2017届广州市高三(二模)数学(理)

Middle 2017 届广州市高三第二次调研考试试题 二 数学 理科 2017 4 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 11Ax x 1 10Bx x AB A B C D 12xx 02xx 01xx 01xx 2 若复数满足 则复数所对应的点位于 z 34ii2iz z A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 执行如图所示的程序框图 则输出的值为 S A 4 B 3 C D 2 3 4 从 1 2 3 4 5 这 5 个数字中任取 3 个数字组成没有重复 数字的三位数 则这个三位数是偶数的概率为 A B C D 1 5 2 5 1 2 3 5 5 函数的大致图象是 ln1fxxx A B C D 6 已知 则 2 cos 423 sin A B C D 7 9 1 9 1 9 7 9 7 已知点在抛物线 上 该抛物线的焦点为 过点作该抛物线 4 4A 2 2ypx 0p FA 准线的垂线 垂足为 则的平分线所在的直线方程为 EEAF A B C D 2120 xy 2120 xy 240 xy 240 xy Middle 8 在棱长为 2 的正方体中 是棱的中点 过 作正方体的 1111 ABCDABC D M 11 AD 1 CBM 截面 则这个截面的面积为 A B C D 3 5 2 3 5 8 9 2 9 8 9 已知 点是直线与圆的公共点 Rk P a b2xyk 222 23xykk 则的最大值为 ab A 15 B 9 C 1 D 5 3 10 已知函数 的图象在区间上恰有 3 个最高点 2sin 4 fxx 0 0 1 则的取值范围为 A B C D 1927 44 913 22 1725 44 4 6 11 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某三棱锥 的三视图 则该三棱锥的体积为 A B C D 16 8 3 16 3 32 3 12 定义在上的奇函数为减函数 若 满足 R yf x mn 2 2f mm 2 20fnn 则当时 的取值范围为 1n 3 2 m n A B C D 2 1 3 3 1 2 1 3 3 2 1 1 3 二 填空题 每题 5 分 满分 20 分 将答案填在答题纸上 13 已知点 若点在轴上 0 0O 1 3A 24B ABmOAOP2Py 则实数 m 14 孙子算经 是我国古代重要的数学著作 约成书于四 五世纪 传本的 孙子算经 共三卷 其中下卷 物不知数 中有如下问题 今有物 不知其数 三三数之 剩二 五五数之 剩三 七七数之 剩二 问 物几何 其意思为 现有一堆物品 不知 它的数目 3 个 3 个数 剩 2 个 5 个 5 个数 剩 3 个 7 个 7 个数 剩 2 个 问这堆物品 共有多少个 试计算这堆物品至少有 个 Middle 15 设 则 54 23xyxy 9872 987 a xa x ya x y 89 10 a xya y L 08 aa 16 在平面四边形中 连接对角线 已知 ABCDBD9CD 16BD 90BDC 则对角线的最大值为 4 sin 5 A AC 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 设等比数列的前项和 已知 n an n S 123 8a a a 213 3 n Saa 521n aa L Nn 求数列的通项公式 n a 设 求数列的前项和 nn bnS n bn n T 18 如图 是边长为的菱形 平面 平面 ABCDa60BAD EB ABCDFD ABCD 23EBFDa 求证 EFAC 求直线与平面所成角的正弦值 CEABF Middle 19 某商场拟对某商品进行促销 现有两种方案供选择 每种促销方案都需分两个月实施 且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立 根据以往促销的统计数据 若实施 方案 1 预计第一个月的销量是促销前的 1 2 倍和 1 5 倍的概率分别是 0 6 和 0 4 第二个月的销量是第一个月的 1 4 倍和 1 6 倍的概率都是 0 5 若实施方案 2 预计 第一个月的销量是促销前的 1 4 倍和 1 5 倍的概率分别是 0 7 和 0 3 第二个月的销量 是第一个月的 1 2 倍和 1 6 倍的概率分别是 0 6 和 0 4 令表示实施方案 的 1 2 i i i 第二个月的销量是促销前销量的倍数 求 的分布列 1 2 不管实施哪种方案 与第二个月的利润之间的关系如下表 试比较哪种方案 i 第二个月的利润更大 20 已知双曲线的焦点是椭圆 的顶点 且椭圆与双曲线 2 2 1 5 x y C 22 22 1 xy ab 0ab 的离心率互为倒数 求椭圆的方程 C 设动点 在椭圆上 且 记直线在轴上的截距为 MNC 4 3 3 MN MNym 求的最大值 m Middle 21 已知函数在点处的切线方程为 ln x f xaxb x e ef2eyax 求实数的值 b 若存在 满足 求实数的取值范围 2 e ex 1 e 4 f x a 请考生在 22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中 已知直线 的普通方程为 曲线的参数方程为xOyl20 xy C 为参数 设直线 与曲线交于 两点 2 3cos 2sin x y lCAB 求线段的长 AB 已知点在曲线上运动 当的面积最大时 求点的坐标及的最大面积 PCPAB PPAB Middle 23 选修 4 5 不等式选讲 已知 证明 1abc 22 11ab 216 1 3 c 若对任意实数 不等式恒成立 求实数的取值范围 xxa 212x a Middle 2017 年广州市普通高中毕业班综合测试 二 理科数学试题答案及评分参考 一 选择题 1 5 ABABA 6 10 CDCBC 11 12 BD 二 填空题 13 14 23 15 16 27 2 3 2590 三 解答题 17 解 因为数列是等比数列 所以 n a 2 132 a aa 因为 所以 解得 123 8a a a 3 2 8a 2 2a 因为 213521 3 nn Saaaa L 所以 即 21 3Sa 121 3aaa 因为 所以 2 2a 1 1a 因为等比数列的公比为 n a 2 1 2 a q a 所以数列的通项公式为 n a 1 2n n a 因为等比数列的首项为 公比 n a 1 1a 2q 所以 1 1 1 n n aq S q 12 21 12 n n 因为 所以 nn bnS 21 n n bn 2nnn 所以 123n Tbbb 1nn bb L 23 1 22 23 2 2nn L 123n L 设 23 1 22 23 2 n P 2nn L 则 23 21 22 2 n P 41 3 22nn L 所以 123 2222 n n Pn 4 22n L 1 1 22 n n 因为 123 1 2 n n n L Middle 所以 1 1 2n n Tn 1 2 2 n n 所以数列的前项和 n bn 1 1 2n n Tn 1 2 2 n n 18 解 证明 连接 BD 因为是菱形 所以 ABCDACBD 因为平面 平面 FD ABCDAC ABCD 所以 ACFD 因为 所以平面 BDFDD AC BDF 因为平面 平面 所以 EB ABCDFD ABCDEBFD 所以 四点共面 BDFE 因为平面 所以 EF BDFEEFAC 如图 以为坐标原点 分别以 的方向为轴 轴的正方向 建立空间直角坐标系DDC uuu r DF uuu r yz Dxyz 可以求得 31 0 22 Aaa 31 0 22 Baa 3 0 0 2 Fa 0 0Ca 31 3 22 Eaaa 所以 0 0ABa uu u r 313 222 AFaaa uuu r 设平面的法向量为 ABF nx y z r 则即 0 0 n AB n AF r uu u r r uuu r 0 313 0 222 ay axayaz 不妨取 则平面的一个法向量为 1x ABF 1 0 1n r 因为 31 3 22 CEaaa uur Middle 所以 cos n CE n CE n CE r uur r uur r uur 3 6 8 所以直线与平面所成角的正弦值为 CEABF 3 6 8 19 解 依题意 的所有取值为 1 68 1 92 2 1 2 4 1 因为 1 1 68P 0 6 0 50 30 1 1 92P 0 6 0 50 30 1 2 1P 0 4 0 50 20 1 2 4P 0 4 0 50 20 所以的分布列为 1 依题意 的所有取值为 1 68 1 8 2 24 2 4 2 因为 2 1 68P 0 7 0 60 42 2 1 8P 0 3 0 60 18 2 2 24P 0 7 0 40 28 2 2 4P 0 3 0 40 12 所以的分布列为 2 令表示方案 所带来的利润 则 i Qi Middle 所以 1 15 0 30EQ 20 0 5025 0 20 19 5 2 15 0 42EQ 20 0 4625 0 12 18 5 因为 12 EQEQ 所以实施方案 1 第二个月的利润更大 20 解 双曲线的焦点坐标为 离心率为 2 2 1 5 x y 6 0 30 5 因为双曲线的焦点是椭圆 的顶点 且椭圆与双曲线的离心率互 2 2 1 5 x y C 22 22 1 xy ab 0ab 为倒数 所以 且 解得 6a 22 30 6 ab a 1b 故椭圆的方程为 C 2 2 1 6 x y 因为 所以直线的斜率存在 4 3 2 3 MN MN 因为直线在轴上的截距为 所以可设直线的方程为 MNymMNykxm 代入椭圆方程得 2 2 1 6 x y 22 1612kxkmx 2 610m 因为 2 2 1224 1 6kmk 2 124m 22 160km 所以 22 1 6mk 设 11 M x y 22 N xy 根据根与系数的关系得 12 2 12 1 6 km xx k 2 12 2 61 1 6 m x x k 则 2 12 1MNkxx 2 2 1212 14kxxx x 2 2 2 22 241 12 1 1616 m km k kk 因为 即 4 3 3 MN 2 2 2 22 241 12 1 1616 m km k kk 4 3 3 Middle 整理得 42 2 2 18397 9 1 kk m k 令 则 2 11kt 2 1kt 所以 2 2 187550 9 tt m t 150 7518 9 t t 752 305 93 等号成立的条件是 此时 满足 符合题意 5 3 t 2 2 3 k 2 5 3 m 22 1 6mk 故的最大值为 m 15 3 21 解 函数的定义域为 f x 0 11 因为 所以 ln x f xaxb x 2 ln1 ln x fxa x 所以函数在点处的切线方程为 即 f x e efeeyab eax eyaxb 已知函数在点处的切线方程为 比较求得 f x e ef2eyax eb 所以实数的值为 be 由 即 1 e 4 f x e ln x ax x 1 e 4 所以问题转化为在上有解 11 ln4 a xx 2 e e 令 11 ln4 h x xx 2 e ex 则 22 11 4ln h x xxx 2 22 ln4 4ln xx xx 22 ln2ln2 4ln xxxx xx 令 ln2p xxx 所以当时 有 2 e ex 11 px xx 1 0 x x 所以函数在区间上单调递减 p x 2 e e 所以 ep xp lne2 e0 所以 即在区间上单调递减 0h x h x 2 e e Middle 所以 2 e h xh 22 11 lne4e 2 11 24e 所以实数的取值范围为 a 2 11 24e 22 解 曲线的普通方程为 C 22 1 124 xy 将直线代入中消去得 20 xy 22 1 124 xy y 2 30 xx 解得或 0 x 3x 所以点 0 2A 3 1B 所以 22 3012AB 3 2 在曲线上求一点 使的面积最大 则点到直线 的距离最大 CPPABVPl 设过点且与直线 平行的直线方程 Plyxb 将代入整理得 yxb 22 1 124 xy 22 46340 xbxb 令 解得 2 2 64 4 34bb 0 4b 将代入方程 解得 4b 22 46340 xbxb 3x 易知当点的坐标为时 的面积最大 P 3 1 PABV 且点到直线 的距离为 3 1P l 22 3 12 11 d 3 2 的最大面积为 PABV 1 9 2 SABd 23 解 证明 因为 1abc 所以 222 111abc 222 abc 23abc 222 5abc 所以要证明 22 11ab 216 1 3 c 即证明 222 1 3 abc 因为 222 abc 2 abc 2 abbcca Middle 2 abc 222 2 abc 所以 222 3 abc 2 abc 因为 所以 1abc 222 1 3 abc 所以 22 11ab 216 1 3