2012高中数学 第九章 直线和平面复习（一）教学案 苏教版

用心 爱心 专心1 直线和平面复习 一 直线和平面复习 一 教学目标 1 配合系统复习 进一步培养空间想象力 2 借助平面几何中 三角形的重心 垂心 内心 外心等知识 解决立体几何问 题 教学重点和难点 1 空间想象力的培养 2 分析问题能力与综合运用知识能力的培养 教学设计过程 师 同学们已经很好地完成了知识总结的作业 有些同学还将知识的内在联系用图表 展示出来 也有的同学将各种位置关系用图形语言和符号语言进行归纳和整理 在此一并 提出表扬 我们将把这些总结用展板展示 请同学们互相学习 师 本节课我们将通过一组问题来进行复习 复习的目的之一是进一步培养同学们的 空间想象力 关于空间想象力的问题 在高一年级刚开始时 单纯的想象占主导地位 随着一个学 期的学习 关于线面的各种位置关系及性质研究的深入 单纯的想象力就转化为 在线面 各种位置关系的定义 性质定理指导下的想象 请先看下面一组题目 填空题 1 空间三个平面可能将空间分成 部分 2 正方体各个面所在的平面将空间分成 部分 3 与空间四个点距离相等的平面有 个 4 A B C D 是空间不共面的四点 它们到平面 的距离比 依次 为 2 1 1 1 满足条件的平面 有 个 生 第 1 题空间三个平面可能将空间分成 4 或 6 或 7 或 8 部分 师 请你画图说明你的观点 用心 爱心 专心2 生 作图 师 很好 图 1 图 2 图 3 图 4 依次表示三个平面将空间分成 4 6 7 8 部分 生 第 2 题答案是 27 师 你给同学们解释一下 答案为什么是 27 生 手拿一个粉笔盒 这个粉笔盒近似看成一个正方体 它的上底面与下底之间被 分成 9 部分 同样 上底面上边与下底面下面也各被分成 9 部分 总计正方体各个面所在 的平面将空间分成 27 部分 师 对于第 3 小题 需要先证明下面的命题 线段 AB 与平面 相交 若 AB 中点 C 在平面 上 则点 A 点 B 到平面 的距离相等 生 A 本题的答案为 4 因为经过有公共顶点的三条棱的中点作截面 根据老师刚介绍的引 理 可以证明这样的截面符合条件 如图 5 用心 爱心 专心3 生 B 还有一种情况 刚才生 A 所作平面使已知四个点中有三个在平面的同一侧 另 外一个点在另一侧 我想所作平面两侧各有 2 个点 如图 6 这类平面共有 3 个 即 V A 两点在平面同侧 V B 两点在平面同侧 V C 两点在平面同侧 师 刚才两名同学讲的都很好 相互补充 符合条件的平面共有 7 个 同学们有不同 意见吗 师 刚才两名同学都认为已知四个点不共面 事实上 当这四个点共面时 符合题目 要求的平面有无数个 只要与四点所在平面平行的平面都符合要求 生 老师 如果这四个点共线呢 师 当四个点共线时 只要与这条直线平行的平面均符合条件 这个题目的正确答案 应该是 7 个或无数个 分类讨论的方法不仅在代数课上使用 几何学中也经常使用 此题 就是按照图形的不同位置关系进行分类讨论 我们继续讨论第 4 题 生 我认为仿照第 3 小题的解答 可提出下面引理 若点 A 点 B 师 他的猜测是正确的 这个命题的正确性请同学们课下论证 下面我们讨论第 4 小 题的解法 生 A 分别延长 AB AC AD 至 B1 C1 D1 使 BB1 AB CC1 AC DD1 AD 如图 7 则 平面 就是平面 B1C1D1 生 B 分别在 AB AC AD 上取点 B C D 使得 用心 爱心 专心4 师 分别取 BC CD DA 的中点 E F G 那么经过 EG 的任何一个平面都满足 它与 B C D 三点的距离相等 在这些平面中 经过点 B 或经过 C D 因为 C D CD GE 的平面符合题目要求 图 8 经过 EG 有两个平面符合题意 同样 经过 EF FG 各有两个平面符合题意 综合以上 分析共有 8 个平面符合题目要求 师 问题 5 是否存在一个四面体 它的每个面都是直角三角形 请同学们思考 生 A 我找到一个几何体 它的三个面都是直角三角形 如图 9 AVB BVC CVA 90 生 B 我曾经证过生 A 所给的图中 ABC 是锐角三角形 师 根据两名同学的发言 给我们以下启示 三个面是直角三角形的几个体已经找到 三个直角顶点不能是同一个点 构造 VAB VAC 90 且 BAC 90 再构造 ACB 90 同学们不难证明 VCB 90 生 是根据三垂线定理 用心 爱心 专心5 师 空间想象力在不同时期有不同要求 上面这个问题如果是高一第一学期开始让同 学们作 那就只有想象或动手制做模型 现在解决它 可以借助我们所学的线面位置关系 去寻找解决问题的方法 并且在想象结束时 论证想象的合理性 师 如图 11 正方体 ABCD A1B1C1D1 P Q R 分别在 C1D1 CC1 AB 上 画出截面 PQR 与正方体各面的交线 由公理知 PQ 面 DC1 因为面 AB1 面 DC1 截面与它们相交 交线必平行 根据面 面平行的性质定理 过点 R 在面 AB1中作 PQ 平行线交 AA1于 S PQ 交 DC 于 T TR 交 BC 于 E 连结 EQ 过 S 作 SF EQ 交 A1D1于 F 连 FP 则多边形 PQERSF 的边就是截面 PQR 与 正方体各面的交线 师 同学们请看下面一组题 6 从平面外一点向平面引垂线和斜线 若斜线与平面所成的角都相等 垂足是斜足 多边形的 心 7 直角三角形 ABC 中 C 是直角 AC 6 BC 8 ABC 所在平面外一点 P PA PB PC 13 点 P 到 ABC 所在平面的距离为 生 垂足是斜足多边形的外心 因为从平面外一点向平面引斜线 它们与平面所成角 相等 可以得到它们的长相等 它们在平面内的射影长也相等 师 同学们还可以进一步思考 满足什么条件时 垂足是斜足多边形的内心 垂足有 没有可能成为斜足多边形的重心 垂心 做完一道题目之后 不要满足于题目的本身 能够将条件 结论变换后的有关命题进 行研究 可达到事半功倍 提高能力的效果 师 根据已知条件 第 7 小题中 点 P 在 ABC 所在平面上的射影恰为 ABC 的外 心 由于 ABC 是直角三角形 所以由点 P 引平面 ABC 的垂线 垂足恰为 ABC 斜边 AB 的 中点 你们知道了解题思路吗 生 作 PD 面 ABC 于 D 由 PA PB PC 得 DA DB DC D 是 ABC 外心 又因为 ACB 90 由平面几何知识 得出 D 为 AB 的中点 PA 13 AD 5 PD 12 即点 P 到平面 ABC 的距离为 12 用心 爱心 专心6 师 三角形的垂心 内心 外心 重心的知识在立体几何中经常使用 有一些题目本 身没有明确给出 如第 7 小题 恰到好处地运用四心有关的知识 可简化解题过程 下面一道题目也是与三角形的 心 有关的问题 8 如图 13 正 ABC 边长为 a O 为外心 PO 面 ABC PA PB PC b D E 分别为 AC AB 的中点 且 PA 面 DEFG 求 四边形 DEFG 的面积 由题设我们能得到哪些有用的结论 生 A 因为 PA 面 EFGD 由线面平行的性质可得 EF PA GD PA 所以 EF DG 由 D E 分别是 AB AC 的中点 DE BC 所以 BC 面 DEFG 进一步得出 BC FG 综上 DEFG 是平行四边形 能求出平行四边形 DEFG 的面积 师 到目前为止 已知条件中还有两条没有发挥作用 等边 ABC O 为 ABC 的外心 用心 爱心 专心7 生 C 当 O 为等边三角形外心时 它也是等边 ABC 的垂心 即 BC AO 又 PO 面 ABC 由三垂线定理知 BC PA 已经证明了 EF PA BC