2012年高考数学备考之百所名校组合卷系列 专题07 立体几何（理）

1 20122012 年高考数学备考之百所名校组合卷系列年高考数学备考之百所名校组合卷系列 一 选择题 一 选择题 1 吉林省长春市吉林省长春市 20122012 年年 3 3 月高中毕业班第二次调研测试理科月高中毕业班第二次调研测试理科 5 5 如图所示是一个几何体 的三视图 则该几何体的体积为 A 1 B C D 1 2 3 4 3 2 答案 B 解析 由题意可知 该几何体为一个四棱锥 底面面积为 3 2 高为 1 体积为 1 31 1 3 22 V 2 山山东东实实验验中中学学2 20 01 12 2 届届高高三三第第一一次次诊诊断断性性考考试试理理 3 3 如图是某一几何体的三视图 则这个几何体的体积为 A 4 B 8 C 16 D 20 答案 C 解析 由三视图我们易判断这个几何体是四棱锥 由左视图和俯视图我们易该棱锥底面 的长和宽 及棱锥的高 代入棱锥体积公式即可得到答案 解 由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥 又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为 2 棱锥的高为 4 由俯视图我们易判断四棱锥的长为 4 代入棱锥的体积公式 我们易得 V 1 3 6 2 4 16 故答案为 16 3 福建省泉州市福建省泉州市 20122012 年年 3 3 月普通高中毕业班质量检查理科月普通高中毕业班质量检查理科 5 5 下列四个条件 均为直线 是直线 是平面 xyzxyz 是直线 是平面 均为平面 xyzxyz 主视图左视图 俯视图 1 11 1 2 其中 能使命题 成立的有 xy yzxz A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 C 解析 能使命题 成立 xy yzxz 4 山东省青岛市山东省青岛市 20122012 届高三上学期期末检测理科届高三上学期期末检测理科 5 5 已知某个几何体的三视图如下 根 据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的体积是 解析 由三视图可知 该集合体为底面是边长为 20 的正方形 高为 20 的四棱锥 18000 20 20 20 33 V 5 山东省青岛市山东省青岛市 20122012 届高三上学期期末检测理科届高三上学期期末检测理科 8 8 已知 为三条不重合的直线 abc 下面有三个结论 若则 caba bc 若则 若 则 其中正确的个数为caba b ca b b cca A 个B 个C 个D 个 0123 答案 B B 解析 b c 可能异面 b c 可能异面 也可能平行 二 填空题 二 填空题 6 吉林省长春市吉林省长春市 20122012 年年 3 3 月高中毕业班第二次调研测试理科月高中毕业班第二次调研测试理科 16 16 如图 已知球O是棱长 为 1 的正方体的内切球 则以为顶点 以平面 1 ACD 被球O所截得的 1111 ABCDABC D 1 B 圆为底面的圆锥的全面积为 答案 2 3 解析 为球心 也是正方体的中心 OD D A B C 1 C A B 1 1 1 O 3 到平面的距离等于体对角线的 即为 O 1 ACDh 1 6 3 6 h 到平面的距离等于体对角线的 即为 B 1 ACDk 2 3 2 3 3 k 又球的半径等于正方体棱长的一半 即为 R 1 2 R 由勾股定理可知 截面圆的半径为 6 6 r 圆锥底面面积为 2 1 6 66 S 圆锥的母线可利用勾股定理求出 22 6 2 lrk 圆锥的侧面积为 2 666 6622 Sl 圆锥的表面积为 12 2 623 SSS 7 江苏省淮阴中学 海门江苏省淮阴中学 海门中学 天一中学中学 天一中学 20122012 届高三联考届高三联考 13 13 将一个长宽分别是 的铁皮的四角切去相同的正方形 然后折成一个无盖的长方体的盒子 若 0 a bba 这个长方体的外接球的体积存在最小值 则的取值范围是 a b 解析 设减去的正方形边长为 其外接球直径的平方x 2222 R a 2x b 2x x 由 2 0 9 Rxab 0 2 a abx 2 0 92 a ab 5 1 4 b a 8 福建省泉州市福建省泉州市 20122012 年年 3 3 月普通高中毕业班质量检查理科月普通高中毕业班质量检查理科 12 12 一个三棱锥的正视图和侧 视图及其尺寸如图所示 则该三棱锥俯视图的面积为 解析 该三棱锥俯视图为直角三角形 两直角边分别为 其面积为1 2 1 1 21 2 三 解答题三 解答题 9 9 浙江省部分重点中学浙江省部分重点中学 20122012 年年 3 3 月高三第二学期联考理科月高三第二学期联考理科 20 20 本小题满分 14 分 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1 1 2 ADAAAB 点E是AB上的动点 点 M为 1 DC的中点 当E点在何处时 直线ME 平面 11 ADD A 并证明你的结论 在 成立的条件下 求二面角 1 AD EC 的大小 证明 当E为AB的中点时 12 3 侧 侧 侧 侧 侧 侧 4 ME 平面 11 ADD A 证明 取 1 DD的中点N 连结MN AN ME MN CD 2 1 AE CD 2 1 四边形MNAE为平行四边形 可知 ME AN AN在平面 1 AD内 ME 平面 1 AD 5 分 方法二 延长CE交DA延长线于N 连结 1 D N AN BCNEEC 又M为 1 DC的中点 ME 1 D N 1 D N 平面 1 AD ME 平面 1 AD 5 分 当E为AB的中点时 2DE 2CE 又2CD 可知 0 90DEC 所以DECE 平面 1 CED 平面 1 DD E 所以二面角CEDD 1 的大小为 2 8 分 又二面角CEDA 1 的大小为二面角DEDA 1 与二面角CEDD 1 大小的和 只需求二面角DEDA 1 的大小即可 10 分 过A点作DEAF 交DE于F 则 AF平面EDD1 2 2 AF 过F作EDFH 1 于H 连结AH 则 AHF即为二面角DEDA 1 的平面角 12 分 11 ADAEEDAH 6 30 AH 5 15 sin AHF 所以二面角CEDA 1 的大小为 5 15 arcsin 2 14 分 10 山山东东实实验验中中学学2 20 01 12 2 届届高高三三第第一一次次诊诊断断性性考考试试理理 1 19 9 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥 P 一 ABCD 中 底面 ABCD 为菱形 Q 为 AD 的中点 点 M 在线段 PC 上 PM 证明 平面 MQB MN F H 5 1 若平面平面求二面角 的大小 解析 解 连 AC 交 BQ 于 N 由 AQ BC 可得 1 2 2 1 4 3 6 7 AQAN ANCBNC BCNC PMPCPAMN PAMBQ AD ABD 0 分 分 分 2 由PA PD AD 2 Q 为AD 的中点 则PQ分 又平面PAD平面ABC D 所以PQ平面ABC D 连接BD 则四边形ABC D 为菱形 AD AB BAD 60 8 0030 30 00 QADAD x y z y PAMN xz 为正三角形 为的中点 BQ分 以Q 为坐标原点 分别以Q A Q B Q P所在的直线为x y z轴 建立如图所示的坐标系 则各点坐标为A 1 0 0 B 0 3 0 Q 0 0 0 P 0 0 3 设平面M Q B的法向量为n可得 n Q Bn Q B n M Nn PA 1 3 0 1 10z 取 解得n分 取平面 ABCD 的法向量 6 0 1 0 0 3 cos 2 60 12 QP n QP QPn 设所求的二面角为 则 故二面角的大小为分 11 吉林省长春市吉林省长春市 20122012 年年 3 3 月高中毕业班第二次调研测试理科月高中毕业班第二次调研测试理科 1919 本小题满分 12 分 如图 正方形与直角梯形所在平面ABCDADEF 互相垂直 90ADE DEAF 22 AFDADE 求证 平面 ACBEF 求平面与平面所成角的正切值 BEFABCD 解析 证明 方法一 设 取中点 ACBDO BEG 连结 OGFG 则 且 OGDEOG 1 2 DEDEAF AFDE2 且 是平行四边形 AFOGAFOGAFGOAOFG 平面 平面 FG BEFAO BEF 平面 即平面 AOBEF ACBEF 方法二 如图建立空间直角坐标系 设平面的一个法向量为 BEF nx y z 则 而 令 则 0 0 n FE n FB 2 0 1 0 2 1 FE FB 20 20 xz yz 1x 1y 2z 0 1 1 2 n 2 2 0 AC n AC nAC 而平面 平面 AC BEF ACBEF 设平面与平面所成二面角的平面角为 由条件知是锐角ABCDBEF 由 知平面的法向量为 BEF 1 1 2 n 又平面与轴垂直 ABCDz 所以平面的法向量可取为ABCD 1 0 0 1 n 所以 1 1 1 26 cos cos 316 n n n n nn 所以即为所求 2 tan 2 12 江苏省淮阴中学 海门中学 天一中学江苏省淮阴中学 海门中学 天一中学 20122012 届高三联考届高三联考 16 16 本小题满分 本小题满分分 分 14 在直三棱柱中 AC 4 CB 2 AA1 2 E F 分别是 111 CBAABC 60 ACB BCCA 11 的中点 1 证明 平面平面 AEBCCBB 11 2 证明 平面ABE 1F C 3 设 P 是 BE 的中点 求三棱锥的体积 FCBP 11 解析 证明 在 AC 2BC 4 1 ABC 0 60 ACB 32 AB 222 ACBCAB BCAB 由已知 面 1 BBAB AB 11 BBC C 又 面AB ABE 11 ABEBBC C A B C D F E A B C D F E y x z A B C E F P 1 A 1 B 1 C 7 证明 取的中点 连结 2ACMFMMC 1 在 ABCFMAB 而 直线平面FMABE FM ABE 在矩形中 都是中点 11A ACCE MAEMC 1 而 直线 1 C MABE 1 C MABE 又 MFMMC 11 ABEFMC面 故 1 C FAEB 取的中点 连结 则且 3 11 BCHEH EHAB 1 3 2 EHAB 由 CCBBAB 11 11 EHBBC C 面 是的中点 PBE 1 11 11 1 111 3 223 P B C FE B C FB C F VVSEH 13 13 福建省泉州市福建省泉州市 20122012 年年 3 3 月普通高中毕业班质量检查理科月普通高中毕业班质量检查理科 19 19 本小题满分 13 分 如图 侧棱垂直底面的三棱柱中 111 ABCABC ABAC 1 3AAABAC 是侧棱上的动点 0 ABACt t P 1 AA 当时 求证 1 AAABAC 11 ACABC 平面 试求三棱锥的体积取得最大值时的 值 1 PBCC Vt 若二面角的平面角的余弦值为 试求实数 的值 1 ABCC 10 10 t 解析 证法一 证法一 面 1 AA ABC 1 AAAC 1 AAAB 又 四边形是正方形 1 AAAC 11 AAC C 11 ACAC 11111 ABAC ABAA AA ACAAC C AAACA 平面 8 11 ABAAC C 平面 又 111 ACAAC C 平面 1 ABAC 111 AB ACABC ABACA 平面 11 ACABC 平面 证法二证法二 面 1 AA ABC 1 AAAC 1 AAAB 又 ABAC 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系 1 AB AC AA x y z 则 11 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ACBCA 11 0 1 1 0 1 1 1 0 0 ACACAB 111 0 0AC ACAC AB 111 ACAC ACAB 又 111 AB ACABC ABACA 平面 11 ACABC 平面 证法三证法三 面 1 AA ABC 1 AAAC 1 AAAB 又 ABAC 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系 1 AB AC AA x y z 则 11 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ACBCA 11 0 1 1 0 1 1 1 0 0 ACACAB 设平面的法向量 1 ABC nx y z 则 解得 1 0 0 n ACyz n ABx 0 x yz 令 则 1z 0 1 1 n x y z C1 B1 B A O C A1 P 9 1 ACn 11 ACABC 平面 111 AABBC C 点到平面的距离等于点到平面的距离P 11 BBC CA 11 BBC C 111 223 1113 32 0 6232 P BCCA BCCCABC VVVVttttt 1 Vt t 令 得 舍去 或 0V 0t 1t 列表 得 0 1 1 3 1 2 V 0 V递增极大值递减 当时 1t max 1 6 V 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系 1 AB AC AA x y z 则 11 0 0 0 0 32 0 0 0 0 0 0 32 ACttB tCtAt 11 0 23 0 32 0 0 ACttACttABt 1 0 0 32 CCt 0 BCt t 设平面的法向量 1 ABC 1111 nx y z 则 解得 1111 11 32 0 0 nACtyt z nABtx 1 11 0 23 x t yz t 令 则 1 zt 1 0 23 ntt 设平面的法向量 1 BCC 2222 nxyz 则 222 212 0 32 0 nBCtxty nCCt z 10 由于 所以解得 3 0 2 t 22 2 0 xy z 令 则 2 1y 2 1 1 0 n 设二面角的平面角为 1 ABCC 则有 12 22 12 23 10 cos 10 2 23 n nt nn tt 化简得 解得 舍去 或 2 516120tt 2t 6 5 t 所以当时 二面角的平面角的余弦值为 6 5 t 1 ABCC 10 10 14 江西省南昌二中江西省南昌二中 20122012 届高三第三次月考理科届高三第三次月考理科 19 19 如图是某直三棱柱被削去上底后所 得几何体的直观图 左视图 俯视图 在直观图中 M 是 BD 的中点 左视图是直角梯 形 俯视图是等腰直角三角形 有关数据如图所示 求该几何体的体积 求证 EM 平面 ABC 试问在棱 DC 上是否存在点 N 使 MN平面 BDE 若存在 确定点 N 的位置 若 不存在 请说明理由 解析 11 DMN DCB 即 即 DNDM DBDC 6 42 6 DN 3DN 3 4 DNDC 所以 边 DC 上存在点 N 当满足时 使 MN平面 BDE 3 4 DNDC 15 江苏省南京市 盐城市江苏省南京市 盐城市 20122012 届高三第一次模拟届高三第一次模拟 22 22 本小题满分 10 分 解析 1 以 1 ABADAA 为正交基底建立空间直角坐标系Axyz 设 02 CPaa 则 22 2 2 2 0 22 2 0 CQaPaQa 2 1 2 2 2 BQa 1 2 2 D Pa 12 11 BQD P 11 0BQ D P 2 2 2240aa 解得1a 4 分 PC 1 CQ 1 即PQ 分别为 BCCD 中点 5 分 2 设平面 1 C PQ的法向量为 na b c 1 1 1 0 0 1 2 PQPC 又 1 0n PQn PC 0 20 ab bc 令1c 则2ab 2 2 1 n 8 分 0 0 2 k 为面APQ的一个法向量 1 cos 3 n k 而二面角为钝角 故余弦值为 1 3 10 分 点评 本题主要考查了空间向量在立体几何中的简单应用 利用空间向量的坐标运算求 解二面角的大小 16 江苏省南京市 盐城市江苏省南京市 盐城市 20122012 届高三第一次模拟届高三第一次模拟 16 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥PABCD 中 四边形ABCD是菱形 PAPC E为PB的中点 1 求证 PD面AEC 2 求证 平面AEC 平面PDB 分析 1 问的关键在于找 2 问的关键在于论证 面 PDEOAC PBD 1717 山东省青岛市山东省青岛市 20122012 届高三上学期期末检测理科届高三上学期期末检测理科 20 20 本小题满分 本小题满分 12