2011高考数学一轮复习精讲精练系列 解三角形教案（上册）

用心 爱心 专心 解三角形解三角形 一 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理 余弦定理 并能解决一些简单的三角形度量问题 二 应用 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 正弦定理 余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力 以化简 求值或判断三角形的形 状为主 解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明 第第 1 1 课时课时 三角形中的有关问题三角形中的有关问题 变式训练 1 1 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 a b c 成等比数列 且 2ca 则cosB A 1 4 B 3 4 C 2 4 D 2 3 解 B 提示 利用余弦定理 2 在 ABC 中 由已知条件解三角形 其中有两解的是 A 00 20 45 80bAC B 0 30 28 60acB C 0 14 16 45abA D 0 12 15 120acA 解 C 提示 在斜三角形中 用正弦定理求角时 若已知小角求大角 则有两解 若已知 大角求小角 则只有一解 3 在 ABC 中 已知 5 cos 13 A 3 sin 5 B 则cosC的值为 解三角形 正弦定理 余弦定理 正弦定理的变形 形式 余弦定理的变形 形式 解 三 角 形 应用举例 测量实习 典型例题典型例题 基础过关基础过关 知识网络知识网络 考纲导读考纲导读 高考导航高考导航 用心 爱心 专心 A 16 65 B 56 65 C 16 65 或 56 65 D 16 65 解 A 提示 在 ABC 中 由sinsinABAB 知角 B 为锐角 4 若钝角三角形三边长为1a 2a 3a 则a的取值范围是 解 02a 提示 由 222 1 2 3 1 2 3 aaa aaa 可得 5 在 ABC 中 0 60 1 3 sinsinsin ABC abc AbS ABC A 则 解 2 39 3 提示 由面积公式可求得4c 由余弦定理可求得13a 例 3 已知在 ABC 中 sinA sinB cosB sinC 0 sinB cos2C 0 求角 A B C 解 由 sinA sinB cosB sinC 0 得 sinAsinB sinAcosB sin A B 0 所以 sinB sinA cosA 0 B 0 sinB 0 cosA sinA 由 A 0 知 A 4 从而 B C 4 3 由 sinB cos2C 0 得 sinB cos2 4 3 B 0 cos 2 3 2B cos 2 2 2B cos 2 2B sin2B 得 sinB sin2B 0 亦即 sinB 2sinBcosB 0 由此各 cosB 2 1 B 3 C 12 5 A 4 B 3 C 12 5 变式训练 3 已知 ABC 中 22 sin2A sin2C a b sinB ABC 外接圆半径为2 1 求 C 2 求 ABC 面积的最大值 解 1 由 22 sin2A sin2C a b sinB 得 22 2 2 4R a 2 2 4R c a b R b 2 又 R 2 a2 c2 ab b2 a2 b2 c2 ab cosC ab cba 2 222 2 1 又 0 C 180 C 60 2 S 2 1 absinC 2 1 2 3 ab 23sinAsinB 23sinAsin 120 A 23sinA sin120 cosA cos120 sinA 3sinAcosA 3sin2A 2 3 sin2A 2 3 cos2A 2 3 3sin 2A 30 2 3 用心 爱心 专心 当 2A 120 即 A 60 时 Smax 2 33 第第 2 2 课时课时 应用性问题应用性问题 1 三角形中的有关公式 正弦定理 余弦定理 三角形内角和定理 三角形面积公式等 正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有 测量距离问题 测量高度问题 测量角度 问题 计算面积问题 航海问题 物理问题等 实际问题中有关术语 名称 1 仰角和俯角 在目标视线和水平视线所成的角中 目标视线在水平视线上方的角叫仰 角 在水平视线下方的角叫俯角 2 方位角 指正北方向顺时针转到目标方向线水平角 例 1 1 某人朝正东方走xkm 后 向左转1500 然后朝新方向走3km 结果它离出发点恰好 3km 那么x等于 A 3 B 32 C 3或 32 D 3 解 C 提示 利用余弦定理 2 甲 乙两楼相距20m 从乙楼底望甲楼顶的仰角为 0 60 从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 0 30 则甲 乙两楼的高分别是 A 40 3 20 3 3 mm B 10 3 20 3mm C 10 32 20 3mm D 15 320 3 23 mm 解 A 3 一只汽球在2250m的高空飞行 汽球上的工件人员测得前方一座山顶上 A 点处的俯角 为 0 18 汽球向前飞行了2000m后 又测得 A 点处的俯角为 0 82 则山的高度为 A 1988m B 2096m C 3125m D 2451m 解 B 4 已知轮船 A 和轮船 B 同时离开 C 岛 A 向北偏东 0 25方向 B 向西偏北 0 20方向 若 A 的航行速度为 25 nmi h B 的速度是 A 的 3 5 过三小时后 A B 的距离是 解 90 8 nmi 5 货轮在海上以 40km h 的速度由 B 到 C 航行 小结归纳小结归纳 典型例题典型例题 基础过关基础过关 小结归纳小结归纳 用心 爱心 专心 航向为方位角 0 140NBC A 处有灯塔 其方位角 0 110NBA 在 C 处观测灯塔 A 的 方位角 0 35MCA 由 B 到 C 需航行半小时 则 C 到灯塔 A 的距离是 解 10 62 km 提示 由题意知 0 75BCA 利用余弦定理或解直角三角形可得 变式训练 1 如图 当甲船位于 A 处时获悉 在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇 险等待营救 甲船立即前往救援 同时把消息告知在甲船的南偏西 30 相距 10 海里 C 处的 乙船 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援 角度精确到 1 解 连接 BC 由余弦定理得 BC2 202 102 2 20 10 cos120 700 于是 BC 107 sinsin120 2010 7 ACB sin ACB 7 3 ACB 90 ACB 41 乙船应朝北偏东 71 方向沿直线前往 B 处救援 例 2 在某海滨城市附近海面有一台风 据检测 当前台风中心位于城市 O 如图 的东偏南 2 cos 10 方向 300 km 的海面 P 处 并以 20 km h 的速度向西偏北 45的方向移动 台风侵袭的范围为圆形区域 当前半径为 60 km 并以 10 km h 的速度不断增加 问几小 时后该城市开始受到台风的侵袭 持续多长时间 解 设在时刻 t h 台风中心为 Q 此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t 60 km 若在时刻 t 城市 O 受到台风的侵袭 则6010 tOQ 由余弦定理知OPQPOPQPOPQOQ cos2 222 由于 PO 300 PQ 20t 5 4 45coscos OPQ 故 2222 203009600OQtt 2 1060t 即 2 362880tt 解得 2412 t 答 12 小时后该城市受到台风的侵袭 侵袭的时间将持续 12 小时 变式训练 2 如图所示 海岛 A 周围 38 海里内有暗礁 一艘船向正南方向航行 在 B 处测得 岛 A 在船的南偏东 0 30方向上 船航行 30 海里后 在 C 处测得岛 A 在船的南偏东 0 45方向上 北 20 10 A B C 用心 爱心 专心 如果此船不改变航向 继续向南航行 有无触礁危险 解 由题意得 在 ABC 中 BC 30 0 30B 0 135ACB 所以 0 15A 由正弦定理可知 sinsin BCAC AB 00 30 sin15sin30 AC 所以 0 60cos15AC 于是 A 到 BC 所在直线的距离为 000 sin4560cos15 sin45AC 40 9838 所以船继续向南航行无触礁危险 例 3 如图所示 公园内有一块边长2a的等边 ABC 形状的三角地 现修成草坪 图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分 D 在 AB 上 E 在 AC 上 1 设 AD x xa EDy 求用x表示y的函数关系式 2 如果 DE 是灌溉水管 为节约成本希望它最短 DE 的位置 应该在哪里 如果 DE 是参观线路 则希望它最长 DE 的 位置又在哪里 请给予证明 解 1 在 ABC 中 D 在 AB 上 2axa S ADE 1 2 S ABC 020 11 sin60sin60 24 x AEAB 2 2a AE x 在 ADE 中 由余弦定理得 4 222 2 4 2 a yxa x 4 22 2 4 2 2 a yxaaxa x 2 令 2 xt 则 22 4ata 则 4 2 4 2 a yta t 令 4 222 4 2 4 a f tta taa t 则 42422 222 44 2 2 1 atatata f t ttt 22 2 0taaf t 当时 22 2 4 0taaf t 当时 222222 3 2 2 4 3f aafaafaa 又 2 2 2 taxa 当 即 时 y有最小值2a 此时 DE BC 且2ADa 22 4 2 taaxaay 当 或 即 或 时 有最大值3a 此时 DE 为 ABC 的边 AB 或 AC 的中线上 变式训练 3 水渠道断面为等腰梯形 如图所示 渠道深为h 梯形面积为 S 为了使渠道的 渗水量达到最小 应使梯形两腰及下底之和达到最小 此时下底角 应该是多少 解 设 CDa 则 2 sintan hh CDaCBABa 则 所以 12 2tantan hSh Saaha h 设两腰与下底之和为l 用心 爱心 专心 则 22cos 2 tansinsin ShhS laCBh hh 222 12sin3sincos 222 2sincos2sincos 2222 SS hh hh 31 tan 22 2tan 2 S h h 31 2tan3 22 2tan 2 SS hh hh 当且仅当 31 tan 22 2tan 2 时 上式取等号 即当 3 tan 23 时 上式取等号 00 30 60 2 即 所以下角 0 60 时 梯形两腰及下底之和达到最小 例 4 如图 半圆 O 的直径为 2 A 为直径延长线上的一点 OA 2 B 为半圆上任意一点 以 AB 为一边作等边三角形 ABC 问 点 B 在什么位置时 四边形 OACB 面积最大 解 设AOB 在 AOB 中 由余弦定理得 222 2cosABOAOBOA OBAOB 22 122 1 2 cos54cos 于是 四边形 OACB 的面积为 S S AOB S ABC 2 13 sin 24 OA OBAB 13 2 1 sin 54cos 24 5 35 3 sin3cos2sin 434 因为0 所以当 32 5 6 即 5 6 AOB 时 四边形 OACB 面积最大 变式训练 4 如图所示 某海岛上一观察哨 A 上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东 0 60的 C 处 12 时 20 分测得船在海岛北偏西 0 60的 B 处 12 时 40 分轮船到达位于海岛正西方且距海岛 5 km 的 E 港口 如果轮船始终匀速直线前进 问船速多少 解 轮船从 C 到 B 用时 80 分钟 从 B 到 E 用时 20 分钟 而船始终匀速前进 由此可见 BC 4EB 设 EB x 则 则 BC 4x 由已知得 00 30 150BAEEAC 用心 爱心 专心 在 AEC 中 由正弦定理得 sin sin sinsin ECAEAEEAC C EACCEC 0 5sin1501 52xx 在 ABC 中 由正弦定理得 0 sin120sin BCAB C 0 1 4 sin 2 sin1203 2 x BCC x AB 4 3 3 在 ABE 中 由余弦定理得 2220 2cos30BEABAEAB AE 164 333131 252 5 33233 BE 故 所以船速 31 3 93 1 3 BE v t 答 该船的速度为93 km h 用心 爱心 专心 解三角形章节测试题解三角形章节测试题 一 选择题 1 在ABC 中 6 a 30 B 120 C 则ABC 的面积是 A 9 B 18 C 39 D 318 2 在ABC 中 若 b B a Acossin 则B的值为 A 30 B 45 C 60 D 90 3 在ABC 中 若Babsin2 则这个三角形中角A的值是 A 30或 60 B 45或 60 C 60或 120 D 30或 150 4 在ABC 中 根据下列条件解三角形 其中有两个解的是 A 10 b 45 A 70 C B 60 a 48 c 60 B C 7 a 5 b 80 A D 14 a 16 b 45 A 5 已知三角形的两边长分别为 4 5 它们夹角的余弦是方程0232 2 xx的根 则第三 边长是 A 20 B 21 C 22 D 61 6 在ABC 中 如果bcacbcba3 那么角A等于 A 30 B 60 C 120 D 150 7 在ABC 中 若 60 A 16 b 此三角形面积3220 S 则a的值是 A 620 B 75 C 51 D 49 8 在 ABC 中 AB 3 BC 13 AC 4 则边 AC 上的高为 A 2 23 B 2 33 C 2 3 D 33 9 在ABC 中 若12 cb 45 C 30 B 则 A 2 1 cb B 1 2 cb C 2 2 1 2 2 cb D 2 2 2 2 1 cb 用心 爱心 专心 10 如果满足 60 ABC 12 AC kBC 的 ABC 恰有一个 那么k的取值范围是 A 38 k B 120 k C 12 k D 120 k或38 k 二 填空题 11 在ABC 中 若6 2 1 cba 则最大角的余弦值等于 12 在ABC 中 5 a 105 B 15 C 则此三角形的最大边的长为 13 在ABC 中 已知3 b 33 c 30 B 则 a 14 在ABC 中 12 ba 60 A 45 B 则 a b 三 解答题 15 ABC 中 D 在边 BC 上 且 BD 2 DC 1 B 60o ADC 150o 求 AC 的长及 ABC 的面积 16 在 ABC 中 已知角 A B C 的对边分别为 a b c 且 bcosB ccosC acosA 试判断 ABC 的形状 17 如图 海中有一小岛 周围 3 8 海里内有暗礁 一军舰从 A 地出发由西向东航行 望见 小岛 B 在北偏东 75 航行 8 海里到达 C 处 望见小岛 B 在北端东 60 若此舰不改变舰 行的方向继续前进 问此舰有没有角礁的危险 18 如图 货轮在海上以 35n mile h 的速度沿方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的 用心 爱心 专心 水平角 为 152o的方向航行 为了确定船位 在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 122o 半小 时后 货轮到达 C 点处 观测到灯塔 A 的方位角为 32o 求此时货轮与灯塔之间的距离 19 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内 已知飞机的高度为海拔 10000m 速度 为 180km 千米 h 小时 飞机先看到山顶的俯角为 150 经过 420s 秒 后又看到山顶 的俯角为 450 求山顶的海拔高度 取2 1 4 3 1 7 20 如图所示 a 是海面上一条南北方向的海防警戒线 在 a 上点 A 处有一个水声监测点 另两个监测点 B C 分别在 A 的正东方 20 km 处和 54 km 处 某时刻 监测点 B 收到发自静 止目标 P 的一个声波 8s 后监测点 A 20 s 后监测点 C 相继收到这一信号 在当时气象条件 下 声波在水中的传播速度是 1 5 km s 1 设 A 到 P 的距离为x km 用x表示 B C 到 P 的距离 并求x值 2 求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离 结果精确到 0 01 km A C B 北 北 152o 32 o 122o 图 1 图 2 用心 爱心 专心 解三角形章节测试参考答案解三角形章节测试参考答案 1 C 2 B 3 D 4 D 5 B 6 B7 D 8 B 9 A 10 D 11 4 1 12 6 21565 13 6 或 3 14 24612 b 15 在 ABC 中 BAD 150o 60o 90o AD 2sin60o 3 在 ACD 中 AD2 3 2 12 2 3 1 cos150o 7 AC 7 AB 2cos60o 1 S ABC 2 1 1 3 sin60o 3 4 3 16 bcosB ccosC acosA 由正弦定理得 sinBcosB sinCcosC sinAcosA 即 sin2B sin2C 2sinAcosA 2sin B C cos B C 2sinAcosA A B C sin B C sinA 而 sinA 0 cos B C cosA 即 cos B C cos B C 0 2cosBcosC 0 0 B 0 C B 2 或 C 2 即 ABC 是直角三角形 17 解 过点 B 作 BD AE 交 AE 于 D 由已知 AC 8 ABD 75