2012高考数学 专题二 综合测试题 文

用心 爱心 专心 1 专题二综合测试题专题二综合测试题 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 如图 设A是棱长为a的正方体的一个顶点 过从此顶点出发的三条棱的中点作截面 截面与正方体各面共同围成一个多面体 则关于此多面体有以下结论 其中错误的是 A 有 10 个顶点 B 体对角线AC1垂直于截面 C 截面平行于平面CB1D1 D 此多面体的表面积为a2 47 8 解析 此多面体的表面积S 6a2 3 a a a a a2 a2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 45 8 3 8 a2 故选 D 45 3 8 答案 D 2 2011 福建宁德模拟 下图是一个多面体的三视图 则其全面积为 用心 爱心 专心 2 A B 6 3 3 2 C 6D 4 33 解析 由几何体的三视图可得 此几何体是正三棱柱 其全面积为S 3 2 2 2 2 sin60 6 故选 C 1 223 答案 C 3 2011 江西抚州一中模拟 如图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几 何体的表面积是 A 22 B 12 C 4 24 D 4 32 解析 由几何体的三视图可得 此几何体是上面一个球 下面一个长方体组成的几何体 此几何体的表面积S 4 12 2 2 2 8 3 4 32 故选 D 答案 D 4 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积与体积分别为 A 7 3 B 8 3 22 C 7 D 8 2 3 22 3 2 解析 由几何体的三视图可得 此几何体是四棱柱 底面是梯形 其全面积为 用心 爱心 专心 3 S 2 1 2 1 12 12 1 2 1 7 体积为V 1 2 1 1 故选 1 222 1 2 3 2 C 答案 C 5 2011 江苏启东中学模拟 一个与球心距离为 1 的平面截球体所得的圆面面积为 则球的体积为 A B 8 2 3 8 3 C D 8 32 3 解析 由题意 球的半径为R 故其体积V 3 选 A 12 122 4 32 8 2 3 答案 A 6 2011 福建福鼎一中模拟 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是AD的中点 则 异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是 A B 10 5 10 10 C D 1 3 2 2 3 解析 因为BC B1C1 故 EC1B1即为异面直线C1E与BC所成的角 在 EB1C1中 由余 弦定理可得结果 选 C 答案 C 7 2011 浙江台州模拟 如图 一个空间几何体的正 主 视图 侧 左 视图都是面积 为 且一个内角为 60 的菱形 俯视图为正方形 那么这个几何体的表面积为 3 2 用心 爱心 专心 4 A 2 B 4 33 C 4 D 8 解析 由几何体的三视图可得 此几何体是由两个正四棱锥底面重合在一起组成的 由 正 主 视图的面积为 得菱形的边长为 1 此几何体的表面积为S 8 1 1 4 故选 C 3 2 1 2 答案 C 8 2011 安徽皖南八校联考 设m n是不同的直线 是不同的平面 有以 下四个命题 Error Error m Error Error m 其中正确的 命题是 A B C D 解析 由定理可知 正确 中m与 的位置关系不确定 中可能m 故选 C 答案 C 9 2011 宁夏模拟 如图 正 ABC的中线AF与中位线DE相交于G 已知 A ED是 AED绕DE旋转过程中的一个图形 下列命题中 错误的是 A 动点A 在平面ABC上的射影在线段AF上 B 恒有平面A GF 平面BCED C 三棱锥A FED的体积有最大值 用心 爱心 专心 5 D 异面直线A E与BD不可能垂直 解析 由题意 DE 平面AGA A B C 正确 故选 D 答案 D 10 2011 山东枣庄模拟 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积等于 A a3 B a3 1 6 1 2 C a3 D a3 2 3 5 6 解析 由几何体的三视图可知 此几何体是正方体去掉一个角 如图 此几何体的体积 V a3 a2 a a3 故选 D 1 3 1 2 5 6 答案 D 11 2011 山东平邑一中模拟 设a b c是空间三条直线 是空间两个平面 则下列命题中 逆命题不成立的是 A 当c 时 若c 则 B 当b 时 若b 则 C 当b 且c是a在 内的射影时 若b c 则a b D 当b 且c 时 若c 则b c 解析 写出逆命题 可知 B 中b与 不一定垂直 选 B 用心 爱心 专心 6 答案 B 12 2011 山东潍坊模拟 某几何体的一条棱长为 在该几何体的正视图中 这条棱 7 的投影是长为的线段 在该几何体的侧视图与俯视图中 这条棱的投影分别是长为a和b 6 的线段 则a b的最大值为 A 2 B 2 23 C 4 D 2 5 解析 结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算 如图设长方体的长 宽 高分 别为m n k 由题意得 n 1 a b m2 n2 k27m2 k261 k21 m2 所以 a2 1 b2 1 6 a2 b2 8 所以 a b 2 a2 2ab b2 8 2ab 8 a2 b2 16 a b 4 当且仅当a b 2 时取等号 选 C 答案 C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 将答案填在题中的横线上 13 2011 广东珠海模拟 一个五面体的三视图如图 正 主 视图与侧 左 视图都是等 腰直角三角形 俯视图为直角梯形 部分边长如图所示 则此五面体的体积为 解析 由三视图可知 此几何体是一个底面为直角梯形 有一条侧棱垂直于底面的四棱 锥 其体积为V 1 2 2 2 2 1 3 1 2 答案 2 用心 爱心 专心 7 14 已知直线a b和平面 试利用上述元素并借助于它们之间的位置关系 构 造出一个判断 的真命题 答案 Error 或Error 答案不唯一 15 2011 江西赣州联考 三棱锥S ABC中 SBA SCA 90 ABC是斜边 AB a的等腰直角三角形 则以下结论中 异面直线SB与AC所成的角为 90 直线SB 平面ABC 平面SBC 平面SAC 点C到平面SAB的距离是a 其中正确结论的序号是 1 2 解析 由题意知AC 平面SBC 故AC SB SB 平面ABC 平面SBC 平面 SAC 正确 取AB的中点E 连接CE 可证得CE 平面SAB 故CE的长度即为点C 到平面SAB的距离a 正确 1 2 答案 16 2011 南京一模 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 D为棱AA1的中点 若截面 BC1D是面积为 6 的直角三角形 则此三棱柱的体积为 解析 设正三棱柱的底面边长为a 高为 2h 则BD C1D BC1 由 a2 h2a2 4h2 用心 爱心 专心 8 BC1D是面积为 6 的直角三角形 得Error 解得Error 故此三棱柱的体积为 V 8 sin60 4 8 1 23 答案 8 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本小题满分 12 分 如图 PA 平面ABCD ABCD是矩形 PA AB 1 AD 点F是PB的中点 点E在 3 边BC上移动 1 求三棱锥E PAD的体积 2 当点E为BC的中点时 试判断EF与平面PAC的位置关系 并说明理由 3 证明 无论点E在边BC的何处 都有PE AF 解 1 三棱锥E PAD的体积V PA S ADE PA 1 3 1 3 1 2AD AB 3 6 2 当点E为BC的中点时 EF与平面PAC平行 在 PBC中 E F分别为BC PB的中点 EF PC 又EF 平面PAC PC 平面PAC EF 平面PAC 3 证明 PA 平面ABCD BE 平面ABCD BE PA 又BE AB AB PA A AB PA 平面PAB BE 平面PAB 又AF 平面PAB AF BE 用心 爱心 专心 9 又PA AB 1 点F是PB的中点 PB AF 又 PB BE B PB BE 平面PBE AF 平面PBE PE 平面PBE AF PE 18 本小题满分 12 分 已知四棱锥P ABCD中 平面PAD 平面ABCD 平面PCD 平面ABCD E为PB上任意一 点 O为菱形对角线的交点 如图 1 证明 平面EAC 平面PBD 2 试确定点E的位置 使得四棱锥的体积被平面EAC分成 3 1 两部分 解 1 证明 如图 过点B作BG AD于点G 由于平面PAD 平面ABCD 由面面垂直 的性质定理可知BG 平面PAD 又PD 平面PAD 故PD BG 同理 过点B作BH CD于点 H 则PD BH 又BG 平面ABCD BH 平面ABCD BG BH B PD 平面ABCD PD AC 又BD AC 故AC 平面PBD 又AC 平面EAC 平面EAC 平面PBD 2 若四棱锥的体积被平面EAC分成 3 1 两部分 则三棱锥E ABC的体积是整个四棱 锥体积的 1 4 设三棱锥E ABC的高为h 底面ABCD的面积为S 则 S h S PD 由此得 1 3 1 2 1 4 1 3 用心 爱心 专心 10 h PD 故此时E为PB的中点 1 2 19 本小题满分 12 分 2011 湖南 如图 在圆锥PO中 已知PO O的直径AB 2 点C在上 且 2 AB CAB 30 D为AC的中点 1 证明 AC 平面POD 2 求直线OC和平面PAC所成角的正弦值 解 1 因为OA OC D是AC的中点 所以AC OD 又PO 底面 O AC 底面 O 所以AC PO 而OD PO是平面POD内的两条相交直线 所以AC 平面POD 2 由 1 知 AC 平面POD 又AC 平面PAC 所以平面POD 平面PAC 在平面POD中 过O作OH PD于H 则OH 平面PAC 连结CH 则CH是OC在平面PAC上的射影 所以 OCH是直线OC和平面PAC所成的角 在 Rt ODA中 OD OA sin30 1 2 在 Rt POD中 OH PO OD PO2 OD2 2 1 2 2 1 4 2 3 用心 爱心 专心 11 在 Rt OHC中 sin OCH OH OC 2 3 故直线OC和平面PAC所成角的正弦值为 2 3 20 本小题满分 12 分 2011 山东 如图 在四棱台ABCD A1B1C1D1中 D1D 平面ABCD底面ABCD是平行四边 形 AB 2AD AD A1B1 BAD 60 1 证明 AA1 BD 2 证明 CC1 平面A1BD 证明 1 证法一 因为D1D 平面ABCD 且BD 平面ABCD 所以D1D BD 又因为AB 2AD BAD 60 在 ABD中 由余弦定理得 BD2 AD2 AB2 2AD ABcos60 3AD2 所以AD2 BD2 AB2 因此AD BD 又AD D1D D 所以BD 平面ADD1A1 又AA1 平面ADD1A1 故AA1 BD 证法二 因为D1D 平面ABCD 且BD 平面ABCD 所以BD DD1 用心 爱心 专心 12 取AB的中点G 连接DG 在 ABD中 由AB 2AD得 AG AD 又 BAD 60 所以 ADG为等边三角形 因此GD GB 故 DBG GDB 又 AGD 60 所以 GDB 30 故 ADB ADG GDB 60 30 90 所以BD AD 又AD D1D D 所以BD 平面ADD1A1 又AA1 平面ADD1A1 故AA1 BD 2 连接AC A1C1 设AC BD E 连接EA1 因为四边形ABCD为平行四边形 所以EC AC 1 2 由棱台定义及AB 2AD 2A1B1知 A1C1 EC且A1C1 EC 所以四边形A1ECC1为平行四边形 因此CC1 EA1 又因为EA1 平面A1BD CC1 平面A1BD 所以CC1 平面A1BD 21 本小题满分 12 分 如图 四边形ABCD是正方形 PB 平面ABCD MA 平面ABCD PB AB 2MA 求证 用心 爱心 专心 13 1 平面AMD 平面BPC 2 平面PMD 平面PBD 证明 1 PB 平面ABCD MA 平面ABCD PB MA PB 平面BPC MA 平面BPC MA 平面BPC 同理 DA 平面BPC MA 平面AMD AD 平面AMD 且MA AD A 平面AMD 平面BPC 2 连接AC 设AC BD E 取PD中点F 连接EF MF ABCD为正方形 E为BD的中点 F为PD的中点 EF綊PB 1 2 AM綊PB AM綊EF 1 2 四边形AEFM为平行四边形 MF AE PB 平面ABCD AE 平面ABCD PB AE MF PB ABCD为正方形 AC BD MF BD 且PB BD B MF 平面PBD 用心 爱心 专心 14 又MF 平面PMD 平面PMD 平面PBD 22 本小题满分 14 分 2011 安徽 如图 ABEDFC为多面体 平面ABED与平面ACFD垂直 点O在线段AD上 OA 1 OD 2 OAB OAC ODE ODF都是正三角形 1 证明直线BC EF 2 求棱锥F OBED的体积 解 1 证明 设G是线段DA与EB延长线的交点 由于 OAB与 ODE都是正三角形 所以OB綊DE OG OD 2 1 2 同理 设G 是线段DA与FC延长线的