高中一元二次不等式解法及恒成立问题

1 一元二次不等式解法一元二次不等式解法 基础知识精讲基础知识精讲 1 一元二次不等式 1 一元二次不等式经过变形 可以化成如下标准形式 ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c 0 a 0 2 一元二次函数的图像 一元二次方程的根 一元二次不等式的解集对比表 二次函数 情况一元二次方程一元二次不等式 y ax2 bx c a 0 b2 4ac ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c 0 a 0 0 x1 x2 不等式解集为 x x x1或 x x2 不等式解集 为 x x1 x x2 0 x1 x2 x0 不等式解集 x x x0 x R 解集为 图 像 与 解 0方程无解不等式解集为 R 一切实数 解集为 a 0 的情况自己完成 例例 1 1 解下列关于 x 的不等式 1 2x 3 x2 0 2 x x 2 1 x 3 x 3 x2 2 x 3 0 2 4 x2 6 x 3 3 分析分析 解一元二次不等式一般步骤是 化为标准形式 确定判别式 b2 4ac 的符号 若 0 则求出该不等式对应的二次方程的根 若 0 则对应二次方程无根 联系 二次函数的图像得出不等式的解集 特别地 若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式 则可立即写出不等式的解集 在两根之内或两根之外 解 解 1 原不等式可化为 x2 2x 3 0 x 3 x 1 0 不等式的解集为 x 1 x 3 2 原不等式可化为 2x2 x 2 0 2x 1 x 1 0 不等式的解集为 x x 或 x 1 3 原不等式可化为 x 2 0 不等式的解集为 x x R 且 x 4 原不等式可化为 x2 6x 15 0 0 方程 x2 6x 15 0 无实根 不等式的解集为 R 评析评析 熟练掌握一元二次方程 二次函数 一元二次不等式三者之间的关系 再加上熟练地 分解因式 配方技能 解一元二次不等式就能得心应手 例例 3 3 已知 f x x2 2 a 2 x 4 1 如果对一切 x R f x 0 恒成立 求实数 a 的取值范围 2 如果对 x 3 1 f x 0 成立 求实数 a 的取值范围 解 解 f x 的图像开口向上 3 1 对一切实数 x f x 0 则 0 即 a 2 2 4 0 0 a 4 2 当 x 3 1 时 f x 0 对称轴 2 a 可在区间内 也可在区间外 或 或 解得 a 4 评析评析 函数 f x 在给定区间上 f x 0 或 f x 0 f x 在该区间上的最小 或最大 值 大于 或小于 零 只有深刻理解了二次函数在给定区间上的最值意义 才能正确处理函数的 局部性质与整体性质的关系 含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式 通常情况下 均需分类讨论 那么如何讨论解含参数的一元二次不等式 通常情况下 均需分类讨论 那么如何讨论 呢 对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种 呢 对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种 一 按一 按项的系数项的系数的符号分类 即的符号分类 即 2 xa0 0 0 aaa 例例 1 1 解不等式 解不等式 012 2 xaax 例例 2 2 解不等式解不等式 0065 2 aaaxax 二 按判别式二 按判别式的符号分类 即的符号分类 即 0 0 0 例例 3 3 解不等式解不等式04 2 axx 例例 4 4 解不等式解不等式 Rmxxm 0141 22 三 按方程三 按方程的根的根的大小来分类 即的大小来分类 即 0 2 cbxax 21 x x 212121 xxxxxx 4 例例 5 5 解不等式解不等式 0 01 1 2 ax a ax 例例 6 6 解不等式解不等式 065 22 aaxx0 a 1 已知不等式 2 202 3xxax 对任意实数 恒成立 求实数a的取值范围 2 若不等式 2 1 1 3 1 0mxmxm 对任意实数 x 恒成立 求实数 m 取值范围 4 对任意的