2013高考数学 课后作业 2-8 函数与方程、函数模型及其应用VIP

1 2 82 8 函数与方程 函数模型及其应用函数与方程 函数模型及其应用 1 2011 湘潭调研 下列函数图象与x轴均有公共点 其中能用二分法求零点的是 答案 C 解析 能用二分法求零点的函数必须在给定区间 a b 上连续不断 并且有 f a f b 0 A B 选项中不存在f x 0 D 选项中零点两侧函数值同号 故选 C 2 文 若函数f x 在区间 2 2 上的图象是连续不断的曲线 且f x 在 2 2 内有 一个零点 则f 2 f 2 的值 A 大于 0 B 小于 0 C 等于 0 D 不能确定 答案 D 解析 若函数f x 在 2 2 内有且仅有一个零点 且是变号零点 才有 f 2 f 2 0 f 0 f 0 1 3 1 2 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 f f 0 且函数f x 的图象为连续曲线 1 3 1 2 函数f x 在 内有零点 1 3 1 2 点评 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数 指数函数的单调性与零点存在性 定理 难度不大 但有一定的综合性 要多加强这种小题训练 做题不一定多 但却能将应 掌握的知识都训练到 2 3 文 2011 杭州模拟 函数f x x 2 lnx在定义域内零点的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 C 解析 在同一坐标系内作出函数y x 2 与y lnx的图象 lne 1 e 3 由 图象可见两函数图象有两个交点 函数f x 有两个零点 理 2010 吉林市质检 函数f x x sinx在区间 0 2 上的零点个数为 1 2 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 B 解析 在同一坐标系中作出函数y x与y sinx的图象 易知两函数图象在 0 2 内 1 2 有两个交点 4 2011 深圳一检 已知函数f x x 2x g x x lnx h x x 1 的零点分 x 别为x1 x2 x3 则x1 x2 x3的大小关系是 A x1 x2 x3 B x2 x1 x3 C x1 x3 x2 D x3 x2 x1 答案 A 解析 令f x x 2x 0 因为 2x恒大于零 所以要使得x 2x 0 x必须小于零 即x1小于零 令g x x lnx 0 要使得 lnx有意义 则x必须大于零 又x lnx 0 所以 lnx 0 解得 0 x 1 即 0 x21 即x3 1 从 xx 而可知x1 x20 上是单调函数 且f 0 f a 0 则方程f x 0 在区间 a a 内根的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 B 3 解析 f 0 f a 0 设si i 1 2 3 4 表示运矿费用的总和 则只需比较中转站在不同位置 时si i 1 2 3 4 的大小 如果选在P点 s1 6a 2a 2 3a 3 4a 4 35a 如果选在 Q点 s2 6a 2 2a 3a 2 4a 3 32a 如果选在R处 s3 6a 4 2a 3 3a 4a 2 33a 如果选在S处 s4 6a 4 2a 3 3a 2 4a 40a 显然 中转站选在Q点时 中转费用最少 7 定义在 R 上的偶函数y f x 当x 0 时 y f x 单调递增 f 1 f 2 0 则函 数y f x 的图象与x轴的交点个数是 答案 2 解析 由已知可知 在 0 上存在惟一x0 1 2 使f x0 0 又函数f x 为 偶函数 所以存在x 0 2 1 使f x 0 0 且x 0 x0 故函数的图象与x轴 有 2 个交点 8 2010 浙江金华十校联考 有一批材料可以建成 200m 长的围墙 如果用此批材料在一 边靠墙的地方围成一块矩形场地 中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形 如图所示 则 围成场地的最大面积为 围墙的厚度不计 答案 2500m2 解析 设所围场地的长为x 则宽为 其中 0 x 200 场地的面积为 200 x 4 x 2 2500m2 等号当且仅当x 100 时成立 200 x 4 1 4 x 200 x 2 5 9 文 2010 揭阳市模拟 某农场 可以全部种植水果 蔬菜 稻米 甘蔗等农作物 且产品全部供应距农场d km d 200km 的中心城市 其产销资料如表 当距离d达到n km 以上时 四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高 经济效益 市场销售价值 生产 成本 运输成本 则n的值为 作物 项目 水果蔬菜稻米甘蔗 市场价格 元 kg 8321 生产成本 元 kg 3210 4 运输成本 元 kg km 0 060 020 010 01 单位面积相对产量 kg 10154030 答案 50 解析 设单位面积全部种植水果 蔬菜 稻米 甘蔗的经济效益分别为 y1 y2 y3 y4 则y1 50 0 6d y2 15 0 3d y3 40 0 4d y4 18 0 3d 由Error 50 d0 在区间 8 8 上有四个不同的根x1 x2 x3 x4 则 x1 x2 x3 x4 答案 8 解析 解法 1 由已知 定义在 R 上的奇函数f x 图象一定过原点 又f x 在区间 0 2 上为增函数 所以方程f x m m 0 在区间 0 2 上有且只有一个根 不妨设为x1 f x1 f x1 f x1 4 f x1 4 x1 4 2 4 也是一个根 记为x2 x1 x2 4 又 f x 4 f x f x 8 f x f x 是周期为 8 的周期函数 f x1 8 f x1 m 不妨将此根记为x3 且x3 x1 8 8 6 同理可知x4 x2 8 6 4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x1 8 x2 8 8 解法 2 f x 为奇函数 且f x 4 f x f x 4 f x 以 2 x代入x得 f 2 x f 2 x f x 的图象关于直线x 2 对称 又f x 为奇函数 f x 的图象关于直线x 2 也对称 又f x 8 f x 4 4 f x 4 f x f x 的周期为 8 又在 R 上的奇函数f x 有f 0 0 f x 在 0 2 上为增函数 方程f x m 在 8 8 上 6 有四个不同的根x1 x2 x3 x4 必在 2 2 上有一实根 不妨设为x1 m 0 0 x1 2 四根中一对关于直线 x 2 对称一对关于直线x 6 对称 故x1 x2 x3 x4 2 2 2 6 8 10 当前环境问题已成为问题关注的焦点 2009 的哥本哈根世界气候大会召开后 为减 少汽车尾气对城市空气的污染 某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程 原 因是液化气燃烧后不产生二氧化硫 一氧化氮等有害气体 对大气无污染 或者说非常 小 请根据以下数据 当前汽油价格为 2 8 元 升 市内出租车耗油情况是一升汽油大约 能跑 12 千米 当前液化气价格为 3 元 千克 一千克液化气平均可跑 15 16 千米 一 辆出租车日平均行程为 200 千米 1 从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济 即省钱 2 假设出租车改装液化气设备需花费 5000 元 请问多长时间省出的钱等于改装设备花 费的钱 解析 1 设出租车行驶的时间为t天 所耗费的汽油费为W元 耗费的液化气费为 P元 由题意可知 W 2 8 t 0 且t N 200t 12 140t 3 3 P 3 t 0 且t N 200t 16 200t 15 即 37 5t P 40t 又 40t 即W P 140t 3 所以使用液化气比使用汽油省钱 2 设 37 5t 5000 解得t 545 5 140t 3 又t 0 t N t 546 设 40t 5000 解得t 750 140t 3 所以 若改装液化气设备 则当行驶天数t 546 750 时 省出的钱等于改装设备的钱 11 某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台 第二个月销售 200 台 第三个月销 售 400 台 第四个月销售 790 台 则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数 x之间关系的是 A y 100 x B y 50 x2 50 x 100 C y 50 2x D y 100log2x 100 答案 C 7 解析 观察前四个月的数据规律 1 100 2 200 3 400 4 790 接近 4 800 可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律 故选 C 点评 也可以将x 1 2 3 4 依次代入四个选项中 通过对比差异大小来作判断 但 计算量比较大 12 文 2011 舟山月考 函数f x Error 的零点个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 D 解析 令 x x 1 0 得x 0 或 1 满足x 0 当x 0 时 lnx与 2x 6 都是增函数 f x lnx 2x 6 x 0 为增函数 f 1 40 f x 在 0 上有且仅有一个零点 故f x 共有 3 个零点 理 2010 瑞安中学 函数f x 在 2 2 内的图象如图所示 若函数f x 的导函数f x 的图象也是连续不间断的 则导函数f x 在 2 2 内有零点 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 至少 3 个 答案 D 解析 f x 的零点 即f x 的极值点 由图可知f x 在 2 2 内 有一个极大 值和两个极小值 故f x 在 2 2 内有三个零点 故选 D 13 2010 安徽江南十校联考 某流程图如图所示 现输入如下四个函数 则可以输出 的函数是 8 A f x B f x x x 1 2x 1 1 2 C f x D f x lgsinx ex e x ex e x 答案 C 解析 根据程序框图知输出的函数为奇函数 并且此函数存在零点 经验证 f x 不存在零点 f x 不存在零点 f x 的定义域为全体实数 且 x x 1 2x 1 1 2 ex e x ex e x f x f x 故此函数为奇函数 且令f x 0 得x 0 函数 e x ex e x ex ex e x ex e x f x 存在零点 f x lgsinx不具有奇偶性 14 文 2011 山东济宁一模 已知a是函数f x 2x x的零点 若 0 x0 a 则 log 1 2 f x0 的值满足 A f x0 0 B f x0 0 D f x0 的符号不确定 答案 B 解析 9 分别作出y 2x与y x的图象如图 log 1 2 当 0 x0 a时 y 2x的图象在y x图象的下方 log 1 2 所以 f x0 0 理 2010 安徽合肥质检 已知函数f x Error 把函数g x f x x的零点按从 小到大的顺序排列成一个数列 则该数列的通项公式为 A an n N n n 1 2 B an n n 1 n N C an n 1 n N D an 2n 2 n N 答案 C 解析 当x 0 时 f x 2x 1 当 0 x 1 时 f x f x 1 1 2x 1 1 1 2x 1 当 1 x 2 时 f x f x 1 1 f x 2 2 2x 2 1 2 2x 2 1 当x 0 时 g x 的零点为x 0 当 0 x 1 时 g x 的零点为x 1 当 1 x 2 时 g x 的零点为x 2 当n 1 x n n N 时 g x 的零点为n 故a1 0 a2 1 a3 2 an n 1 15 文 某加工厂需定期购买原材料 已知每公斤原材料的价格为 1 5 元 每次购买原 材料需支付运费 600 元 每公斤原材料每天的保管费用为 0 03 元 该厂每天需消耗原材料 400 公斤 每次购买的原材料当天即开始使用 即有 400 公斤不需要保管 1 设该厂每x天购买一次原材料 试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用 y1 元 关于x的函数关系式 2 求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y 元 最少 并求出这个 最小值 解析 1 每次购买原材料后 当天用掉的 400 公斤原材料不需要保管 第二天用掉 10 的 400 公斤原材料需保管 1 天 第三天用掉的 400 公斤原材料需保管 2 天 第四天用掉的 400 公斤原材料需保管 3 天 第x天 也就是下次购买原材料的前一天 用掉最后的 400 公斤原材料需保管x 1 天 每次购买的原材料在x天内的保管费用为 y1 400 0 03 1 2 3 x 1 6x2 6x 2 由 1 可知 购买一次原材料的总的费用为 6x2 6x 600 1 5 400 x 6x2 594x 600 元 购买一次原材料平均每天支付的总费用为 y 6x 594 2 594 714 600 x 600 x 6x 当且仅当 6x 即x 10 时 取得等号 600 x 该厂 10 天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少 最少费用为 714 元 理 2011 日照模拟 张林在李明的农场附近建了一个小型工厂 由于工厂生产须占用 农场的部分资源 因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入 工厂在不 赔付农场的情况下 工厂的年利润x 元 与年产量t 吨 满足函数关系x 2000 若工厂每 t 生产一吨产品必须赔付农场s元 以下称s为赔付价格 1 将工厂的年利润w 元 表示为年产量t 吨 的函数 并求出工厂获得最大利润的年产 量 2 若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y 0 002t2 元 在工厂按照获得最大 利润的产量进行生产的前提下 农场要在索赔中获得最大净收入 应向张林的工厂要求赔付 价格s是多少 解析 1 工厂的实际年利润为 w 2000 st t 0 t w 2000 st s 2 tt 1000 s 10002 s 当t 2时 w取得最大值 1000 s 所以工厂取得最大年利润的年产量t 2 吨 1000 s 2 设农场净收入为v元 则v st 0 002t2 将t 2代入上式 1000 s 得v 10002 s 2 10003 s4 11 又v 10002 s2 8 10003 s5 10002 8000 s3 s5 令v 0 得s 20 当 0 s0 当s 20 时 v 1 设函数f x ax x 4 的零点为m g x logax x 4 的零点为n 则 的取值范围是 1 m 1 n A 3 5 B 1 C 4 D 4 5 答案 B 分析 欲求 的取值范围 很容易联想到基本不等式 于是需探讨m n之间的关 1 m 1 n 系 观察f x 与g x 的表达式 根据函数零点的意义 可以把题目中两个函数的零点和转 化为指数函数y ax和对数函数y logax与直线y x 4 的交点的横坐标 因为指数函数 y ax和对数函数y logax互为反函数 故其图象关于直线y x对称 又因直线y x 4 垂直于直线y x 指数函数y ax和对数函数y logax与直线y x 4 的交点的横坐标之 和是直线y x与y x 4 的交点的横坐标的 2 倍 这样即可建立起m n的数量关系式 进而利用基本不等式求解即可 解析 令ax x 4 0 得ax x 4 令 logax x 4 0 得 logax x 4 在同一坐标系中画出函数y ax y logax y x 4 的图象 结合图形可知 n m为 直线y x与y x 4 的交点的横坐标的 2 倍 由Error 解得x 2 所以n m 4 因为 n m 1 1 4 又n m 故 n m 4 则 1 1 n 1 m m n n m 1 n 1 m 1 n 1 m 2 2011 温州十校模拟 已知函数f x 2mx2 2 4 m x 1 g x mx 若对于任一 实数x f x 与g x 的值至少有一个为正数 则实数m的取值范围是 A 0 2 B 0 8 C 2 8 D 0 答案 B 12 解析 当m 0 时 显然不合题意 当m 0 时 f 0 1 0 若对称轴 0 即 4 m 2m 0 m 4 结论显然成立 若对称轴4 只要 4 4 m 2 8m 4 m 8 m 2 0 即可 即 4 m 8 4 m 2m 综上 0 m 8 选 B 3 2011 江南十校联考 定义域为D的函数f x 同时满足条件 常数a b满足 a0 a 1 那么函数f x 的 零点个数是 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 至少 1 个 答案 D 解析 在同一坐标系中作出函数y ax与y x a的图象 a 1 时 如图 1 0 a0 所以函数f x 在区间 1 2 上为增函数 若存在零点 则 14 Error 解得a 1 b 8 2a 因此能使函数在区间 1 2 上有零点的有 a 1 2 b 10 故b 2 b 4 b 8