法 若不取 6 则有 2 1 7 1 7 1 2 2 8 CCCA 种方法 根据分类计数原理 一共有 602 种方法 2 7 1 7A C 2 1 7 1 7 1 2 2 8 CCCA 2 7 1 7A C 9 9 二项式定理二项式定理 1 1 定理定理 一 复习填空复习填空 1 在 n 1 2 3 4 时 研究 a b n的展开式 a b 1 a b 2 a b 3 a b 4 2 列出上述各展开式的系数 3 这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数字 得到 你能写出第五行的数字吗 a b 5 4 计算 用这些组合数表示 a b 4的展开式是 0 4 C 1 4 C 2 4 C 3 4 C 4 4 C a b 4 二 定理二 定理 a b n n 这个公式表示的定理叫做二项式定理 N 公式右边的多项式叫做 a b n的 其中 r 0 1 2 n 叫做 r n C 叫做二项展开式的通项 通项是指展开式的第 项 展开式共有 个项 例题 1 展开 2 展开 4 x 1 x 6 x 1 x2 小结 求展开式中的指定项一般用通项公式 当指数 n 不是很大时 也可用定理展开 再找指定项 3 计算 1 0 997 3 的近似值 精确到 0 001 2 1 002 6的近视值 精确到 0 001 三 课后检测课后检测 1 求 2a 3b 6的展开式的第 3 项 2 求 3b 2a 6的展开式的第 3 项 3 写出的展开式的第 r 1 项 n 3 3 x2 1 x 4 求 x3 2x 7的展开式的第 4 项的二项式系数 并求第 4 项的系数 5 用二项式定理展开 1 2 93 ba 7 x 2 2 x 6 化简 1 2 55 x1 x1 4 2 1 2 1 4 2 1 2 1 x3x2 x3x2 1010 二项式定理二项式定理 2 2 通项应用通项应用 求指定项求指定项 一 复习填空 一 复习填空 a b n n 这个公式表示的定理叫做二项式定N 理 公式右边的多项式叫做 a b n的 其中 r 0 1 2 n 叫做 r n C 叫做二项展开式的通项 通项是指展开式的第 项 展开式共有 个项 二 应用举例二 应用举例 1 的展开式中 第五项是 6 2 x a a x A B C D x 15 3 2 a x6 x 20 x 15 2 的展开式中 不含 a 的项是第 项 153 a 1 a A 7 B 8 C 9 D 6 3 二项式 z 2 6的展开式中第 5 项是 480 求复数 z 4 求二项式的展开式中的有理项 73 2 1 3 三 练习及课后检测三 练习及课后检测 1 的展开式中含 x3的项是 9 x 1 x 2 二项式的展开式中的第八项是 10 xi 3 A 135x3 B 3645x2 C D 7 ix3360 3 ix33240 3 的展开式中的整数项是 2475 53 A 第 12 项 B 第 13 项 C 第 14 项 D 第 15 项 4 展开式中第 9 项是常数项 则 n 的值是 n 2 2 x3 A 13 B 12 C 11 D 10 5 的展开式中的第 7 项是 9 di2 A B C 672d3i D 672d3i 2 d2288 2 d2288 6 展开式的常数项是 10 2 3 x 1 x2 7 展开式的常数项是 3 2 x 1 x 8 在的展开式中 第 项是中间项 中间项是 18 3 x b b x 9 已知 10 xlgx 5的展开式中第 4 项为 106 求 x 的值 10 若 1 2x 5展开式中的第 2 项小于第 1 项 且不小于第 3 项 求实数 x 的取值范围 1111 二项式二项式 3 3 求指定项的系数求指定项的系数 一 定理复习一 定理复习 1 a b n n 共有 个项 其中N r 0 1 2 n 叫做 r n C 2 通项表示展开式中的第 项 通项公式是 二 例题与练习二 例题与练习 1 x 2 9的展开式中 第 6 项的二项式系数是 A 4032 B 4032 C 126 D 126 2 若的展开式中的第三项系数等于 6 则 n 等于 n 11 1 x A 4 B 4 或 3 C 12 D 3 3 多项式 1 2x 5 2 x 含 x3项的系数是 A 120 B 120 C 100 D 100 4 求 x 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4 x 1 5的展开式中 x2的系数 5 二项式的展开式中第三项系数比第二项系数大 44 求第 4 项的系数 n 4 x 1 xx 三 课后检测三 课后检测 1 在的展开式中 x6的系数是 10 3x A 27 B 27 C 9 D 9 6 10 C 4 10 C 6 10 C 4 10 C 2 在 x2 3x 2 5的展开式中 x 的系数为 A 160 B 240 C 360 D 800 3 1 x 3 1 x 4 1 x 50展开式中 x3的系数是 A B C D 3 51 C 4 50 C 4 51 C 4 47 C 4 1 x 1 x 2 1 x 3 1 x 10的展开式中 含 x8的系数是 A 10 B 45 C 54 D 55 5 在的展开式中 求 x4的系数与 x 4的系数之差 8 x 1 x 6 1 x 5 1 x x2 4的展开式中 含 x7项的系数是 7 已知 1 n展开式中含 x 2的项的系数为 12 求 n x 2 8 x 1 x 4 x2 1 2x 5 x3 1 3x 7的展开式中 x4项的系数是 1212 二项式定理二项式定理 4 4 整除问题整除问题 一 一 例题选讲例题选讲 1 求 4713被 5 除所得的余数 2 求 x10 3 除以 x 1 2所得的余式 3 求证 34n 2 52n 1能被 14 整除 二 练习与检测二 练习与检测 1 10110 1 的末尾连续零的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 若 n 为奇数 7n 被 9 除所得的余数是 7C7C7C 1n n 2n2 n 1n1 n A 0 B 2 C 7 D 8 3 5n 13n n 除以 3 的余数是 N A 0 B 0 或 1 C 0 或 2 D 2 4 求 5555除以 8 所得的余数 5 用二项式定理证明 6363 17 能被 16 整除 6 求 9192除以 100 的余数 7 今天是星期二 不算今天 251天后的第一天是星期几 1313 二项式定理测试题二项式定理测试题 一 一 选择题选择题 1 已知 2a3 n的展开式的常数项是第 7 项 则 n 的值为 a 1 A 7 B 8 C 9 D 10 2 在 x2 3x 2 5的展开式中 x2的系数为 A 850 B 640 C 360 D240 3 x y 2z 8 的展开式中 x6yz 的系数是 2 1 A 28 B 16 C 56 D 16 4 设 1 x 3 1 x 4 1 x 50 a0 a1x a2x2 a50 x50 则 a3 A B C D 3 51 C 4 51 C 3 50 C2 4 50 C 5 数 1 05 6的计算结果精确到 0 01 的近视值是 A 1 23 B 1 24 C 1 33 D 1 44 6 在 ax 1 7的展开式中 a 1 x3的系数是 x2的系数与 x4的系数的等差中项 则 a 的值 是 A B C 2 D 2 1 5 10 1 5 10 5 10 5 10 7 x 1 2x 1 3x 1 nx 1 的展开式中 x 的系数是 A B C D 1n n C 2 n C 2 1n C 2 1n C 8 1 x x2 x3 4的展开式中 奇次项系数和是 A 64 B 128 C 120 D 256 9 的值是 20 123181920 4 17181920 2 1920 C0 4 A 217 B 218 C 219 D 220 10 1 2x 15的展开式中的各项系数和是 A 1 B 1 C 215 D 315 二 填空题二 填空题 11 若 n展开式中第五项是常数项 则展开式中系数最大的项是 x 1 x 3 12 展开式的中间项是 13 xy 2 1 yx 13 x 3的展开式中 所有常数项的和是 2 x 1 14 在 x2 x 1 n的展开式中 奇次项的系数和为 128 则系数最小的项是 三 解答题三 解答题 15 已知 x3 n的展开式中 只有第六项的二项式系数最大 求展开式中不含 x 的项 2 x 1 16 设 f x 1 x m 1 x n m n 若其展开式中 关于 x 的一次项系数为 11 试问 m n 取N 何值时 f x 的展开式中含 x2项的系数取最小值 并求出这个最小值 1414 二项式二项式 5 5 二项式系数二项式系数 一 一 复习 思考 填空 复习 思考 填空 1 a b n的展开式的二项式系数是 2 组合数的性质 1 是 3 写出 a b 10的展开式 1 观察二项式系数的变化规律 2 二项式系数最大的是 项 4 下面二项展开式中 那些项的二项式系数最大 是多少 分别填在相应的横线上 1 a b 19 第 项的二项式系数最大 是 2