2013年高考数学40个考点总动员 考点21 数列的综合应用（教师版） 新课标

用心 爱心 专心1 20132013 年新课标数学年新课标数学 4040 个考点总动员个考点总动员 考点考点 2121 数列的综合应用 教数列的综合应用 教 师版 师版 高考再现 热点一 等差数列与等比数列的综合应用 1 2012 年高考 陕西理 设的公比不为 1 的等比数列 其前项和为 且 n an n S 成等差数列 534 a a a 1 求数列的公比 n a 2 证明 对任意 成等差数列 kN 21 kkk SSS 用心 爱心 专心2 2 2012 年高考 福建文 在等差数列和等比数列中 n a n b 的前 10 项和 114 1 8 n abba 10 55S 求和 n a n b 现分别从和的前 3 项中各随机抽取一项 写出相应的基本事件 并求这两 n a n b 项的值相等的概率 3 2012 年高考 天津文 本题满分 13 分 已知是等差数列 其前项和为 n an n S 是等比数列 且 n b 114444 27 10ab abSb I 求数列与的通项公式 n a n b II 记 证明 1 122 nnn Taba ba b nN 11 8 2 nnn TabnNn 用心 爱心 专心3 4 2012 年高考 湖北文 已知等差数列前三项的和为 前三项的积为 n a3 8 1 求等差数列的通项公式 n a 2 若成等比数列 求数列的前项和 231 a a a n an 用心 爱心 专心4 5 2012 年高考 天津理 已知 是等差数列 其前项和为 是等比数列 n an n S n b 且 1 a 1 2 b 44 27ab 44 10 Sb 求数列 与 的通项公式 n a n b 记 证明 11 21 nnnn Ta baba b nN 12 2 10 nnn Tab nN 方法总结 对等差 等比数列的综合问题的分析 应重点分析等差 等比数列的通项及前n项和 分析等差 等比数列项之间的关系 往往用到转化与化归的思想方法 热点二 数列与其他章节知识的综合应用 1 2012 年高考 四川文 设函数 是公差不为 0 的等差数列 3 3 1f xxx n a 则 127 14f af af a 721 aaa A 0B 7C 14D 21 用心 爱心 专心5 2 2012 年高考 上海文 若 则在 sinsinsin 77 2 7 NnS n n 中 正数的个数是 10021 SSS A 16 B 72 C 86 D 100 3 2012 年高考 湖北文 定义在上的函数 如果对于任意给定 0 0 f x 的等比数列仍是等比数列 则称为 保等比数列函数 现有定义 nn af a f x 在上的如下函数 0 0 2 f xx 2xf x f xx ln f xx 则其中是 保等比数列函数 的的序号为 f x A B C D 答案 C 解析 设数列的公比为 对于 是常数 故 符合条件 n aq 2 2 11 2 nn nn f aa q f aa 对于 不是常数 故 不符合条件 对于 1 1 1 2 2 2 n nn n a aa n a n f a f a 是常数 故 符合条件 对于 1 1 n n n n af a f aa 1n n a q a 用心 爱心 专心6 不是常数 故 不符合条件 由 保等比数列函数 的定义知应选 11 ln ln nn nn f aa f aa C 4 2012 年高考 福建文 数列的通项公式 其前项和为 则 n acos 2 n n an n n S 等于 2012 S A 1006B 2012 C 503D 0 5 2012 年高考 北京文 某棵果树前年得总产n 量与之间的关系如图所示 从目前记录的结 n Sn 果看 前年的年平均产量最高 的值为 mm A 5 B 7C 9D 11 答案 C 解析 由图可知 6 7 8 9 这几年增长最快 超过平 均值 所以应该加入 因此选 C 6 2012 年高考 上海文 已知 各项均 x xf 1 1 为正数的数列满足 若 则的值是 n a1 1 a 2nn afa 20122010 aa 1120 aa 7 2012 年高考 四川文 已知为正实数 为自然数 抛物线与轴正an 2 2 n a yx x 半轴相交于点 设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距 A f nAy 用和表示 an f n 求对所有都有成立的的最小值 n 1 11 f nn f nn a 当时 比较与01a 111 1 2 2 4 2 fffff nfn 用心 爱心 专心7 的大小 并说明理由 1 0 1 1 6 ff nff 用心 爱心 专心8 8 2012 年高考 湖南文 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产 该企业第一年 年初有资金 2000 万元 将其投入生产 到当年年底资金增长了 50 预计以后每年资金 年增长率与第一年的相同 公司要求企业从第一年开始 每年年底上缴资金d万元 并将 剩余资金全部投入下一年生产 设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元 用d表示a1 a2 并写出与an的关系式 1n a 若公司希望经过m m 3 年使企业的剩余资金为 4000 万元 试确定企业每年上缴 资金d的值 用m表示 用心 爱心 专心9 9 2012 年高考 四川理 已知为正实数 为自然数 抛物线与an 2 2 n a yx 轴正半轴相交于点 设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距 xA f nAy 用和表示 an f n 求对所有都有成立的的最小值 n 3 3 1 11 f nn f nn a 当时 比 较与的大小 并说明理由 01a 1 1 2 n k f kfk 27 1 4 0 1 ff n ff A 用心 爱心 专心10 10 2012 年高考 上海理 对于数集 其中 1 21n xxxX n xxx 21 0 定义向量集2 n 若对于任意 存在 使得 则称X XtXstsaaY Ya 1 Ya 2 0 21 aa 具有性质 P 例如具有性质 P 2 1 1 X 1 若x 2 且 求x的值 2 1 1 x 2 若X具有性质 P 求证 1 X 且当xn 1 时 x1 1 用心 爱心 专心11 3 若X具有性质 P 且x1 1 x2 q q为常数 求有穷数列的通项公式 n xxx 21 用心 爱心 专心12 11 2012 年高考 大纲理 函数 定义数列如下 是过两点 2 23f xxx n x 11 2 n xx 的直线与轴交点的横坐标 4 5 nnn PQ xf x n PQx 1 证明 1 23 nn xx 2 求数列的通项公式 n x 用心 爱心 专心13 用心 爱心 专心14 方法总结 1 解决此类问题要抓住一个中心 函数 两个密切联系 一是数列和函数之间的密切联 系 数列的通项公式是数列问题的核心 函数的解析式是研究函数问题的基础 二是方程 不等式与函数的联系 利用它们之间的对应关系进行灵活的处理 2 从近几年新课标高考试题可以看出 不同省市的高考对该内容要求的不尽相同 考生复 习时注意把握 数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题 关键是充分利用 解析几何的有关性质 公式 建立数列的递推关系式 然后借助数列的知识加以解决 考点剖析 一 明确要求 1 熟练把握等差数列与等比数列的基本运算 2 掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想 如 函数与方程 数形结合 分类 用心 爱心 专心15 讨论 等价转化 等 3 注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法 二 命题方向 1 考查数列的函数性及与方程 不等式 解析几何相结合的数列综合题 2 考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力 三 规律总结 基础梳理 1 等比数列与等差数列比较表 不同点相同点 等差数列 1 强调从第二项起每一 项与前项的差 2 a1和d可以为零 3 等差中项唯一 等比数列 1 强调从第二项起每一 项与前项的比 2 a1与 q均不为零 3 等比中项有两个值 1 都强调从第二项起每一项 与前项的关系 2 结果都必须是同一个常数 3 数列都可由a1 d或a1 q 确定 2 解答数列应用题的步骤 1 审题 仔细阅读材料 认真理解题意 2 建模 将已知条件翻译成数学 数列 语言 将实际问题转化成数学问题 弄清该数列 的特征 要求是什么 3 求解 求出该问题的数学解 4 还原 将所求结果还原到原实际问题中 3 数列应用题常见模型 1 等差模型 如果增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 2 等比模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 该模型是等比模型 这个 固定的数就是公比 3 递推数列模型 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定 随项的变化而变化时 应考虑是an与an 1的递推关系 还是Sn与Sn 1之间的递推关系 一条主线 数列的渗透力很强 它和函数 方程 三角形 不等式等知识相互联系 优化组合 无形 中加大了综合的力度 解决此类题目 必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了 解 用心 爱心 专心16 两个提醒 1 对等差 等比数列的概念 性质要有深刻的理解 有些数列题目条件已指明是等差 或 等比 数列 但有的数列并没有指明 可以通过分析 转化为等差数列或等比数列 然后应 用等差 等比数列的相关知识解决问题 2 数列是一种特殊的函数 故数列有着许多函数的性质 等差数列和等比数列是两种最基 本 最常见的数列 它们是研究数列性质的基础 它们与函数 方程 不等式 三角等内 容有着广泛的联系 等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用 随着高考对能 力要求的进一步增加 这一部分内容也将受到越来越多的关注 三种思想 1 数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质 多为单调性 2 数列与不等式结合时需注意放缩 3 数列与解析几何结合时要注意递推思想 基础练习 1 经典习题 某学校高一 高二 高三共计 2 460 名学生 三个年 级的学生人数刚好成等差数列 则该校高二年级的人数是 A 800 B 820 C 840 D 860 2 教材习题改编 有一种细菌和一种病毒 每个细菌 在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个 现在有一个这样的细菌和 100 个这样的 病毒 假设病毒不繁殖 问细菌将病毒全部杀死至少需要 A 6 秒钟 B 7 秒钟 C 8 秒钟 D 9 秒钟 3 经典习题 若a b c成等比数列 则函数y ax2 bx c的图象 与x轴的交点的个数为 A 0 B 1 C 2 D 不能确定 解析 由题意b2 ac ac 0 b2 4ac 3b2 0 答案 A 4 经典习题 5 12 汶川大地震后 山东天成书业公司于 2008 年 8 月向 用心 爱心 专心17 北川中学捐赠 三维设计 系列丛书三万册 计划以后每年比上一年多捐 5 000 册 则截 至到 2012 年 这 5 年共捐 万册 解析 由题意知a1 3 d 0 5 S5 3 5 0 5 20 5 4 2 答案 20 5 经典习题 一个凸多边形的内角成等差数列 其中最小的内角为 公差 2 3 为 则这个多边形的边数为 36 6 人教 A 版教材习题改编 已知等差数列 an 的公差为 2 若a1 a3 a4成等比数列 则 a2的值为 A 4 B 6 C 8 D 10 解析 由题意知 a a1a4 则 a2 2 2 a2 2 a2 4 解得 a2 6 2 3 答案 B 7 经典习题 已知数列 an 是各项均为正数的等比数列 数列 bn 是等差数列 且 a6 b7 则有 A a3 a9 b4 b10 B a3 a9 b4 b10 C a3 a9 b4 b10 D a3 a9与b4 b10的大小关系不确定 8 经典习题 若互不相等的实数a b c成等差数列 c a b成等比数列 且 用心 爱心 专心18 a 3b c 10 则a A 4 B 2 C 2 D 4 名校模拟 一 基础扎实 1 2012 云南省第一次高中毕业生统一检测复习文 已知 n S是等比数列 n a的前n项和 1 a与 3 a的等差中项等于 15 如果 4 120S 那么 20122009 2009 3 SS A 18 B 25 C 32 D 39 2 2012 年云南省第一次统一检测理 在等比数列 n a中 6 a与 7 a的等差中项等于48 6 10987654 128 aaaaaaa 如果设 n a的前n项和为 n S 那么 n S A 45 n B 34 n C 23 n D 12 n 解析 设等比数列 n a的公比为q 由已知得 96 1 128 5 1 6427 1 qqa qa 化简得 用心 爱心 专心19 96 1 2 5 1 66 1 qqa qa 解得 2 1 1 q a 12 n n S 选 D 3 湖北武汉 2012 毕业生五月供题训练 三 文 一个样本容量为 10 的样本数据 它们组 成一个公差不为 O 的等差数列 若 a3 8 且 a1 a3 a7成等比数列 则此样本 n a 的平均数和中位数分别是 A 13 12 B 13 13 C 12 13 D 13 14 4 仙桃市 2012 年五月高考仿真模拟试题文 已知xxf2sin 若等差数列 n a的第 5 项的值为 6 f 则 18899221 aaaaaaaa 答案 4 解析 1 3 cos2 6 2cos2 5 faxxf 422 55829118899221 aaaaaaaaaaaaaa 5 2012 北京海淀区高三年级第二学期期末练习理 本小题满分 13 分 已知公差不为 的等差数列的前项和为 且成等比数列 n an n S 34 6Sa 1413 a a a 求数列的通项公式 n a 求数列的前项和公式 1 n S n 用心 爱心 专心20 6 2012 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试文 本小题满分12 分 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 2 S1 2S2 3S3 成等差数列 I 求数列 an 的通项公式 II 数列是首项为 6 公差为 2 的等差数列 求数列 bn 的前 n 项和 用心 爱心 专心21 7 山西省 2012 年高考考前适应性训练理 本小题满分 12 分 已知数列是公差不为零的等差数列 且 成等比数列 n a2 1 a 2 a 4 a 8 a 1 求数列的通项公式 n a 2 求数列的前项和 3 n a n a n 解析 用心 爱心 专心22 8 江西省2012届十所重点中学第二次联考文 已知等差数列 n a 的前n项和为 n S 公差 50 0 53 SSd且 1341 aaa 成等比数列 求数列 n a 的通项公式 设 n n a b 是首项为1 公比为3的等比数列 求数列 n b 的前n项和 n T 用心 爱心 专心23 9 成都市成都市 20122012 届高中毕业班第二次诊断性检测届高中毕业班第二次诊断性检测文文 本小题满分 12 分 巳知数列 an 的前 n 项和为 且 数列 bn 满足 I 证明 数列 an 为等比数列 II II 求数列 an 和 bn 的通项公式 III 记 数列 cn 的前 n 项和为 Tn 比较 2Tn 与的大 小 10 湖北省武汉市 2012 届高中毕业生五月供题训练 二 理 本小题满分 12 分 在数列中 c 为常数 又成公 n a 1 1 1 1 1 n n n a aa ca 2nNn 125 a a a 用心 爱心 专心24 比不为 l 的等比数列 I 求证 为等差数列 并求 c 的值 1 n a 设 满足 证明 数列 的前 n 项和 n b 111 2 2 3 nnn bbaannN n b 2 2 4 41 n nn S n 11 湖北八校文 2012 届高三第二次联考 本题满分 12 分 已知公差不为 0 的等差数列 n a的前 3 项和 3 S 9 且 125 a a a成等比数列 1 求数列 n a的通项公式和前 n 项和 n S 2 设 n T为数列 1 1 nn a a 的前 n 项和 若 1nn Ta 对一切nN 恒成立 求实数 的 最小值 用心 爱心 专心25 二 能力拔高 1 北京市东城区 2011 2012 学年度第二学期高三综合练习 二 理 定义 00 y xy y x F x 已知数列 n a满足 n F nF an 2 2 n N 若对任意正整 数n 都有 kn aa k N成立 则 k a的值为 A 1 2 B 2 C 8 9 D 9 8 2 湖北襄阳五中2012高三年级第二次适应性考试文 已知函数 1 1 12 xf xf x 0 0 x x 把方程 xxf 的根按从小到大的顺序排列成一个数列 则该数列的通项公 式为 用心 爱心 专心26 A 2 1 nn an B 1 nnan C 1 nan D 22 n n a 3 北京市西城区 2012 届高三下学期二模试卷文 本小题满分 13 分 在等差数列中 n a 27 23aa 38 29aa 22 1 1 8 0 0 xyxy 求数列的通项公式 n a 设数列是首项为 公比为的等比数列 求的前项和 nn ab 1c n bn n S 用心 爱心 专心27 4 2012 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试理 本小题满分 12 分 已知 Sn 是等比数列 an 的前 n 项和 S4 S10 S7 成等差数列 I 求证而 a3 a9 a6 成等差数列 II 若 a1 1 求数列 W a3n 的前 n 项的积 用心 爱心 专心28 5 2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测 二 文 本小题满分 12 分 已知数列 为公差不为零的等差数列 1 各项均为正数的等比数列 的第 n a 1 a n b 1 项 第 3 项 第 5 项分别是 1 a 3 a 21 a I 求数列 与 的通项公式 n a n b 求数列 的前项和 n a n bn 用心 爱心 专心29 6 2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测 二 理 本小题满分 12 分 已知数列 为公差不为零的等差数列 1 各项均为正数的等比数列 的第 1 n a 1 a n b 项 第 3 项 第 5 项分别是 1 a 3 a 21 a I 求数列 与 的通项公式 n a n b 求数列 的前项和 n a n bn 用心 爱心 专心30 7 2012 年高三教学测试 二 理 本题满分 14 分 在等差数列和等比数列中 且 n a n b1 1 a2 1 b0 n b n N 成等差数列 成等比数列 221 bab2 322 aba 求数列 的通项公式 n a n b 设 数列的前和为 若恒成立 求常数 的 n bn ac n cn n Sta nS nS n n n 2 4 2 t 取值范围 用心 爱心 专心31 8 长安一中 高新一中 交大附中 师大附中 西安中学长安一中 高新一中 交大附中 师大附中 西安中学 20122012 届第三次模拟理 届第三次模拟理 本小 题 12 分 已知四个正实数前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 第一个与第 三个的和为 8 第二个与第四个的积为 36 求此四数 若前三数为等差数列的前三项 后三数为等比数列的前三项 令 n a n b 求数列的前项和 nnn cab n cn n T 9 四川成都 2012 高三第二次诊断性检测理 本小题满分 12 分 已知数列 an 和 bn b1 1 且 记 I 证明 数列 an 为等比数列 II 求数列 an 和 bn 的通项公式 III 记 数列 cn 的前 n 项和为 Tn 若 恒成立 求 k 的最大值 解析 用心 爱心 专心32 10 湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理 本小题满分12分 已知等差数列数列 n a 的前n项和为 n S 等比数列 n b 的各项均为正数 公比是q 且满足 112222 3 1 12 abbSSb q 求 n a 与 n b 设 3 32 n a nn cbR A 若 n c 满足 1nn cc 对任意的 nN 恒成立 求 的取值范围 用心 爱心 专心33 11 湖北武汉 2012 毕业生五月供题训练 三 文 奉小题满分 12 分 某同学在暑假的勤工俭学活动中 帮助某公司推销一种产品 每推销 1 件产品可获利 润 4 元 第 1 天他推销了 12 件 之后加强了宣传 从第 2 天起 每天比前一天多推销 3 件 问 I 该同学第 6 天的获利是多少元 该同学参加这次活动的时间至少达到多少天 所获得的总利润才能不少于 1020 元 三 提升自我 1 江西省2012届十所重点中学第二次联考文 九章算术 竹九节 问题 现有一根9节 的竹子 自上而下各节的容积成等差数列 上面4节的容积共3升 下面3节的容积共4升 则第5节的容积为 B A 1升 B 升 C 升 D 升 67 66 47 44 37 33 2 襄阳五中高三年级第一次适应性考试理 已知定义在上的函数是奇函数且满足R xf 用心 爱心 专心34 数列满足 且 其中 2 3 xfxf 3 2 f n a1 1 a21 nn Sa nn 为的前项和 则 n S n an 65 afaf A B C D 3 2 32 3 浙江省2012 届重点中学协作体高三第二学期4 月联考试题理 对正整数n 设曲线 1 xxy n 在2x 处的切线与y轴交点的纵坐标为 n a 则数列 1 n a n 的前n项和的公 式是 4 海淀区高三年级第二学期期 末练习 文 本小题满分 13 分 已知等差数列的前项和为 公差 且成等 n an n S0d 53 46Sa 139 a a a 比数列 求数列的通项公式 n a 用心 爱心 专心35 求数列的前项和公式 1 n S n 5 怀化 2012 高三第三次模拟考试文 本小题满分 13 分 用心 爱心 专心36 6 浙江省2012 届浙南 浙北部分学校高三第二学期3 月联考试题理 本小题满分 14 分 已知函 数 0 2 abxaxxf的导函数 27fxx 数列 n a的前n项和为 n S 点 N nSnP nn 均在函数 xfy 的图象上 求数列 n a的通项公式及 n S的最大值 令2 n a n b 其中 Nn 求 n nb的前n项和 用心 爱心 专心37 7 山东省泰安市 2012 届高三第一次模拟考试文 本小题满分 12 分 已知数列是等差数列 满足数列的前 n 项和是 Tn 且 n a 13 5 42 aa n b 3 nn bT 1 求数列及数列的通项公式 n a n b II 若 试比较与的大小 nnn bac n c 1 n c 用心 爱心 专心38 8 湖北武汉湖北武汉 20122012 适应性训练适应性训练理 本小题满分 12 分 已知前n项和为 n S的等差数列 n a的公差不为零 且 2 3a 又 4 a 5 a 8 a 成等比数列 求数列 n a的通项公式 是否存在正整数对 n k 使得 nn nakS 若存在 求出所有的正整数对 n k 用心 爱心 专心39 若不存在 请说明理由 注 若用枚举法 最后 4 分中 得到