2011高中数学二轮基本内容十大攻略 第06讲 立体几何新题型的解题技巧

1 解答题中综合出现 解答题中综合出现 3 3 多面体及简单多面体的概念 性质多在选择题 填空题出现多面体及简单多面体的概念 性质多在选择题 填空题出现 4 4 有关三棱柱 四棱柱 三棱锥的问题 特别是与球有关的问题将是高考命题的热点有关三棱柱 四棱柱 三棱锥的问题 特别是与球有关的问题将是高考命题的热点 此类题目分值一般在此类题目分值一般在 17 2217 22 分之间 题型一般为分之间 题型一般为 1 1 个选择题 个选择题 1 1 个填空题 个填空题 1 1 个解答题个解答题 考点透视 A A 版版 掌握两条直线所成的角和距离的概念 对于异面直线的距离 只要求 会计算已给出公垂线时的距离 掌握斜线在平面上的射影 直线和平面所成的角 直线和平 面的距离的概念 掌握二面角 二面角的平面角 两个平行平面间的距离的概念 B B 版版 理解空间向量的概念 掌握空间向量的加法 减法和数乘 了解空间向量的基本定理 理解空间向量坐标的概念 掌握空间向量的坐标运算 掌握空间向量的数量积的定义及其性质 掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式 理解直线的方向向量 平面的法向量 向量在平面内的射影等概念 了解多面体 凸多面体 正多面体 棱柱 棱锥 球的概念 掌握棱柱 棱锥 球的性质 掌握球的表面积 体积公式 会画直棱柱 正棱锥的直观图 空间距离和角是高考考查的重点空间距离和角是高考考查的重点 特别是以两点间距离 点到平面的距离 两异面直 线的距离 直线与平面的距离以及两异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角等 作为命题的重点内容 高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查 分为 多个小问题 也可能作为客观题进行单独考查 考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷 的中档题 但也可能在最后一问中设置有难度的问题 不论是求空间距离还是空间角 都要按照 一作 二证 三算 的步骤来完成 即寓 证明于运算之中 正是本专题的一大特色 求解空间距离和角的方法有两种 一是利用传统的几何方法 二是利用空间向量 例题解析 考点考点 1 1 点到平面的距离点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度 其关键在于确定点在平面内的垂 足 当然别忘了转化法与等体积法的应用 典型例题 例 1 20072007 年福建卷理 年福建卷理 如图 正三棱柱的所有棱长都为 为中点 111 ABCABC 2D 1 CC 求证 平面 1 AB 1 ABD 求二面角的大小 1 AADB 求点到平面的距离 C 1 ABD 考查目的 考查目的 本小题主要考查直线与平面的位置关系 二面角的 大小 点到平面的距离等知识 考查空间想象能力 逻辑思维 能力和运算能力 解答过程解答过程 解法一 取中点 连结 BCOAO 为正三角形 ABC AOBC 正三棱柱中 平面平面 111 ABCABC ABC 11 BCC B A B C D 1 A 1 C 1 B A B C D 1 A 1 C 1 B O F 2 平面 AO 11 BCC B 连结 在正方形中 分别为 1 BO 11 BBC COD 的中点 1 BCCC 1 BOBD 1 ABBD 在正方形中 平面 11 ABB A 11 ABAB 1 AB 1 ABD 设与交于点 在平面中 作于 连结 由 得 1 AB 1 ABG 1 ABD 1 GFAD FAF 平面 1 AB 1 ABD 为二面角的平面角 1 AFAD AFG 1 AADB 在中 由等面积法可求得 1 AAD 4 5 5 AF 又 1 1 2 2 AGAB 210 sin 44 5 5 AG AFG AF 所以二面角的大小为 1 AADB 10 arcsin 4 中 1 ABD 1 11 52 26 A BD BDADABS 1 BCD S 在正三棱柱中 到平面的距离为 1 A 11 BCC B3 设点到平面的距离为 C 1 ABD d 由 得 11 ABCDCA BD VV 1 11 3 33 BCDA BD SSd AA 1 32 2 BCD A BD S d S 点到平面的距离为 C 1 ABD 2 2 解法二 取中点 连结 BCOAO 为正三角形 ABC AOBC 在正三棱柱中 平面平面 111 ABCABC ABC 11 BCC B 平面 AD 11 BCC B 取中点 以为原点 的方向为轴的正方向建立空间直角 11 BC 1 OOOB 1 OO OA xyz 坐标系 则 10 0 B 110 D 1 0 2 3 A 0 03 A 1 12 0 B 1 123 AB 210 BD 1 123 BA x z A B C D 1 A 1 C 1 B O F y 3 1 2200AB BD A 11 1430AB BA A 1 ABBD 11 ABBA 平面 1 AB 1 ABD 设平面的法向量为 1 A AD xyz n 113 AD 1 0 2 0 AA AD n 1 AA n 1 0 0 AD AA A A n n 30 20 xyz y 0 3 y xz 令得为平面的一个法向量 1z 3 01 n 1 A AD 由 知平面 1 AB 1 ABD 为平面的法向量 1 AB 1 ABD cos n1 1 1 336 42 2 2 AB AB AB A AA n n 二面角的大小为 1 AADB 6 arccos 4 由 为平面法向量 1 AB 1 ABD 1 2 0 0 123 BCAB 点到平面的距离 C 1 ABD 1 1 22 22 2 BC AB d AB A 小结小结 本例中 采用了两种方法求点到平面的距离 解法二采用了平面向量的计算方法 把不易直接求的B点到平面的距离转化为容易求的点K到平面的距离的计算 1 AMB 1 AMB 方法 这是数学解题中常用的方法 解法一采用了等体积法 这种方法可以避免复杂的几 何作图 显得更简单些 因此可优先考虑使用这一种方法 例例 2 2 2006 年湖南卷 如图 已知两个正四棱锥P ABCD与Q ABCD的高分别为 1 和 2 AB 4 证明PQ 平面ABCD 求异面直线AQ与PB所成的角 求点P到平面QAD的距离 命题目的命题目的 本题主要考查直线与平面的位置关系 异面直线所成的角以及点到平面的距离 基本知识 考查空间想象能力 逻辑思维能力和运算能力 4 过程指引过程指引 方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距 离和角 方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角 的一般方法 解答过程解答过程 方法一 取AD的中点 连结PM QM 因为P ABCD与Q ABCD都是正四棱锥 所以AD PM AD QM 从而AD 平面PQM 又平面PQM 所以PQ AD PQ 同理PQ AB 所以PQ 平面ABCD 连结AC BD设 由PQ 平面ABCD及OBDAC 正四棱锥的性质可知O在PQ上 从而P A Q C四点共面 取OC的中点N 连接PN 因为 所以 2 1 2 1 OC NO OA NO OQ PO OA NO OQ PO 从而AQ PN BPN 或其补角 是异面直线AQ与PB所成的角 因为 2222 2 2 13PBOBOP 222 2 13 PNONOP 10 2 22 2 2 22 ONOBBN 所以 9 3 332 1039 2 cos 222 PNPB BNPNPB BPN 从而异面直线AQ与PB所成的角是 9 3 arccos 连结OM 则 11 2 22 OMABOQ 所以 MQP 45 由 知AD 平面PMQ 所以平面PMQ 平面QAD 过 P 作 PH QM 于 H PH 平面QAD 从而 PH 的长是点P到平面QAD的距离 又 0 3 2 3 sin45 2 PQPOQOPHPQ 即点P到平面QAD的距离是 3 2 2 方法二 连结AC BD 设 OBDAC 由P ABCD与Q ABCD都是正四棱锥 所以PO 平面ABCD QO 平面ABCD Q B C P A D z yx O Q B C P A D O M 5 从而P O Q三点在一条直线上 所以PQ 平面ABCD 由题设知 ABCD是正方形 所以AC BD 由 QO 平面ABCD 故可分别以直线CA DB QP为x轴 y轴 z轴建立空间 直角坐标系 如图 由题条件 相关各点的坐标分别是P 0 0 1 A 0 0 22 Q 0 0 2 B 0 0 22 所以 2 0 22 AQ 0 2 2 1 PB 于是 9 3 cos PBAQ 由 点D的坐标是 0 0 22 0 22 22 AD 设是平面QAD的一个法向量 由 0 0 3 PQ zyxn 得 0 0 ADn AQn 0 02 yx zx 取x 1 得 2 1 1 n 所以点P到平面QAD的距离 3 2 2 PQ n d n 考点考点 2 2 异面直线的距离异面直线的距离 此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法 考纲只要求掌握已给出公垂线段 的异面直线的距离 典型例题 例例 3 3 已知三棱锥 底面是边长为的正三角形 棱的长为 2 且垂直于ABCS 24SC 底面 分别为的中点 求CD与SE间的距离 DE ABBC 思路启迪思路启迪 由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找 所以设法 将所求异面直线的距离 转化成求直线与平面的距离 再进一步 转化成求点到平面的距离 解答过程解答过程 如图所示 取BD的中点F 连结EF SF CF 为的中位线 面 EF BCD EF CDCD SEF 到平面的距离即为两异面直线间的距离 CD SEF 又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面 CDSEF 的距离 设其为h 由题意知 D E F分别是24 BC 6 AB BC BD的中点 2 2 6 2 1 62 SCDFCDEFCD 3 32 226 2 1 3 1 2 1 3 1 SCDFEFV CEFS 在 Rt中 SCE 32 22 CESCSE 在 Rt中 SCF 302244 22 CFSCSF 又3 6 SEF SEF 由于 即 解得hSVV SEFCEFSSEFC 3 1 3 32 3 3 1 h 3 32 h 故CD与SE间的距离为 3 32 小结小结 通过本例我们可以看到求空间距离的过程 就是一个不断转化的过程 考点考点 3 3 直线到平面的距离直线到平面的距离 此类题目再加上平行平面间的距离 主要考查点面 线面 面面距离间的转化 典型例题 例例 4 4 如图 在棱长为 2 的正方体中 G是的中点 求BD到平面的距离 1 AC 1 AA 11D GB 思路启迪思路启迪 把线面距离转化为点面距离 再用点到平面距离 的方法求解 解答过程解答过程 解析一 平面 BD 11D GB 上任意一点到平面的距离皆为所求 以下求BD 11D GB 点O平面的距离 11D GB 平面 1111 CADB AADB 111 11D B 11ACC A 又平面 11D B 11D GB 平面 两个平面的交线是 1111 DGBACCA GO1 作于 H 则有平面 即OH是O点到平面的距离 GOOH 1 OH 11D GB 11D GB 在中 OGO1 222 2 1 2 1 1 1 AOOOS OGO BA C D O G H 1 A 1 C 1 D 1 B 1 O 7 又 3 62 23 2 1 2 1 1 1 OHOHGOOHS OGO 即BD到平面的距离等于 11D GB 3 62 解析二 平面 BD 11D GB 上任意一点到平面的距离皆为所求 以下求点B平面的距离 BD 11D GB 11D GB 设点B到平面的距离为h 将它视为三棱锥的高 则 11D GB 11D GBB 由于6322 2 1 111111 DGBGBBDDGBB SVV 3 4 222 2 1 3 1 11 GBBD V 3 62 6 4 h 即BD到平面的距离等于 11D GB 3 62 小结小结 当直线与平面平行时 直线上的每一点到平面的距离都相等 都是线面距离 所以求 线面距离关键是选准恰当的点 转化为点面距离 本例解析一是根据选出的点直接作出距离 解析二是等体积法求出点面距离 考点考点 4 4 异面直线所成的角异面直线所成的角 此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角 然后通过解三角形来求角 异面直线所 成的角是高考考查的重点 典型例题 例例 5 5 20072007 年北京卷文 年北京卷文 如图 在中 斜边 可以通RtAOB 6 OAB 4AB RtAOC 过以直线为轴旋转得到 且二面角的直二RtAOB AOBAOC 面角 是的中点 DAB I 求证 平面平面 COD AOB II 求异面直线与所成角的大小 AOCD 思路启迪思路启迪 II 的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内 解答过程解答过程 解法 1 I 由题意 COAO BOAO 是二面角是直二面角 BOC BAOC 又 COBO AOBOO 平面 CO AOB 又平面 CO COD 平面平面 COD AOB II 作 垂足为 连结 如图 则 DEOB ECEDEAO 是异面直线与所成的角 CDE AOCD O C A D B E O C A D B x y z 8 在中 RtCOE 2COBO 1 1 2 OEBO 22 5CECOOE 又 1 3 2 DEAO 在中 RtCDE 515 tan 33 CE CDE DE 异面直线与所成角的大小为 AOCD 15 arctan 3 解法 2 I 同解法 1 II 建立空间直角坐标系 如图 则 Oxyz 0 0 0 O 0 0 2 3 A 2 0 0 C 013 D 0 0 2 3 OA 213 CD cos OA CD OACD OA CD A A 66 42 3 2 2 A 异面直线与所成角的大小为 AOCD 6 arccos 4 小结小结 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形 作法有 平移法 在异面直 线中的一条直线上选择 特殊点 作另一条直线的平行线 如解析一 或利用中位线 如 解析二 补形法 把空间图形补成熟悉的几何体 其目的在于容易发现两条异面直线间 的关系 如解析三 一般来说 平移法是最常用的 应作为求异面直线所成的角的首选方法 同 时要特别注意异面直线所成的角的范围 2 0 例例 6 6 2006 年广东卷 如图所示 AF DE分别是 O O1的直径 AD与两圆所在的平面 均垂直 AD 8 BC是 O 的直径 AB AC 6 OE AD 求二面角B AD F的大小 求直线BD与EF所成的角 命题目的命题目的 本题主要考查二面角以及异面直线所成的角等基 本知识 考查空间想象能力 逻辑思维能力和运算能力 过程指引过程指引 关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角并 掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法 解答过程解答过程 AD与两圆所在的平面均垂直 AD AB AD AF 故 BAF是二面角B AD F的平面角 是矩形的直径 是圆 ABFCOBCAF 是正方形 又ABFCACAB 6 由于ABFC是正方形 所以 BAF 450 即二面角 B AD F 的大小为 450 9 以 O 为原点 BC AF OE 所在直线为坐标轴 建立空间直角坐标系 如图所示 则 O 0 0 0 A 0 0 B 0 0 D 0 8 E 0 0 8 23 2323 F 0 0 23 所以 8 23 0 8 23 23 FEBD 0 186482 cos 10 10082 BD FE BD FE BDFE 设异面直线BD与EF所成角为 则 82 coscos 10 BD FE 故直线BD与EF所成的角为 10 82 arccos 考点考点 5 5 直线和平面所成的角直线和平面所成的角 此类题主要考查直线与平面所成的角的作法 证明以及计算 线面角在空间角中占有重要地位 是高考的常考内容 典型例题 例例 7 7 20072007 年全国卷年全国卷 理 理 四棱锥中 底面为平行四边形 侧面底面 已知 SABCD ABCDSBC ABCD45ABC 2AB 2 2BC 3SASB 证明 SABC 求直线与平面所成角的大小 SDSAB 考查目的 考查目的 本小题主要考查直线与直线 直线与平面的位置关系 二面角的大小 点到平面的距离等知识 考查空间想象能力 逻辑思维能力和运算能力 解答过程 解答过程 解法一 作 垂足为 连结 由侧面底面 SOBC OAOSBC ABCD 得底面 SO ABCD 因为 所以 SASB AOBO 又 故为等腰直角三角形 45ABC AOB AOBO 由三垂线定理 得 SABC 由 知 依题设 SABC ADBC 故 由 得SAAD 2 2ADBC 3SA 2AO 1SO 11SD 的面积 SAB 2 2 1 11 2 22 SABSAAB A D B C A S O D B C A S 10 连结 得的面积DBDAB 2 1 sin1352 2 SAB AD A 设到平面的距离为 由于 得DSABh D SABSABD VV 解得 12 11 33 h SSO S AA 2h 设与平面所成角为 则 SDSAB 222 sin 1111 h SD 所以 直线与平面所成的我为 SDSBC 22 arcsin 11 解法二 作 垂足为 连结 由侧面底面 得平面SOBC OAOSBC ABCDSO ABCD 因为 所以 SASB AOBO 又 为等腰直角三角形 45ABC AOB AOOB 如图 以为坐标原点 为轴正向 建立直角坐标系 OOAxOxyz 2 0 0 A 02 0 B 02 0 C 0 01 S 2 01 SA 所以 0 2 2 0 CB 0SA CB ASABC 取中点 ABE 22 0 22 E 连结 取中点 连结 SESEGOG 22 1 442 G 22 1 442 OG 22 1 22 SE 22 0 AB 与平面内两条相交直线 垂直 0SE OG A0AB OG AOGSABSEAB 所以平面 与的夹角记为 与平面所成的角记为 则OG SABOGDS SDSAB 与互余 2 2 2 0 D 2 2 21 DS 22 cos 11 OG DS OG DS A A 22 sin 11 所以 直线与平面所成的角为 SDSAB 22 arcsin 11 D B C A S O E G y x z 11 小结小结 求直线与平面所成的角时 应注意的问题是 1 先判断直线和平面的位置关系 2 当直线和平面斜交时 常用以下步骤 构造 作出斜线与射影所成的角 证明 论证作出的角为所求的角 计算 常用解三角形的方法求角 结论 点明直 线和平面所成的角的值 考点考点 6 6 二面角二面角 此类题主要是如何确定二面角的平面角 并将二面角的平面角转化为线线角放到一个 合适的三角形中进行求解 二面角是高考的热点 应重视 典型例题 例例 8 8 20072007 年湖南卷文 年湖南卷文 如图 已知直二面角 PQ APQ B C CACB 直线和平面所成的角为 45BAP CA 30 I 证明 BCPQ A B C Q P II 求二面角的大小 BACP 命题目的命题目的 本题主要考查直线与平面垂直 二面角等基本知识 考查空间想象能力 逻辑 思维能力和运算能力 过程指引过程指引 I 在平面内过点作于点 连结 CCOPQ OOB 因为 所以 PQ CO 又因为 所以 CACB OAOB 而 所以 45BAO 45ABO 90AOB 从而 又 BOPQ COPQ 所以平面 因为平面 故 PQ OBCBC OBCPQBC II 解法一 由 I 知 又 BOPQ PQ 所以 BO BO 过点作于点 连结 由三垂线定理知 OOHAC HBHBHAC 故是二面角的平面角 BHO BACP 由 I 知 所以是和平面所成的角 则 CO CAO CA 30CAO A B C Q P O H 12 不妨设 则 2AC 3AO 3 sin30 2 OHAO 在中 所以 RtOAB 45ABOBAO 3BOAO 于是在中 RtBOH 3 tan2 3 2 BO BHO OH 故二面角的大小为 BACP arctan2 解法二 由 I 知 故可以为原点 分别以直OCOA OCOB OAOB O 线为轴 轴 轴建立空间直角坐标系 如图 OBOAOC xyz 因为 所以是和平面所成的角 则 COa CAO CA 30CAO 不妨设 则 2AC 3AO 1CO 在中 RtOAB 45ABOBAO 所以 3BOAO 则相关各点的坐标分别是 0 0 0 O 3 0 0 B 03 0 A 0 01 C 所以 33 0 AB 031 AC 设是平面的一个法向量 由得 1 n xyz ABC 1 1 0 0 n AB n AC A A 330 30 xy yz 取 得 1x 1 113 n 易知是平面的一个法向量 2 10 0 n 设二面角的平面角为 由图可知 BACP 12 n n 所以 12 12 15 cos 5 5 1 n n nn A 故二面角的大小为 BACP 5 arccos 5 小结小结 本题是一个无棱二面角的求解问题 解法一是确定二面角的棱 进而找出二面角的平 面角 无棱二面角棱的确定有以下三种途径 由二面角两个面内的两条相交直线确定棱 由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱 补形构造几何体发现棱 解法二则是利 A B C Q P O x y z 13 用平面向量计算的方法 这也是解决无棱二面角的一种常用方法 即当二面角的平面角不 易作出时 可由平面向量计算的方法求出二面角的大小 例例 9 9 2006 年重庆卷 如图 在四棱锥P ABCD中 PA底面ABCD DAB为直角 AB CD AD CD 2AB E F分别为PC CD的中点 试证 CD平面 BEF 设PA k AB 且二面角E BD C的平面角大于 求k的取值范围 30 命题目的命题目的 本题主要考查直线与平面垂直 二面角等基 本知识 考查空间想象能力 逻辑思维能力和运算能力 过程指引过程指引 方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角 方法二关键是掌握利用 空间向量求空间距离和角的一般方法 解答过程解答过程 解法一 证 由已知DFAB 且DAD为直角 故 ABFD 是矩形 从而CDBF 又PA底面 ABCD CDAD 故由三垂线定理知CDPD 在 PDC中 E F分别 PC CD的中点 故EF PD 从而CDEF 由此得CD面BEF 连结AC交BF于G 易知G为AC的中点 连接EG 则在 PAC中易知EG PA 又因 PA底面ABCD 故EG底面ABCD 在底面ABCD中 过 G作GHBD 垂足为H 连接EH 由三垂线定理知EHBD 从 而EHG为二面角E BD C的平面角 设AB a 则在 PAC中 有 EG PA ka 2 1 2 1 以下计算GH 考察底面的平面图 连结GD 因S GBD BD GH GB DF 2 1 2 1 故GH BD DFGB 在 ABD中 因为AB a AD 2a 得BD a 5 而GB FB AD a DF AB 从而得 2 1 2 1 GH BD ABGB a aa 5 5 5 a 因此 tan EHG GH EG 2 5 5 5 2 1 k a ka 14 由k 0 知是锐角 故要使 必须EHG EHG 30 tan k 2 5 30 3 3 解之得 k 的取值范围为k 15 152 解法二 如图 以A为原点 AB所在直线为x轴 AD所在直线为y轴 AP所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 设AB a 则易知点A B C D F的坐标分别为 A 0 0 0 B a 0 0 C 2a 2a 0 D 0 2a 0 F a 2a 0 从而 2a 0 0 0 2a 0 DCBF 0 故 DCBFDC BF 设PA b 则P 0 0 b 而E为PC中点 故 E 2 b aa 从而 0 故 BE 2 0 b aDCBEDC BE 由此得CD面BEF 设E在xOy平面上的投影为G 过G作GHBD垂足为H 由三垂线定理知EHBD 从而EHG 为二面角E BD C的平面角 由PA k AB得P 0 0 ka E G a a 0 2 ka aa 设H x y 0 则 x a y a 0 a 2a 0 GHBD 由 0 得 a x a 2a y a 0 即GHBD x 2y a 又因 x a y 0 且与的方向相同 故 即BHBHBD a ax a y 2 2x y 2a 由 解得x a y a 从而 a 5 3 5 4 GH 0 5 1 5 2 aaGH 5 5 tan EHG EG GH a ka 5 5 2 k 2 5 15 由k 0 知 EHG是锐角 由EHG 得 tan EHG tan即 30 30 k 2 5 3 3 故k的取值范围为k 15 152 考点考点 7 7 利用空间向量求空间距离和角利用空间向量求空间距离和角 众所周知 利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定 当掌握了用向量的方法解 决立体几何问题这套强有力的工具时 不仅会降低题目的难度 而且使得作题具有很强的 操作性 典型例题 例例 1010 20072007 年江苏卷 年江苏卷 如图 已知 1111 ABCDABC D 是棱长为3的正方体 点E在 1 AA上 点F在 1 CC上 且 1 1AEFC 1 求证 1 EBFD 四点共面 2 若点G在BC上 2 3 BG 点M在 1 BB上 GMBF 垂足为H 求证 EM 平面 11 BCC B 3 用 表示截面 1 EBFD和侧面 11 BCC B所成的锐二面角的大小 求tan 命题意图 本小题主要考查平面的基本性质 线线平行 线面垂直 二面角等基础知识和命题意图 本小题主要考查平面的基本性质 线线平行 线面垂直 二面角等基础知识和 基本运算 考查空间想象能力 逻辑推理能力和运算能力 基本运算 考查空间想象能力 逻辑推理能力和运算能力 过程指引过程指引 解法一 1 如图 在 1 DD上取点N 使1DN 连结EN CN 则1AEDN 1 2CFND 因为AEDN 1 NDCF 所以四边形ADNE 1 CFD N都为平行四边形 从而ENAD 1 FDCN 又因为AD BC 所以ENBC 故四边形BCNE是平行四边形 由此推知CNBE 从而 1 FDBE 因此 1 EBFD 四点共面 2 如图 GMBF 又BMBC 所以BGMCFB CB A G H M D EF 1 B 1 A 1 D 1 C CB A G H M D EF 1 B 1 A 1 D 1 C N 16 tantanBMBGBGMBGCFB AA 23 1 32 BC BG CF A 因为AE BM 所以ABME为平行四边形 从而ABEM 又AB 平面 11 BCC B 所以EM 平面 11 BCC B 3 如图 连结EH 因为MHBF EMBF 所以BF 平面EMH 得EHBF 于是EHM 是所求的二面角的平面角 即EHM 因为MBHCFB 所以sinsinMHBMMBHBMCFB AA 2222 33 1 13 32 BC BM BCCF A tan 13 EM MH 解法二 1 建立如图所示的坐标系 则 3 01 BE 0 3 2 BF 1 333 BD 所以 1 BDBEBF 故 1 BD BE BF 共面 又它们有公共点B 所以 1 EBFD 四点共面 2 如图 设 0 0 Mz 则 2 0 3 GMz 而 0 3 2 BF 由题设得 2 320 3 GM BFz AAA 得1z 因为 0 01 M 3 01 E 有 3 0 0 ME 又 1 0 0 3 BB 0 3 0 BC 所以 1 0ME BB A 0ME BC A 从而 1 MEBB MEBC 故ME 平面 11 BCC B 3 设向量 3 BPxy 截面 1 EBFD 于是BPBE BPBF 而 3 01 BE 0 3 2 BF 得330BP BEx A 360BP BFy A 解得 1x 2y 所以 12 3 BP 又 3 0 0 BA 平面 11 BCC B 所以BP 和BA 的夹角等于 或 为锐角 于是 1 cos 14 BP BA BP BA A A 故tan13 CB A G H M D EF 1 B 1 A 1 D 1 C z y x 17 小结小结 向量法求二面角的大小关键是确定两个平面的法向量的坐标 再用公式求夹角 点 面距离一般转化为在面BDF的法向量上的投影的绝对值 ABn 例例 1111 2006 年全国 卷 如图 l1 l2是互相垂直的两条异面直线 MN是它们的公垂线段 点 A B在l1上 C在l2上 AM MB MN I 证明ACNB II 若 求NB与平面ABC所成角的余弦值 60ACB 命题目的命题目的 本题主要考查异面直线垂直 直线与平面所成角的有关 知识 考查空间想象能力 逻辑思维能力和运算能力 过程指引过程指引 方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间角 方法二关键是掌握利用空间向量求空间角的一般方法 解答过程解答过程 解法一 由已知l2 MN l2 l1 MN l1 M 可得 l2 平面ABN 由已知MN l1 AM MB MN 可知AN NB 且AN NB 又AN为AC在平面ABN内的射影 AC NB Rt CAN Rt CNB AC BC 又已知 ACB 60 因此 ABC为正三角形 Rt ANB Rt CNB NC NA NB 因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心 连结BH NBH为NB与平面ABC所成的角 在 Rt NHB中 cos NBH HB NB 3 3 AB 2 2 AB 6 3 解法二 如图 建立空间直角坐标系M xyz 令 MN 1 则有A 1 0 0 B 1 0 0 N 0 1 0 MN是 l1 l2的公垂线 l1 l2 l2 平面ABN l2平行于z轴 故可设C 0 1 m 于是 1 1 m 1 1 0 1 1 0 0 AC NB 1 1 m 1 1 m 又已知 ACB 60 ABC为正三角形 AC BC AB 2 在 Rt CNB中 NB 可得NC 故C 0 1 222 连结MC 作NH MC于H 设H 0 0 2 0 1 0 1 22 N M H C B A N M H x C B o z y N M C B A 18 1 2 0 1 3 H 0 可得 0 连结BH 则 1 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 0 0 又MC BH H HN 平面ABC NBH为NB与平面ABC所成的 2 9 2 9 角 又 1 1 0 cos NBH 4 3 2 3 2 6 3 考点考点 8 8 简单多面体的有关概念及应用 主要考查多面体的概念 性质 主要以填空 选择简单多面体的有关概念及应用 主要考查多面体的概念 性质 主要以填空 选择 题为主 通常结合多面体的定义 性质进行判断题为主 通常结合多面体的定义 性质进行判断 典型例题 例 12 如图 1 将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形 再沿 虚线折起 做成一个无盖的正六棱柱容器 当这个正六棱柱容器的底面边长为 时容积最大 思路启迪 设四边形一边AD 然后写出六棱柱体积 利用均值不等式 求出体积取最值时 AD长度即可 解答过程 如图 2 设AD a 易知 ABC 60 且 ABD 30 AB a 3 BD 2a正六棱柱体积为V V aa360sin21 2 1 6 2 aa 2 21 2 9 aaa4 21 21 8 9 3 3 2 8 9 当且仅当 1 2a 4a a 时 体积最大 6 1 此时底面边长为 1 2a 1 2 6 1 3 2 答案为 6 1 例 13 如图左 在正三角形ABC中 D E F分别为各边的中点 G H I J分别为 AF AD BE DE的中点 将 ABC沿DE EF DF折成三棱锥后 GH与IJ所成角的度数为 B AC DE FG H I J A B C D E F GH I J 19 A 90 B 60 C 45 D 0 思路启迪 画出折叠后的图形 可看出GH IJ是一对异面直线 即求异面直线所成角 过点D分别作IJ和GH的平行线 即AD与DF 所以 ADF即为所求 因此GH与IJ所成角为 60 答案 B 例 14 长方体ABCD A1B1C1D1中 设对角线D1B与自D1出发的三条棱分别成 角 求证 cos2 cos2 cos2 1 设D1B与自D1出发的三个面成 角 求证 cos2 cos2 cos2 2 思路启迪 因为三个角有一个公共边即D1B 在构造 的直角三角形中 角的邻边分别是从长方体一个顶点出 发的三条棱 在解题中注意使用对角线长与棱长的关系 利用长方体性质 先找出 然后利用各边 所构成的直角三角形来解 解答过程 连接BC1 设 BD1C1 长方体三条棱 长分别为a b c 设D1B l 则 cos2 同理cos2 cos2 2 2 l a 2 2 l b 2 2 l c cos2 cos2 cos2 1 2 222 l c ba 连接D1C BC 平面DCC1D1 BD1C即是D1B与平面DCC1D1所成的角 不妨设 BD1C 则 cos2 2 22 l ba 同理 cos2 cos2 2 22 l cb 2 22 l ac 又 2 a2 b2 c2 l cos2 cos2 cos2 2 2 222 2 l c b a 考点考点 9 9 简单多面体的侧面积及体积和球的计算简单多面体的侧面积及体积和球的计算 棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积 棱柱侧面积转化成求三角形的面积 直棱柱体积V等于底面积与高的乘积 AB C A D A1 B1 C1 D1 20 棱锥体积V等于Sh其中S是底面积 h是棱锥的高 3 1 典型例题 例 15 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 AB a BC CA AA1 a 2 A1在底面 ABC上的射影O在AC上 求AB与侧面AC1所成角 若O恰好是AC的中点 求此三棱柱的侧面积 思路启迪 找出AB与侧面AC1所成角即是 CAB 三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和 侧面BCC1B1是正 方形 侧面ACC1A1和侧面ABB1A1是平行四边形 分别求其 面积即可 解答过程 点A1在底面ABC的射影在AC上 平面ACC1A1 平面ABC 在 ABC中 由BC AC a AB a 2 ACB 90 BC AC BC 平面ACC1A1 即 CAB为AB与侧面AC1所成的角在Rt ABC中 CAB 45 AB与侧面AC1所成角是 45 O是AC中点 在Rt AA1O中 AA1 a AO a 2 1 AO1 a 2 3 侧面ACC1A1面积S1 2 1 2 3 a AOAC 又BC 平面ACC1A1 BC CC1 又BB1 BC a 侧面BCC1B1是正方形 面积S2 a2 过O作OD AB于D A1O 平面ABC A1D AB 在Rt AOD中 AO a CAD 45 2 1 OD a 4 2 在Rt A1OD中 A1D 222 1 2 2 3 4 2 aaO AODa 8 7 侧面ABB1A1面积S3 aaD AAB 8 7 2 1 2 2 7 a A1 B1 C1 A B C D O 21 三棱柱侧面积 S S1 S2 S3 2 732 2 1 a 例 16 等边三角形ABC的边长为 4 M N分别为 AB AC的中点 沿MN将 AMN折起 使得面AMN与面 MNCB所成的二面角为 30 则四棱锥A MNCB的体积 为 A B C 2 3 2 3 3 D 3 思路启迪 先找出二面角平面角 即 AKL 再在 AKL中求出棱锥的高h 再利用V Sh 即可 3 1 解答过程 在平面图中 过A作AL BC 交MN于 K 交BC于L 则AK MN KL MN AKL 30 则四棱锥A MNCB的高h 30sinAK 2 3 KL 2 42 SMNCB 33 2 3 33 3 1 V MNCBA 2 3 答案 A 例 17 如图 四棱锥P ABCD中 底面是一个矩形 AB 3 AD 1 又 PA AB PA 4 PAD 60 求四棱锥的体积 求二面角P BC D的大小 思路启迪 找棱锥高线是关键 由题中条件可设 PAD的 高PH即是棱锥的高 找出二面角平面角 PEH 在Rt PHE中即可求出此角 解答过程 PA AB AD AB AB 面PAD 又AB面ABCD 面PAD 面ABCD 在面PAD内 作PH AD交AD延长线于H 则PH 面ABCD 即PH就是四棱锥的高 又 PAD 60 PH 32 2 3 460sin PA A BC MN K L A B C M N K L P A H E D B C 22 323213 3 1 S 3 1 V ABCDABCDP PH 过H作HE BC交BC延长线于E 连接PE 则HE AB 3 PH 面ABCD PE BC PEH为二面角P BC D的平面角 tan PEH 3 32 HE PH 即二面角的大小为 arctan 3 32 例 18 2006 年全国卷 已知圆O1是半径为R的球O的一 个小圆 且圆O1的面积与球O的表面积的比值为 则线段 9 2 OO1与R的比值为 命题目的 球截面的性质 球表面积公式 过程指引 依面积之比可求得 再在Rt OO1A中即得 R r 解答过程 设小圆半径为r 球半径为R 则 9 2 4 2 2 R r 9 2 4 2 2 R r 3 22 R r cos OAO1 3 22 R r 而 3 1 9 8 1sin 1 R OO 故填 3 1 专题训练与高考预测 一 选择题 1 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 已知AB 1 D在BB1上 且BD 1 若AD与侧面AA1CC1所成的角为 则的值为 A B 3 4 C D 4 10 arctan 4 6 arcsin 2 直线a与平面成角 a是平面的斜线 b是平面 内与a异面的任意直线 则a与b所成的角 C B A 1 A 1 B 1 C D A BC D E A1 B1 C1 R rA O1 O 23 A 最小值 最大值 B 最小值 最大值 2 C 最小值 无最大值 D 无最小值 最大值 4 3 在一个的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成角 则此直线与二面角 45 45 的另一平面所成的角为 A B C D 30 45 60 90 4 如图 直平行六面体ABCD A1B1C1D1的棱长均为 2 则对角线A1C与侧面DCC1D1所成 60BAD 的角的正弦值为 A B 2 1 2 3 C D 2 2 4 3 5 已知在中 AB 9 AC 15 它所在平面外一点P到三顶ABC 120BACABC 点的距离都是 14 那么点P到平面的距离为 ABC A 13 B 11 C 9 D 7 6 如图 在棱长为 3 的正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是 棱A1B1 A1D1的中点 则点B到平面AMN的距离是 A B 2 9 3 C D 2 5 56 7 将 边长MN a的菱形MNPQ沿对角线NQ折 60QMN 成的二面角 则MP与NQ间的距离等于 60 A B C D a 2 3 a 4 3 a 4 6 a 4 3 8 二面角的平面角为 在内 于B AB 2 在内 于 l 120 lAB lCD D CD 3 BD 1 M是棱 上的一个动点 则AM CM的最小值为 l A B C D 52222662 9 空间四点A B C D中 每两点所连线段的长都等于a 动点P在线段AB上 动点Q 在线段CD上 则P与Q的最短距离为 A B C D a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 10 在一个正四棱锥 它的底面边长与侧棱长均为a 现有一张正方形包装纸将其完全包 BA C D D1C1 B1 A1 A D B A D1 C1 B1 A1 M N 24 住 不能裁剪纸 但可以折叠 那么包装纸的最小边长应为 A B C D a 62 a 2 62 a 31 a 2 31 11 已知长方体ABCD A1B1C1D1中 A1A AB 2 若棱AB上存在点P 使 则棱PCPD 1 AD的长的取值范围是 A B C D 1 0 2 0 2 0 2 1 12 将正方形ABCD沿对角线AC折起 使点D在平面ABC外 则DB与平面ABC所成的角一 定不等于 A B C 30 45 D 60 90 二 填空题 1 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 E是A1B1的 中点 则下列四个命题 E到平面ABC1D1的距离是 2 1 直线BC与平面ABC1D1所成角等于 45 空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成 面积最小值为 2 1 BE与CD1所成的角为 10 10 arcsin 2 如图 在四棱柱ABCD A1B1C1D1中 P是A1C1 上的动点 E为CD上的动点 四边形ABCD满 足 时 体积恒为定值 写上 AEBP V 你认为正确的一个答案即可 3 边长为 1 的等边三角形ABC中 沿BC边高线AD 折起 使得折后二面角B AD C为 60 则点A到 BC的距离为 点D到平面ABC的距离 为 4 在水平横梁上A B两点处各挂长为 50cm 的细绳 AM BN AB的长度为 60cm 在MN处挂长为 60cm 的木条 MN平行于横梁 木条的中点为O 若木条 绕过O的铅垂线旋转 60 则木条比原来升高了 5 多面体上 位于同一条棱两端的顶点称为相邻的 如图 正方体的一个顶点A在平面内 其余顶点在的同 侧 正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到的距离分 别是 1 2 和 4 P 是正方体其余四个顶点中的一个 则 P 到平面的距离可能是 D C B A E D1 A1 C1 B1 AB D C P E A1 D1 C1 B1 25 3 4 5 6 7 以上结论正确的为 写出所有正确结论的编号 6 如图 棱长为 1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈 蚀的小孔 不计小孔直径 O1 O2 O3它们分别是所在面的中 心 如果恰当放置容器 容器存水的最大容积是 m3 三 解答题 1 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 底面边长为 a D 为 BC 为中点 M 在 BB1上 且 BM B1M 又 CM AC1 1 3 1 求证 CM C1D 2 求 AA1的长 2 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面是矩形且 AD 2 AB PA PA 底面 ABCD E 是 AD 的中点 F 在 PC 上 2 1 求 F 在何处时 EF 平面 PBC 2 在 1 的条件下 EF 是不是 PC 与 AD 的公垂线段 若是 求 出公垂线段的长度 若不是 说明理由 3 在 1 的条件下 求直线 BD 与平面 BEF 所成的角 3 如图 四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 1 的正方形 SD 垂直于底面 ABCD SB 3 1 求证 BCSC 2 求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小 3 设棱 SA 的中点为 M 求异面直线 DM 与 SB 所成角的 大小 O1 O2 O3 26 4 在直角梯形 ABCD 中 D BAD 90 AD DC AB a 如图一 将 ADC 沿 AC 折起 使 D 2 1 到 记面 AC为 面 ABC 为 面 BC为