【全程复习方略】广东省2013版高中数学 8.7抛 物 线课时提能演练 理 新人教A版

1 全程复习方略全程复习方略 广东省广东省 20132013 版高中数学版高中数学 8 78 7 抛抛 物物 线课时提能演练线课时提能演练 理理 新新 人教人教 A A 版版 45 45 分钟分钟 100100 分分 一 选择题一 选择题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 3636 分分 1 设抛物线 y2 8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4 则点 P 到该抛物线焦点的距离 是 A 4 B 6 C 8 D 12 2 2012 深圳模拟 顶点在原点 准线方程为 y 3 0 的抛物线焦点坐标 为 A 0 3 B 0 3 C 3 0 D 3 0 3 过点 0 1 作直线 使它与抛物线 y2 4x 仅有一个公共点 这样的直线共 有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4条 4 2012 佛山模拟 已知抛物线 C1 y 2x2与抛物线 C2关于直线 y x 对称 则 C2的准线方程是 A x B x 1 8 1 8 C x D x 1 2 1 2 5 2012 广州模拟 已知抛物线 C y2 8x 的焦点为 F 准线与 x 轴的交点为 K 点 A 在 C 上 且 AK AF 则 AFK 的面积为 2 A 4 B 8 C 16 D 32 6 已知抛物线 y2 2px p 0 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A B 两点 若线段 AB 的中点的纵 坐标为 2 则该抛物线的准线方程为 A x 1 B x 1 C x 2 D x 2 二 填空题二 填空题 每小题每小题 6 6 分 共分 共 1818 分分 7 抛物线 y x2的焦点与双曲线 1 的上焦点重合 则 m 1 16 y2 3 x2 m 8 过抛物线 y 8x2的焦点作直线交抛物线于 A B 两点 线段 AB 的中点 M 的纵坐标为 2 则线段 AB 的长 为 2 9 易错题 设 F 为抛物线 y2 4x 的焦点 A B 为该抛物线上两点 若FA 2FB 0 0 则 FA 2 FB 三 解答题三 解答题 每小题每小题 1515 分 共分 共 3030 分分 10 2011 江西高考 已知过抛物线 y2 2px p 0 的焦点 斜率为 2的直线交抛物线于 A x1 y1 2 B x2 y2 x10 与圆 C2 x2 y2 交于 M N 两点 且 MON 120 16 9 1 求抛物线 C1的方程 2 设直线l与圆 C2相切 若直线l与抛物线 C1也相切 求直线l的方程 若直线l与抛物线 C1交于不同的 A B 两点 求OA OB 的取值范 围 探究创新 16 分 已知抛物线 x2 2y 的焦点为 F 准线为l 过l上一点 P 作抛物线的两条切线 切点分别为 A B 某学习小组在研究讨论中提出如下三个猜想 1 直线 PA PB 恒垂直 2 直线 AB 恒过焦点 F 3 等式FA FB 2 FP 中的 恒为常数 现请你一一进行论证 答案解析答案解析 1 解析 选 B 点 P 到 y 轴的距离是 4 延长使得和准线相交于点 Q 则 PQ 等于点 P 到焦点的距离 而 PQ 6 所以点 P 到该抛物线焦点的距离为 6 方法技巧 抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的求解技巧 抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化 3 1 若求点到焦点的距离 则可联想点到准线的距离 2 若求点到准线的距离 则经常联想点到焦点的 距离 解题时一定要注意 2 解析 选 B 准线方程为 y 3 焦点在 y 轴负半轴上 标准方程为 x2 12y 故焦点坐标为 0 3 3 解析 选 C 作出图形 可知点 0 1 在抛物线 y2 4x 外 因此 过该点可作抛物线 y2 4x 的切线有 两条 还能作一条与抛物线 y2 4x 的对称轴平行的直线 因此共有三条直线与抛物线只有一个交点 4 解析 选 A 抛物线 C2的方程为 x 2y2 即 y2 x 1 2 故 2p p 故准线方程为 x 1 2 1 4 p 2 1 8 1 8 5 解析 选 B 抛物线 C y2 8x 的焦点为 F 2 0 准线为 x 2 K 2 0 设 A x0 y0 过 A 点向准线作垂线 AB 则 B 2 y0 AK AF 又 AF AB x0 2 x0 2 2 由 BK2 AK2 AB2得 y x0 2 2 即 8x0 x0 2 2 解得 A 2 4 2 0 AFK 的面积为 KF y0 4 4 8 1 2 1 2 6 解析 选 B 方法一 设 A x1 y1 B x2 y2 由题意知直线 AB 的 方程为 y x 与 y2 2px 联立得 y2 2py p2 0 y1 y2 2p p 2 由题意知 y1 y2 4 p 2 抛物线的方程为 y2 4x 其准线方程为 x 1 故选 B 方法二 设 A x1 y1 B x2 y2 由题意得 y1 y2 4 y 2px1 y 2px2 2 12 2 两式相减得 kAB 1 p 2 y1 y2 x1 x2 2p y1 y2 p 2 抛物线的方程为 y2 4x 其准线方程为 x 1 方法技巧 弦中点问题的常用结论及求解技巧 1 对于弦中点问题常用 根与系数的关系 或 点差法 求解 同时 要注意使用条件是 0 2 在椭圆 1 a b 0 中 以 P x0 y0 y0 0 为中点的弦所在直线的斜率 k x2 a2 y2 b2 b2x0 a2y0 4 3 在双曲线 1 a 0 b 0 中 以 P x0 y0 y0 0 为中点的弦所在直线的斜率 k x2 a2 y2 b2 b2x0 a2y0 4 在抛物线 y2 2px p 0 中 以 P x0 y0 y0 0 为中点的弦所在直线的斜率 k p y0 7 解析 因为抛物线 y x2的标准方程为 x2 16y 焦点坐标为 0 4 又因为双曲线 1 的上 1 16 y2 3 x2 m 焦点坐标为 0 依题意有 4 解得 m 13 3 m3 m 答案 13 误区警示 本题易出现 y x2的焦点为 0 的错误 原因是对抛物线的标准方程记忆不准确 1 16 1 64 8 解析 设 A x1 y1 B x2 y2 则 y1 y2 4 又 y 8x2即 x2 y 2p p 1 8 1 8 1 16 AB y1 y2 p 65 16 答案 65 16 9 解题指南 先过 A B 两点分别作准线的垂线 再过 B 作 AC 的垂线 垂足为 E 在直角三角形 ABE 中 求得 cos BAE 得出直线 AB 的斜率 进而得到直线 AB 的方程为 y 2 x 1 将其代入抛物 AE AB 1 32 线的方程求得 A B 的坐标 最后利用距离公式求得结果即可 解析 过 A B 两点分别作准线的垂线 再过 B 作 AC 的垂线 垂足为 E 设 BF m 则 BD m FA 2FB 0 0 AC AF 2m 如图 在直角三角形 ABE 中 AE AC BD 2m m m AB 3m cos BAE AE AB 1 3 直线 AB 的斜率为 k tan BAE 2 2 直线 AB 的方程为 y 2 x 1 2 将其代入抛物线的方程化简得 2x2 5x 2 0 x1 2 x2 1 2 A 2 2 B 又 F 1 0 2 1 22 5 则 FA 2 FB 2 6 1 8 f 1 2 2 2 答案 6 10 解析 1 抛物线 y2 2px p 0 的焦点坐标为 0 所以直线 AB 过点 0 斜率为 2 所以 p 2 p 22 直线 AB 的方程是 y 2 x 与抛物线方程 y2 2px 联立 消去 y 得 4x2 5px p2 0 所以 2 p 2 x1 x2 由抛物线的定义得 AB x1 x2 p 9 解得 p 4 因此抛物线方程为 y2 8x 5p 4 2 由 p 4 及 4x2 5px p2 0 得 x2 5x 4 0 解得 x1 1 x2 4 y1 2 y2 4 从而 22 A 1 2 B 4 4 设 C x3 y3 则有OC x3 y3 OA OB 1 2 4 4 2222 1 4 2 4 又因为OC OA OB 所以 x3 y3 1 4 2 4 即 2222 x3 1 4 y3 2 4 22 又因为 y 8x3 即 2 4 2 8 1 4 2 322 即 2 1 2 4 1 解得 0 或 2 变式备选 动点 P 在 x 轴与直线l y 3 之间的区域 含边界 上运动 且到点 F 0 1 和直线l的距离 之和为 4 1 求点 P 的轨迹 C 的方程 2 过点 Q 0 1 作曲线 C 的切线 求所作的切线与曲线 C 所围成区域的面积 解析 1 设 P x y 根据题意 得 3 y 4 x2 y 1 2 化简 得 y x2 y 3 1 4 2 设过 Q 的切线方程为 y kx 1 代入抛物线方程 整理得 x2 4kx 4 0 由 16k2 16 0 解得 k 1 于是所求切线方程为 y x 1 亦可用导数求得切线方程 切点的坐标为 2 1 2 1 由对称性知所求的区域的面积为 S 2 x2 x 1 dx 2 0 1 4 4 3 11 解析 1 因为 MON 120 所以 OM 与 x 轴正半轴成 30 角 所以点 M 的坐标为 代入 2 3 3 2 3 抛物线方程得 2 2p 求得 p 1 2 3 3 2 3 6 所以抛物线 C1的方程为 x2 2y 2 由题意可设l y kx b 即 kx y b 0 因为l与圆 C2相切 所以 b k2 1 4 3 即 9b2 16 k2 1 设直线l与抛物线 C1 x2 2y 即 y x2相切于点 T t t2 因为函数 y x2的导数为 y x 所以 1 2 1 2 1 2 Error Error 由 解得Error Error 或Error Error 所以直线l的方程为 y 2x 4 或 y 2x 4 22 由Error Error 得 x2 2kx 2b 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 2k x1x2 2b 且由 4k2 8b 0 得 k2 2b 0 由 可得Error Error 解得 b 或 b 4 4 3 所以OA OB x1x2 y1y2 x1x2 2 x1x2 b2 2b 即OA OB 的取值范围是 1 4 8 9 8 9 探究创新 证明 1 由 x2 2y 得 y 对其求导 得 y x 设 A x1 B x2 x2 2 x2 1 2 x2 2 2 则直线 PA PB 的斜率分别为 kPA x1 kPB x2 由点斜式得直线 PA 方程为 y x1 x x1 x2 1 2 即 y x1x x2 1 2 同理 直线 PB 方程为 y x2x x2 2 2 由 两式得点 P 坐标为 x1 x2 2 x1x2 2 点 P 在准线 y 上 1 2 即 x1x2 1 x1x2 2 1 2 kPA kPB x1x2 1 PA PB 猜想 1 是正确的 7 2 直线 AB 的斜率 k x2 2 2 x2 1 2 x2 x1 x1 x2 2 由点斜式得直线 AB 方程为 y x x1 x2 1 2 x1 x2 2 将上式变形并注意到 x1x2 1 得 y x x1 x2 2 1 2 显然 直线 AB 恒过焦点 F 0 猜想 2 是正确的 1 2 3 当 AB x 轴时 根据抛物线的对称性知 A 1 B 1 或 A 1 1 2 1 2 1 2 B 1 1 2 这时点 P 坐标为 0 1 2 FA 1 0 1 0 1 FP 0 1 FB 2 FP 1 有 1 下面证FA 2 FP 必成立 FB FA x1 0 x1 x2 1 2 1 2 x2 1 1 2 x2 0 x2 FB x2 2 2 1 2 x2 2 1 2 FA x1x2 x 1 x 1 FB 1 42 12 2 x1x2 x x x x 1 1 42 1 2 22 12 2 x1x2 x1x2 2 2x1x2 x1 x2 2 1 1 4 1 1 2 2 1 x1 x2 2 1 1 4 1 x1 x2 2 1 4 又FP 0 x1 x2 2 x1x2 2 1 2 0 1 x1 x2 2 1 2 1 2 x1 x2 2 2 FP x1 x2 2 1 故FA 2 FP 恒为 1 猜想 3 也是正确的 1 4 FB 变式备选 已知抛物线 y2 4x 过点 M 0 2 的直线l与抛物线交于 A B 两点 且直线l与 x 轴交于点 C 8 1 求证 MA MC MB 成等比数列 2 设MA AC MB BC 试问 是否为定值 若是 求出此定值 若不是 请说明理 由 解析 1 由题意设直线l的方程为 y kx 2 k 0 联立方程可得Error Error 得 k2x2 4k 4 x 4 0 设 A x1 y