导数与函数的零点ppt课件.ppt

导数的应用 2 教学目标 用导数解决零点问题 证明不等式及其应用 教学重点 重点是用导数解决有关函数零点的问题 不等式的证明及应用结论解决有关问题 教学难点 难点是用导数解决函数零点问题时对参数的讨论 1 复习回顾 1 求函数的单调区间 3 求函数的极值的方法及步骤 4 求函数的最值的方法及步骤 2 已知函数的单调区间或最值求参数的取值范围 2 导数的应用 2 2 设a 1 函数 1 求f x 的单调区间 2 证明f x 在上仅有一个零点 3 若函数y f x 在点P处的切线与x轴平行 且在点M m n 处的切线与直线OP平行 O是坐标原点 证明 1 已知函数有两个极值点 则实数a的取值范围 A B C 0 1 D 变式训练1 设函数 1 当k 0时 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在 0 2 内存在两个极值点 求k的取值范围 3 导数的应用 2 3 已知函数 1 若 求f x 的单调区间 2 若当x 0时f x 0 求实数a的取值范围 变式训练3 设函数 1 若a 0 求f x 的单调区间 2 若当x 0时f x 0 求a的取值范围 变式训练2 已知函数 g x lnx 1 当a为何值时 x轴为曲线y f x 的切线 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x 0 讨论h x 零点的个数 4 例题解答 1 解由题意知 有两个实根设 则 1 已知函数有两个极值点 则实数a的取值范围 A B C 0 1 D 当a 0时 g x 在单调递增g x 不可能有两个零点 则f x 不可能有两个极值点 当a 0时 由 得当时 g x 单调递增当时 g x 单调递减所以g x 有最大值由题意知 得故a的取值范围为 5 例题解答 1 已知函数有两个极值点 则实数a的取值范围 A B C 0 1 D 1 解由题意知 有两个实根 即有两个实根即y lnx与y 2ax 1的图像在有两个交点如图 设y lnx与y 2ax 1的图像切于点 m lnm 则由 解得m 1所以k 2a 1 得故a的取值范围为 6 变式训练1 设函数 1 当k 0时 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在 0 2 内存在两个极值点 求k的取值范围 变式训练1的答案 解 1 f x 的定义域为 由k 0 可得所以当0 x 2时 函数f x 单调递减所以当0 x 2时 函数f x 单调递增所以f x 的单调递增区间为 单调递减区间 0 2 7 变式训练1的答案 2 由 1 知 当k 0时 函数f x 在 0 2 内单调递减 故f x 在 0 2 无极值点 当k 0时 设函数则 当0 k 1时 由0 X 2 得 g x 单调递增故g x 不可能有两个零点 即f x 不可能有两个极值点 当时 由0 X 2 得 g x 单调递减故g x 不可能有两个零点 即f x 不可能有两个极值点 当时 由 得x lnk当0 x lnk时 函数g x 单调递减当lnk x 2时 函数g x 单调递增所以函数y g x 的最小值为g lnk k 1 lnk 由函数f x 在 0 2 内存在两个极值点 得 解得 故k的取值范围为 8 变式训练1的答案 2 由 1 知 当k 0时 函数f x 在 0 2 内单调递减 故f x 在 0 2 无极值点 当k 0时 设函数y f x 在 0 2 上有两个极值点等价于g x 在 0 2 上有两个零点则与y kx在 0 2 上有两个交点画简图如下 当直线y kx过点时 当直线y kx与切于点时 解得m 1所以k e故k的取值范围为 9 例题解答 解 对于所以f x 的单调递增区间为 2 设a 1 函数 1 求f x 的单调区间 2 证明f x 在上仅有一个零点 3 若函数y f x 在点P处的切线与x轴平行 且在点M m n 处的切线与直线OP平行 O是坐标原点 证明 2 证明 有 1 知f x 在R上单调递增 且f 0 1 a1 故a 1 0 所以 10 例题解答 所以 故所以 使得又f x 在上单调递增所以f x 在上仅有一个零点 3 证明 令 得x 1所以点P坐标为所以OP的斜率为由f x 在点M m n 处的切线与直线OP平行 得 11 要证只需证即证设则由 得m 0当时 g m 单调递减当时 g m 单调递增所以故成立所以 例题解答 12 变式训练2的答案 解 1 设曲线y f x 与x轴切于点 则 即解得当时 x轴是y f x 的切线 变式训练2 已知函数 g x lnx 1 当a为何值时 x轴为曲线y f x 的切线 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x 0 讨论h x 零点的个数 2 当x 1时 g x lnx 0 从而h x min f x g x g x 0故h x 在无零点 当x 1时 若 则f 1 h 1 min f 1 g 1 g 1 0 x 1是h x 的一个零点若 则h 1 f 1 0 h x 无零点 13 变式训练2的答案 当00无零点 只需考虑f x 在 0 1 上的零点个数 当a 0时 f x 在 0 1 单调递增且f 0 0故f x 0 1 上无零点 当a 3时 f x 在 0 1 单调递减且 f x 在 0 1 内仅有一个零点 当 3 a 0时 f x 在上单调递减 在上单调递增故f x 在 0 1 上的最小值为 a 若 即时 f x 在 0 1 上无零点 b 若 即时 f x 在 0 1 上有一个零点 14 变式训练2的答案 c 当 即时 综上所述 当或时 h x 有一个零点 当或时 h x 有两个零点 当时 h x 有三个零点 故当 f 1 0 f x 在 0 1 内有两个零点 当时 f 1 0 f x 在 0 1 内有一个零点 15 例题解答 3 已知函数 1 若 求f x 的单调区间 2 若当x 0时f x 0 求实数a的取值范围 解 1 时 由 得x 0或x 1当时 f x 单调递增当时 f x 单调递减故f x 的单调递增区间为f x 的单调递增区间为 2 设 则若a 1 当x 0时 g x 单调递增 而g 0 0所以当x 0时 g x 0 即f x 0 16 例题解答 若a 1 则当时 g x 单调递减而g 0 0 从而当时 g x 0 即f x 0综上得a的取值范围为 法二 由f x 0 得当x 0时 0 0恒成立当x 0时 恒成立 设则设 所以h x 在上单调递增 h x h 0 0故 则g x 在上单调递增 所以由于在恒成立 所以a 1a的取值范围为 17 变式训练3的答案 2 则令 则 当时 恒成立 g x 在单调递增所以g x g 0 0 即 故f x 在单调递增所以f x f 0 0 即不等式f x 0成立 当时 g x 在 0 ln2a 单调递减 而g 0 0g x g 0 0 则 f x 在 0 ln2a 单调递减而f 0 0 故f x 0 不合题意 综上 得a的取值范围为 解 1 a 0时 则当x0 f x 单调递增故f x 的单调递增区间为 单调递减区间为 18 变式训练3 设函数 1 若a 0 求f x 的单调区间 2 若当x 0时f x 0 求a的取值范围 变式训练3的答案 解 1 a 0时 则当x0 f x 单调递增故f x 的单调递增区间为 单调递减区间为 2 由 1 知 当且仅当x 0时等号成立当1 2a 0时 即时 而f 0 0于是x 0时 f x 0 由 得 故从而当时 故当0 x ln2a时 f x 单调递减 而f 0 0 于是f x 0综上得a的取值范围为 19 1 设 x 0 n 1 求 2 证明 在内有且仅有一个零点 记为 且 课后作业 2 已知函数 1 设g x 是f x 的导函数 求函数g x 在区间上的最小值 2 若f 1 0 函数f x 在区间 0 1 内有零点 证明 e 2 a 1 3 设f x lnx p x 1 1 当p 1时 求f x 的单调区间 2 设函数 x 1 求证 当 g x 0成立 4 已知函数 1 求f x 的单调区间 2 若a 0 讨论是否存在 使得 20 课后作业 5 已知函数 1 设a 2 求f x 的单调区间 2 设f x 在区间 2 3 中至少有一个极值点 求a的取值范围 6 已知函数 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为x 2y 3 0 1 求a b的值 2 证明 当x 0且x 1时 7 已知函数 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为x 2y 3 0 1 求a b的值 2 如果当x 0且x 1时 求k的取值范围 21 1 设 x 0 n 1 求 2 证明 在内有且仅有一个零点 记为 且 课后作业答案 解 1 所以 则 得 所以 2 因为 所以在内至少有一个零点 22 课后作业答案 又 所以在内单调递增所以在内有且仅有一个零点 由于 所以由此可得故所以即在内有且仅有一个零点 且 23 课后作业答案 2 已知函数 1 设g x 是f x 的导函数 求函数g x 在区间上的最小值 2 若f 1 0 函数f x 在区间 0 1 内有零点 证明 e 2 a 1 解 1 即所以 当 当2a 1时 即 g x 在单调递减故g x 在上的最小值为g 1 e 2a b 当时 由得x ln2a当 g x 在单调递减当 g x 在单调递增 当2a 1时 即时 g x 在单调递增故g x 在上的最小值为g 0 1 b 24 课后作业答案 故g x 在的最小值为g ln2a 2a 2aln2a b综上 当时 g x 在的最小值为g 0 1 b当时 g x 在的最小值为g ln2a 2a 2aln2a b当时 g x 在的最小值为g 1 e 2a b 2 设为f x 在区间 0 1 内的一个零点 则由可知f x 在区间上不可能单调递增 也不可能单调递减 则g x 不可能恒为正 也不可能恒为负 故g x 在区间内存在零点同理 由 知g x 在区间内存在零点所以 g x 在区间 0 1 内至少有两个零点 25 课后作业答案 所以此时g x 在单调递减