2012高考数学复习 第十章 排列、组合和二项式定理10-3试题

用心 爱心 专心1 第第 1010 章章 第三讲第三讲 时间 60 分钟 满分 100 分 一 选择题 8 5 40 分 1 2009 浙江 4 在二项式 x2 5的展开式中 含x4的项的系数是 1 x A 10 B 10 C 5 D 5 答案 B 解析 Tr 1 Cx2 5 r x 1 r 1 rCx10 3r r 0 1 5 由 10 3r 4 得 r5r5 r 2 含x4的项为T3 其系数为 C 10 故选 B 2 5 2 2009 吉林长春一模 6的展开式中常数项等于 x 1 x A 15 B 15 C 20 D 20 答案 A 解析 通项Tr 1 C 6 r r 1 rCx 令 6 3r 0 得r 2 所以 r6x 1 xr6 6 3r 2 常数项为 1 2C 15 2 6 3 2009 北京 3 若 1 4 a b a b为有理数 则a b 22 A 33 B 29 C 23 D 19 答案 B 解析 由二项式展开式定理可得 1 4 1 C C 2 C 3 C 4 21 422 423 424 42 1 4 12 8 4 22 17 12 a 17 b 12 a b 29 2 故选 B 4 2009 江西 6 若 Cx Cx2 Cxn能被 7 整除 则x n的值可能为 1n2nn n A x 4 n 3 B x 4 n 4 C x 5 n 4 D x 6 n 5 答案 C 解析 Cx Cx2 Cxn 1 x n 1 代入验证选项可得 C 1n2nn n 5 2009 陕西 6 若 1 2x 2009 a0 a1x a2009x2009 则 的 a1 2 a2 22 a2009 22009 值为 A 2 B 0 C 1 D 2 答案 C 解析 由二项式展开式可得a0 1 C C C a1 212009 a2 2222009 a2009 2200920092009 1 1 2009 a0 1 故选 C a1 2 a2 22 a2009 22009 6 2009 河南调考 设 x b 8 b0 b1x b2x2 b8x8 如果b5 b8 6 则实 数b的值为 A B C 2 D 2 1 2 1 2 答案 A 解析 b5 b8 Cb3 C 6 b的值为 故选 A 3 80 8 1 2 7 2009 驻马店二模 已知 1 x 1 x 2 1 x 用心 爱心 专心2 n a0 a1x a2x2 anxn 若a1 a2 an 1 an 30 n 则自然数n等于 A 6 B 5 C 4 D 3 答案 C 解析 a0 n 令x 1 得a0 a1 a2 an 1 an 2n 1 2 即 2n 1 2 n 30 n 2n 1 32 n 4 8 定义 k ai ai 1 ai 2 an 其中i n N N 且i n 若f x 1 n k i a 2003 k 0 kC 3 x k ix2003 i 则k的值为 k2003 2003 i 0 a 2003 k 1 a A 2 B 0 C 1 D 2 答案 D 解析 f x 1 3 x 2003 x 2 2003 a0 x2003 a1x2002 a2x2001 a2003 当x 1 时 a0 a1 a2 a2003 1 又a0 1 a1 a2 a2003 2 二 填空题 4 5 20 分 9 2009 北京 11 若 x2 展开式的各项系数之和为 32 则n 其展 1 x3 开式中的常数项为 用数字作答 答案 5 10 解析 令x 1 得 2n 32 所以n 5 由二项展开式得Tr 1 C x2 5 r x 3 r C r5 x10 5r 令 10 5r 0 得r 2 所以常数项为T3 C 10 r52 5 总结评述 本题考查二项式定理的相关知识 关键是学会用通项公式来解决 10 2009 全国 13 x y 10的展开式中 x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 答案 240 解析 T4 Cx7y3 T8 Cx3y7 3 107 10 则x7y3与x3y7的系数之和为 2C 240 故填 240 3 10 11 已知 1 x n的展开式中所有项的系数的绝对值之和为 32 则 1 x n的展开式中 系数最小的项是 答案 10 x3 解析 1 x n所有各项系数绝对值之和即为 1 x n所有各项系数之和 令x 1 得 2n 32 n 5 因此 1 x 5展开式中系数最小的项为第四项 C x 3 10 x3 3 5 12 已知n次二项式Pn x a0 xn a1xn 1 an 1x an 如果在一种算法中 计算x k 2 3 4 n 的值需要k 1 次乘法 计算P3 x0 的值共需要 9 次运算 6 次乘法 3 k0 次加法 那么计算P10 x0 的值共需要 次运算 下面给出一种减少运算次数的算法 P0 x a0 Pk 1 x xPk x ak 1 k 0 1 2 n 1 利用该算法 计算P3 x0 的值 共需要 6 次运算 计算P10 x0 的值共需要 次运算 答案 65 20 解析 计算P10 x0 需要乘法 10 9 8 1 55 次 加法 10 次 即 65 次运算 P10 x0 x0P9 x0 a10共需运算 6 10 3 2 20 即 20 次运算 三 解答题 4 10 40 分 13 1 求 x2 9的展开式中的常数项 1 2x 用心 爱心 专心3 2 已知 9的展开式中x3的系数为 求常数a的值 a x x 2 9 4 3 求 x2 3x 2 5的展开式中含x的项 解析 1 设第r 1 项为常数项 则 Tr 1 C x2 9 r r rCx18 3r r9 1 2x 1 2r9 令 18 3r 0 得r 6 即第 7 项为常数项 T7 6C 1 26 9 21 16 常数项为 21 16 2 设第r 1 项是含x3的项 则有 C 9 r r x3 得 xr 9x x3 r9 a x x 2 9 4 r 2 故r 9 3 即r 8 3 2 Ca 8 a 4 8 9 1 2 9 4 3 x2 3x 2 5 x 1 5 x 2 5 x2 3x 2 5的展开式中含x的项是 x 1 5展开式中的一次项与 x 2 5展开式中的 常数项之积 x 1 5展开式中的常数项与 x 2 5展开式中的一次项之积的代数和 含x的项为 C x C 25 C 1 C x 24 240 x 4 55 55 54 5 14 已知 n的展开式中 前三项系数的绝对值依次成等差数列 x 1 24x 1 证明展开式中没有常数项 2 求展开式中所有有理项 解析 依题意 前三项系数的绝对值是 1 C C 2且 2C 1 C2 即 1n 1 2 2n 1 2 1n 1 22n 1 2 n2 9n 8 0 所以n 8 n 1 舍去 所以Tr 1 C 8 r r r8x 1 24x rC x x 1 2 r8 8 r 2 r 4 1 r x Cr8 2r 16 3r 4 1 若Tr 1为常数项 当且仅当 0 即 3r 16 因为r Z Z 所以这不可能 16 3r 4 所以展开式中没有常数项 2 若Tr 1为有理项 当且仅当为整数 因为 0 r 8 r Z Z 所以 16 3r 4 r 0 4 8 即展开式中的有理项共有三项 它们是 T1 x4 T5 x T9 x 2 35 8 1 256 15 若等差数列 an 首项a1 C A m N N 公差d是 n展 11 2m5m2m 211 3m 5 2x 2x3 5 开式中的常数项 其中n为 7777 5 除以 19 的余数 求通项an 解析 Error 且Error 得 m 又m N N 则m 2 a1 C A 100 11 7 13 57 102 5 7777 5 1 76 77 5 1 C 76 C 7677 5 76 C C 76 C 1 7777771 772 77 7676 15 7777 用心 爱心 专心4 余数 15 即n 15 设通项Tr 1 C 15 r r r15 5 2x 2 5 x3 1 rC 15 2r x 15 r r15 5 2 5 2 令r 15 0 得r 6 则d C 3 C 5 26 15 5 2 125 86 15 an 100 n 1 C 125 86 15 总结评述 本题体现了二项式定理在整除上的应用 16 若 x2 3x 2 5 a0 a1x a2x2 a10 x10 1 求a2 2 求a1 a2 a10 3 求 a0 a2 a4 a6 a8 a10 2 a1 a3 a5 a7 a9 2 解析 1 方法一 x2 3x 2 5 x 1 5 x 2 5 x 1 5展开式的通项公式为 C 1 r x5 r 0 r 5 r5 x 2 5展开式的通项公式为 C 2 s x5 s 0 s 5 s5 所以 x2 3x 2 5展开式的通项公式为 C C 1 r s 2s x10 r s r5s5 令r s 8 得Error 或Error 或Error 所以展开式中x2的系数为 C C25 C C24 C C23 800 即a2 800 3 5 5 54 5 4 55 5 3 5 方法二 x2 3x 2 5的本质是 5 个x2 3x 2 相乘 由多项式的乘法法则 产生含 x2的项有两种可能 5 个x2 3x 2 中有一个取含x2的项 其它的取常数项 得到的系数是 C 24 80 1 5 5 个x2 3x 2 中有两个取x2的项 其它的取常数项