2017年高考数学天津文试题及解析

2017 年天津文年天津文 1 2017 年天津文 设集合 A 1 2 6 B 2 4 C 1 2 3 4 则 A B C A 2 B 1 2 4 C 1 2 4 6 D 1 2 3 4 6 1 B 解析 由题意可得 A B 1 2 4 6 所以 A B C 1 2 4 故选 B 2 2017 天津高考天津高考 设设 x R 则 则 2 x 0 是是 x 1 1 的的 A 充分而不必要条件 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 必要而不充分条件 C 充要条件 充要条件 D 既不充分也不必要条件 既不充分也不必要条件 解析 解析 选选 B 由由 2 x 0 得 得 x 2 由由 x 1 1 得 得 0 x 2 0 x 2 x 2 x 2 0 x 2 故故 2 x 0 是是 x 1 1 的必要而不充分条件 的必要而不充分条件 3 2017 年天津文 有 5 支彩笔 除颜色外无差别 颜色分别为红 黄 蓝 绿 紫 从 这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔 则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A B C D 4 5 3 5 2 5 1 5 3 C 解析 选取两支彩笔的方法有 红黄 红蓝 红绿 红紫 黄蓝 黄绿 黄紫 蓝绿 蓝紫 绿紫 共 10 种 含有红色彩笔的选法有 红黄 红蓝 红绿 红紫 共 4 种 由古典概型的概率计算公式 可得所求概率 P 故选 C 4 10 2 5 4 2017 天津高考天津高考 阅读如图所示的程序框图 运行相应的程序 若输入阅读如图所示的程序框图 运行相应的程序 若输入 N 的值为的值为 24 则输出 则输出 N 的值为的值为 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 解析 选选 C 第一次循环 第一次循环 24 能被能被 3 整除 整除 N 8 3 第二次循环 第二次循环 8 不能被不能被 3 整整 24 3 除 除 N 8 1 7 3 第三次循环 第三次循环 7 不能被不能被 3 整除 整除 N 7 1 6 3 第四次循环 第四次循环 6 能被能被 3 整除 整除 N 2 3 结束循环 结束循环 6 3 故输出故输出 N 的值为的值为 2 5 2017 年天津文 已知双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点为 F 点 A 在双曲线的渐近线 x2 a2 y2 b2 上 OAF 是边长为 2 的等边三角形 O 为原点 则双曲线的方程为 A 1B 1C y2 1D x2 1 x2 4 y2 12 x2 12 y2 4 x2 3 y2 3 5 D 解析 由题意可得解得 a2 1 b2 3 故双曲线方程为 x2 1 故选 D y2 3 6 2017 年天津文 已知奇函数 f x 在 R 上是增函数 若 a f log2 b f log24 1 c f 20 8 则 1 5 a b c 的大小关系为 A a b cB b a cC c b aD c a b 6 C 解析 由题意可得 a f log2 f log25 且 f log25 1 5 log24 1 2 1 20 8 2 所以 log25 log24 1 20 8 结合函数的单调性可得 f log25 f log24 1 f 20 8 即 a b c 即 c b a 故选 C 7 2017 年天津文 设函数 f x 2sin x x R 其中 0 若 f 2 f 5 8 11 8 0 且 f x 的最小正周期大于 2 则 A B 2 3 12 2 3 11 12 C D 1 3 11 24 1 3 7 24 7 A 解析 由题意得其中 k1 k2 Z 所以 k2 2k1 又 T 2 所以 4 3 2 3 2 0 1 所以 1 1 2 12 k 由 得 故选 A 2 3 12 8 2017 天津高考天津高考 已知函数已知函数 f x Error Error 设设 a R 若关于 若关于 x 的不等式的不等式 f x 在在 R 上恒上恒 x 2 a 成立 则成立 则 a 的取值范围是的取值范围是 A 2 2 B 2 2 3 C 2 2 D 2 2 333 解析解析 选选 A 法一 法一 作出作出 f x 的图象如图所示 的图象如图所示 当当 y 的图象经过点的图象经过点 0 2 时 可知时 可知 a 2 x 2 a 当当 y a 的图象与的图象与 y x 的图象相切时 的图象相切时 x 2 2 x 由由 a x 得 得 x2 2ax 4 0 由 由 0 x 2 2 x 并结合图象可得并结合图象可得 a 2 要使要使 f x 恒成立 恒成立 x 2 a 当当 a 0 时 需满足 时 需满足 a 2 即 即 2 a 0 当当 a 0 时 需满足时 需满足 a 2 即 即 0 a 2 综上可知 综上可知 2 a 2 法二 法二 f x 在在 R 上恒成立 上恒成立 x 2 a f x a f x 在在 R 上恒成立 上恒成立 x 2 x 2 令令 g x f x x 2 当当 0 x 1 时 时 f x x 2 g x x 2 x 2 2 x 2 3 2 即即 g x max 2 当当 x 0 时 时 f x x 2 g x x 2 2 x 2 x 2 即即 g x 2 当当 x 1 时 时 f x x g x x x 2 2 x 2 x x 2 3 2 2 x3 即即 g x max 2 3 a 2 令令 h x f x x 2 当当 0 x 1 时 时 f x x 2 h x x 2 2 2 x 2 x 2 即即 h x min 2 当当 x 0 时 时 f x x 2 h x x 2 x 2 2 x 2 3 2 即即 h x 2 当当 x 1 时 时 f x x h x x 2 2 x 2 x x 2 x 2 2 x 即即 h x min 2 a 2 综上可知 综上可知 2 a 2 法三 法三 若若 a 2 则当 则当 x 0 时 时 f 0 2 3 而而 2 不等式不成立 故排除选项 不等式不成立 故排除选项 C D x 2 a 3 若若 a 2 则当 则当 x 0 时 时 f 0 2 而 而 2 不等式不成立 故排除选项 不等式不成立 故排除选项 B 3 x 2 a 3 故选故选 A 此题直接求解难度较大 但也有一定的技巧可取 通过比较四个选项 只需判断此题直接求解难度较大 但也有一定的技巧可取 通过比较四个选项 只需判断 a 2 2是否满足条件即可 这种策略在做选择题时经常用到 是否满足条件即可 这种策略在做选择题时经常用到 33 9 2017 年天津文 已知 a R i 为虚数单位 若为实数 则 a 的值为 a i 2 i 9 2 解析 i 为实数 则 0 a 2 a i 2 i a i 2 i 2 i 2 i 2a 1 a 2 i 5 2a 1 5 a 2 5 a 2 5 10 2017 年天津 已知 a R 设函数 f x ax ln x 的图象在点 1 f 1 处的切线为 l 则 l 在 y 轴上的截距为 解析解析 由题可得 f 1 a 则切点为 1 a 因为 f x a 所以切线 l 的斜率为 f 1 a 1 切 1 x 线 l 的方程为 y a a 1 x 1 令 x 0 可得 y 1 故 l 在 y 轴上的截距为 1 11 2017 年天津文 已知一个正方形的所有顶点在一个球面上 若这个正方体的表面积为 18 则这个球的体积为 11 解析 设正方体的边长为 a 则 6a2 18a 其外接球直径为 2R a 3 故这 9 2 33 个球的体积 V R3 4 3 4 3 27 8 9 2 12 2017 年天津文 设抛物线 y2 4x 的焦点为 F 准线为 l 已知点 C 在 l 上 以 C 为圆心 的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A 若 FAC 120 则圆的方程为 12 x 1 2 y 2 1 解析 由题可设圆心坐标为 C 1 m 则 A 0 m 3 焦点 F 1 0 1 0 1 m cos CAF 解得 AC AF 1 2 m 由于圆 C 与 y 轴的正半轴相切 则 m 所求圆的圆心为 1 半径为 333 1 所求圆的方程为 x 1 2 y 2 1 3 13 2017 年天津文 若 a b R ab 0 则的最小值为 a4 4b4 1 ab 13 4 解析 4ab 2 4 前一个等号成立的条件是 a4 4b4 1 ab 4a2b2 1 ab 1 ab a2 2b2 后一个等号成立的条件是 ab 两个等号可以同时成立 当且仅当 a2 b2 1 2 时取等号 14 2017 年天津文 在 ABC 中 A 60 AB 3 AC 2 若 2 BD DC AE AC R 且 4 则 的值为 AB AD AE 14 解析 由题可得 3 2 cos 60 3 则 3 11 AB AC AD 1 3 AB 2 3 AC AD AE 1 3 AB 2 3 3 4 9 3 4 AC AC AB 3 2 3 1 3 2 3 3 11 15 2017 年天津 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 asin A 4bsin B ac a2 b2 c2 5 1 求 cos A 的值 2 求 sin 2B A 的值 解析解析 1 由 asin A 4bsin B 及正弦定理 得 a 2b 由 ac a2 b2 c2 及余弦定理 得 cos A 5 b2 c2 a2 2bc 2 由 1 可得 sin A 代入 asin A 4bsin B 得 sin B asin A 4b 由 1 知 A 为钝角 所以 cos B 1 sin2B 于是 sin 2B 2sin Bcos B cos 2B 1 2sin2B 4 5 3 5 故 sin 2B A sin 2Bcos A cos 2Bsin A 4 5 3 5 16 2017 年天津 电视台播放甲 乙两套连续剧 每次播放连续剧时 需要播放广告 已知每 次播放甲 乙两套连续剧时 连续剧播放时长 广告播放时长 收视人次如下表所示 连续剧播放时长 分钟 广告播放时长 分钟 收视人次 万 甲70560 乙60525 已知电视台每周安排的甲 乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟 广告的总播放时间 不少于 30 分钟 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍 分别用 x y 表示每 周计划播出的甲 乙两套连续剧的次数 1 用 x y 列出满足题目条件的数学关系式 并画出相应的平面区域 2 问电视台每周播出甲 乙两套连续剧各多少次 才能使收视人次最多 分析分析 1 由甲 乙连续剧总的播放时间不多于 600 分钟 广告时间不少于 30 分 钟 甲连续播放的次数不多于乙连续播放的次数的 2 倍分别列出 x y 满足的不等式 结合 x y 为自然数建立不等式组 再画出平面区域 2 列出目标函数 根据目标函数的几何意义求 出最值 解解 1 由已知 x y 满足的数学关系式为即 70 x 60y 600 5x 5y 30 x 2y x N y N 7x 6y 60 x y 6 x 2y 0 x N y N 该不等式组所表示的平面区域为图 1 中阴影部分内的整点 包括边界 2 设总收视人次为 z 万 则目标函数为 z 60 x 25y 由 z 60 x 25y 得 y x 12 5 z 25 当取得最大值时 z 的值最大 z 25 由图 2 可知当直线 z 60 x 25y 经过可行域上的点 M 时 最大 即 z 最大 z 25 联立解得 M 6 3 7x 6y 60 x 2y 0 所以电视台每周播出甲连续剧 6 次 乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多 17 2017 年天津 如图 在四棱锥 P ABCD 中 AD 平面 PDC AD BC PD PB AD 1 BC 3 CD 4 PD 2 1 求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值 2 求证 PD 平面 PBC 3 求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 解析解析 1 如图 由已知 AD BC DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角 AD 平面 PDC AD PD 在 Rt PDA 中 由已知得 AP AD2 PD25 cos DAP AD AP 异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 2 AD 平面 PDC 直线 PD 平面 PDC AD PD 又 BC AD PD BC 又 PD PB PD 平面 PBC 3 过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F 连接 PF 则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角 PD 平面 PBC PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影 DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角 AD BC DF AB BF AD 1 由已知得 CF BC BF 2 又 AD DC BC DC 在 Rt DCF 中 DF 2 CD2 CF25 在 Rt DPF 中 sin DFP PD DF 直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 18 2017 年天津文 已知 an 为等差数列 前 n 项和为 Sn n N bn 是首项为 2 的等比 数列 且公比大于 0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 S11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 a2nbn 的前 n 项和 n N 18 解 1 设等差数列 an 的公差为 d 等比数列 bn 的公比为 q 由已知 b2 b3 12 得 b1 q q2 12 而 b1 2 所以 q2 q 6 0 又因为 q 0 解得 q 2 所以 bn 2n 由 b3 a4 2a1 可得 3d a1 8 由 S11 11b4 可得 a1 5d 16 联立 解得 a1 1 d 3 由此可得 an 3n 2 所以 an 的通项公式为 an 3n 2 bn 的通项公式为 bn 2n 2 设数列 a2nbn 的前 n 项和为 Tn 由 a2n 6n 2 有 Tn 4 2 10 22 16 23 6n 2 2n 2Tn 4 22 10 23 16 24 6n 8 2n 6n 2 2n 1 上述两式相减 得 Tn 4 2 6 22 6 23 6 2n 6n 2 2n 1 4 6n 2 12 1 2n 1 2 2n 1 3n 4 2n 2 16 得 Tn 3n 4 2n 2 16 所以 数列 a2nbn 的前 n 项和为 3n 4 2n 2 16 19 4 2017 天津高考天津高考 设设 a b R a 1 已知函数已知函数 f x x3 6x2 3a a 4 x b g x exf x 1 求求 f x 的单调区间 的单调区间 2 已知函数已知函数 y g x 和和 y ex的图象在公共点的图象在公共点 x0 y0 处有相同的切线 处有相同的切线 求证 求证 f x 在在 x x0处的导数等于处的导数等于 0 若关于若关于 x 的不等式的不等式 g x ex在区间在区间 x0 1 x0 1 上恒成立 求上恒成立 求 b 的取值范围 的取值范围 解 解 1 由由 f x x3 6x2 3a a 4 x b 可得可得 f x 3x2 12x 3a a 4 3 x a x 4 a 令令 f x 0 解得 解得 x a 或 或 x 4 a 由由 a 1 得 得 a 4 a 当当 x 变化时 变化时 f x f x 的变化情况如下表 的变化情况如下表 x a a 4 a 4 a f x f x 所以所以 f x 的单调递增区间为的单调递增区间为 a 4 a 单调递减区间为 单调递减区间为 a 4 a 2 证明 证明 因为因为 g x ex f x f x 由题意知由题意知Error Error 所以所以Error Error 解得解得Error Error 所以所以 f x 在在 x x0处的导数等于处的导数等于 0 因为因为 g x ex x x0 1 x0 1 由由 ex 0 可得 可得 f x 1 又因为又因为 f x0 1 f x0 0 所以所以 x0为为 f x 的极大值点 结合的极大值点 结合 1 知知 x0 a 另一方面 由于另一方面 由于 a 1 故 故 a 1 4 a 由由 1 知知 f x 在在 a 1 a 内单调递增 在内单调递增 在 a a 1 内单调递减 内单调递减 故当故当 x0 a 时 时 f x f a 1 在在 a 1 a 1 上恒成立 从而上恒成立 从而 g x ex在在 x0 1 x0 1 上恒成立 上恒成立 由由 f a a3 6a2 3a a 4 a b 1 得得 b 2a3 6a2 1 1 a 1 令令 t x 2x3 6x2 1 x 1 1 所以所以 t x 6x2 12x 令令 t x 0 解得解得 x 2 舍去舍去 或或 x 0 因为因为 t 1 7 t 1 3 t 0 1 因此因此 t x 的值域为的值域为 7 1 所以所以 b 的取值范围是的取值范围是 7 1 20 2017 年天津文 已知椭圆 1 a b 0 的左焦点为 F c 0 右顶点为 A 点 x2 a2 y2 b2 E 的坐标为 0 c EFA 的面积为 b2 2 1 求椭圆的离心率 2 设点 Q 在线段 AE 上 FQ c 延长线段 FQ 与椭圆交于点 P 点 M N 在 x 轴上 3 2 PM QN 且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c 四边形