上海市2013届高三数学下学期2月开学考试题 文 沪教版

1 松江二中高三数学松江二中高三数学 2 2 月考试卷月考试卷 一 填空题 每题一 填空题 每题 4 4 分 共分 共 5656 分 分 1 对于集合A B 定义运算 ABx xAxB 且 若 11Axx 02Bxx 则AB 1 0 2 若复数z满足 2 1 1 z i i 其中i为虚数单位 则z 10 3 关于的不等式 2 2 0 1 ax xa 1a 的解集为 2 2 1a a x 4 若函数 yf x 是函数 1 2xy 的反函数 则 2 2 f 5 已知向量a 与b 的夹角为 3 1a 2b 若ba 与a 垂直 则实数 1 6 已知数列 n a为无穷等比数列 且满足 1 2a 4 1 4 a 则数列 n a所有项的和为 4 7 若 为锐角 且 1 sin 33 则sin 2 61 6 8 二项式 6 2 x x 展开式中的常数项为 160 9 过双曲线的左焦点的弦两点都在左支上 为右焦点 且 22 1 94 xy 1 FAB 2 F 的周长为 30 则 9 2 ABF AB 10 若关于x的方程组 1 2 1 yq x y qx 有唯一的一组实数解 则实数q的值为 1 1 2 或 11 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个 其十位数比个位数大的概率是 5 9 12 文 已知关于的二次不等式 2 20axxb 的解集为 1 x x a 且ab 则x 22 ab ab 的最小值为 2 2 2 13 对任意x R 函数 f x满足 2 1 1 2 f xf xf x 设 2 nfnfan 数列 n a的前15项的和为 31 16 则 2013f 3 4 14 文 设数列 n a是公差为d的等差数列 m n p q是互不相等的正整数 若 mnpq 则 qpnm aaaa 请你用类比的思想 对等差数列 n a的前n项和为 n S 写出类似的结论 若 则 pq nm SS SS nmpq mnpq 二 选择题 每题二 选择题 每题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 15 函数 2 230 2ln0 xxx f x xx 的零点个数为 C A 0 B 1 C 2 D 3 16 设a b 都是非零向量 则下列四个条件 ab ab 2ab ab 则其中可作为使 ab ab 成立的充分条件的有 B A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 17 已知抛物线 0 2 2 ppxy上一点 1 mM 0 m到其焦点的距离为5 双曲线 1 2 2 y a x 的左顶点为A 若双曲线一条渐近线与直线AM平行 则实数a等于 A A 9 1 B 4 1 C 3 1 D 2 1 18 已知点 1 1 A 若曲线G上存在两点 B C 使 ABC 为正三角形 则称G为 型曲线 给定下列三条曲线 3 03 yxx 2 2 20 yxx 1 0 yx x 其中 型曲线的个数是 C 3 A 0 B 1 C 2 D 3 三 解答题 三 解答题 12 14 14 16 18 7412 14 14 16 18 74 分 分 1919 本题共 本题共 2 2 小题 其中第小题 其中第 1 1 小题小题 6 6 分 第分 第 2 2 小题小题 6 6 分 满分分 满分 1212 分 分 已知 n a为等差数列 且 13 8aa 24 12aa 1 求数列 n a的通项公式 2 记 n a的前n项和为 n S 若 1 a k a 2k S 成等比数列 求正整数k的值 解解 1 1 由 13 8aa 24 12aa 可得 2128d 即2d 2 代入 13 8aa 可得 1 2a 4 2212 n ann 6 2 2 2 22 2 n n n Snn 8 22 12 4223 kk aka Skk 10 化简可得 2 560kk 解得6k 1k 舍去 12 2020 本题共 本题共 2 2 小题 其中第小题 其中第 1 1 小题小题 6 6 分 第分 第 2 2 小题小题 8 8 分 满分分 满分 1414 分 分 如图 为一个等腰三角形形状的空地 腰的长为 百米 底的长为 百ABC CA3AB4 米 现决定在该空地内筑一条笔直的小路 宽度不计 将该空地分成一个四边形和一EF 个三角形 设分成的四边形和三角形的周长相等 面积分别为和 1 S 2 S 1 若小路一端为的中点 求此时小路的长度 EAC 2 求的最小值 2 1 S S 解 1 E为AC中点 AE CE 3 2 第 20 题图 4 3 4 F不在BC上 2 分 3 2 3 2 若F在AB上 则AE AF 3 AE 4 AF 3 AE AF 5 AF 4 7 2 在 ABC中 cosA 4 分 2 3 在 AEF中 EF2 AE2 AF2 2AE AFcosA 2 9 4 49 4 3 2 7 2 2 3 15 2 EF 即小路一端E为AC的中点时小路的长度为 百米 6 分 30 2 30 2 2 若小道的端点E F点都在两腰上 如图 设CE x CF y 则x y 5 1 S1 S2 S CAB S CEF S CEF S CAB S CEF 1 1 2CA CBsinC 1 2CE CFsinC 1 当x y 时取等号 9 9 xy 1 2 9 2 yx 11 25 5 2 分 若小道的端点E F分别在一腰 不妨设腰AC 上和底上 设AE x AF y 则x y 5 1 1 当x y 时取等 S1 S2 S ABC S AEF S AEF S ABC S AEF 12 xy 1 2 12 2 yx 23 25 5 2 号 12 分 答 最小值是 14 分 11 25 21 本题共 本题共 2 2 小题 其中第小题 其中第 1 1 小题小题 6 6 分 第分 第 2 2 小题小题 8 8 分 满分分 满分 1414 分 分 已知圆 22 2 220G xyxy 经过椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点F及 上顶点B 1 求椭圆的方程 2 过椭圆外一点 0M mma 倾斜角为 2 3 的直线l交椭圆于C D两点 若点 3 0N在以线段CD为直径的圆E的外部 求m的取值范围 解 解 1 1 22 2 220G xyxy 与x轴 y轴交点为 2 2 0和 0 2 2 5 2 2c 2b 222 12abc 4 椭圆方程为 22 1 124 xy 6 2 2 设直线l的方程为 3yxm 2 3m 22 3 312 yxm xy 可得 22 10189120 xmxm 8 22 32440 9120mm 可得 2 40 3 m 即 2 302 30 33 m 9 设 11 C x y 22 D xy 则 12 9 5 m xx 2 12 912 10 m x x 10 11221212 3 3 33NC NDxyxyxxy y 2 1212 433930 x xmxxm 12 化简得 2 2970mm 可得 7 2 m m取值范围为 7 2 30 23 14 22 本题共 本题共 3 3 小题 其中第小题 其中第 1 1 小题小题 4 4 分 第分 第 2 2 小题小题 6 6 分 第分 第 3 3 小题小题 6 6 分 满分分 满分 1616 分 分 定义非零向量 OMa b 的 相伴函数 为 sincosf xaxbx xR 向 量 OMa b 称为函数 sincosf xaxbx 的 相伴向量 其中O为坐标原 点 记平面内所有向量的 相伴函数 构成的集合为S 1 已知 cos2cosh xxx 求证 h xS 2 求 1 中函数 h x的 相伴向量 模的取值范围 3 已知点 M a b满足条件 3a 且03b 向量OM 的 相伴函数 f x 在 0 xx 处取得最大值 当点M运动时 求 0 tan2x的取值范围 解 解 1 1 cos2cosh xxx sinsin2coscosxx 2 函数 h x的相伴向量 sin 2cosOM h xS 4 2 2 22 sin2cos54cosOM 6 6 max 543OM min 541OM OM 的取值范围为 1 3 10 3 3 OM 的相伴函数 22 sincossinf xaxbxabx 其中 2222 cos sin ab abab 11 当2 2 xkkZ 即 0 2 2 xkkZ 时 f x取得最大值 12 0 tantan 2cot 2 a xk b 13 0 02 2 0 2 2tan2 tan2 1tan 1 a x b x ba x a ab b 14 b a 为直线OM的斜率 由几何意义知 3 0 3 b a 15 令 b m a 则 0 23 tan2 0 1 3 xm m m 当 3 0 3 m 时 12 3 3 m m 0 tan23 0 x 16 23 本题共 本题共 3 3 小题 其中第小题 其中第 1 1 小题小题 4 4 分 第分 第 2 2 小题小题 6 6 分 第分 第 3 3 小题小题 8 8 分 满分分 满分 1818 分 分 文 已知函数 k f xxb 常数 k bR 的图像过点 4 2 16 4两点 1 求 f x的解析式 2 问 是否存在边长为4正三角形 12 PQQ 使点P在函数 f x图像上 1 Q 7 2 Q从左至右是x正半轴上的两点 若存在 求直线 2 PQ的方程 若不存在 说 明理由 3 若函数 g x的图像与函数 f x的图像关于直线yx 对称 且不等式 222g xg xax 恒成立 求实数a的取值范围 文文 解 解 1 1 把 4 2 x y 和 16 4 x y 分别代入 k f xxb 可得 42 164 k k b b 化简此方程组可得 16420 kk 即 42410 kk 可得42 k 1 2 k 代入原方程组可得 0b 1 2 f xxx 4 2 2 由 12 PQQ 边长为4可知 此三角形的高即点P的纵坐标为 3 42 3 2 5 点P的坐标为 12 2 3P 6 点 1 Q的横坐标为 1 12210 Q x 即 10 0Q 7 1 2 3 3 12 10 PQ k 直线 1 PQ的倾斜角为 3 8 这样的正三角形存在 且点 2 14 0Q 直线 2 PQ的方程为 314yx 即314