2018--中考压轴题--1.4因动点产生的平行四边形问题

1 4 因动点产生的平行四边形问题因动点产生的平行四边形问题 例 1 2017 年成都市成都市中考第 28 题 如图 1 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax2 2ax 3a a 0 与 x 轴交于 A B 两 点 点 A 在点 B 的左侧 经过点 A 的直线 l y kx b 与y轴负半轴交于点 C 与抛物线 的另一个交点为 D 且 CD 4AC 1 直接写出点 A 的坐标 并求直线 l 的函数表达式 其中 k b 用含 a 的式子表示 2 点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点 若 ACE 的面积的最大值为 求 a 的值 5 4 3 设 P 是抛物线的对称轴上的一点 点 Q 在抛物线上 以点 A D P Q 为顶点 的四边形能否成为矩形 若能 求出点 P 的坐标 若不能 请说明理由 图 1 备用图 例例 2 2017 年陕西省中考第年陕西省中考第 24 题题 如图 1 已知抛物线 C y x2 bx c 经过 A 3 0 和 B 0 3 两点 将这条抛物线的 顶点记为 M 它的对称轴与 x 轴的交点记为 N 1 求抛物线 C 的表达式 2 求点 M 的坐标 3 将抛物线 C 平移到抛物线 C 抛物线 C 的顶点记为 M 它的对称轴与 x 轴的交 点记为 N 如果以点 M N M N 为顶点的四边形是面积为 16 的平行四边形 那么应将 抛物线 C 怎样平移 为什么 图 1 例例 3 2018 年上海市松江区中考模拟第年上海市松江区中考模拟第 24 题题 如图 1 已知抛物线 y x2 bx c 经过 A 0 1 B 4 3 两点 1 求抛物线的解析式 2 求 tan ABO 的值 3 过点 B 作 BC x 轴 垂足为 C 在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N 交抛物线于点 M 若四边形 MNCB 为平行四边形 求点 M 的坐标 图 1 例例 4 2017 年福州市中考第年福州市中考第 21 题题 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向 点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动 动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位 长度的速度运动 过点 P 作 PD BC 交 AB 于点 D 联结 PQ 点 P Q 分别从点 A C 同 时出发 当其中一点到达端点时 另一点也随之停止运动 设运动的时间为 t 秒 t 0 1 直接用含 t 的代数式分别表示 QB PD 2 是否存在 t 的值 使四边形 PDBQ 为菱形 若存在 求出 t 的值 若不存在 说明理 由 并探究如何改变点 Q 的速度 匀速运动 使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形 求点 Q 的速度 3 如图 2 在整个运动过程中 求出线段 PQ 的中点 M 所经过的路径长 图 1 图 2 例例 5 2017 年烟台市中考第年烟台市中考第 26 题题 如图 1 在平面直角坐标系中 已知矩形 ABCD 的三个顶点 B 1 0 C 3 0 D 3 4 以 A 为顶点的抛物线 y ax2 bx c 过点 C 动点 P 从点 A 出发 沿线段 AB 向点 B 运 动 同时动点 Q 从点 C 出发 沿线段 CD 向点 D 运动 点 P Q 的运动速度均为每秒 1 个 单位 运动时间为 t 秒 过点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E 1 直接写出点 A 的坐标 并求出抛物线的解析式 2 过点 E 作 EF AD 于 F 交抛物线于点 G 当 t 为何值时 ACG 的面积最大 最大 值为多少 3 在动点 P Q 运动的过程中 当 t 为何值时 在矩形 ABCD 内 包括边界 存在点 H 使以 C Q E H 为顶点的四边形为菱形 请直接写出 t 的值 图 1 例例 6 2017 年上海市中考第年上海市中考第 24 题题 已知平面直角坐标系 xOy 如图 1 一次函数的图象与 y 轴交于点 A 点 3 3 4 yx M 在正比例函数的图象上 且 MO MA 二次函数 3 2 yx y x2 bx c 的图象经过点 A M 1 求线段 AM 的长 2 求这个二次函数的解析式 3 如果点 B 在 y 轴上 且位于点 A 下方 点 C 在上述二次函数 的图象上 点 D 在一次函数的图象上 且四边形 ABCD 是菱 3 3 4 yx 形 求点 C 的坐标 图 1 例例 7 2017 年江西省中考第年江西省中考第 24 题题 将抛物线 c1 沿 x 轴翻折 得到抛物线 c2 如图 1 所示 2 33yx 1 请直接写出抛物线 c2的表达式 2 现将抛物线 c1向左平移 m 个单位长度 平移后得到新抛物线的顶点为 M 与 x 轴的交点从左到右依次为 A B 将抛物线 c2向右也平移 m 个单位长度 平移后得到新抛 物线的顶点为 N 与 x 轴的交点从左到右依次为 D E 当 B D 是线段 AE 的三等分点时 求 m 的值 在平移过程中 是否存在以点 A N E M 为顶点的四边形是矩形的情形 若存在 请求出此时 m 的值 若不存在 请说明理由 图 1 1 4 因动点产生的平行四边形问题答案因动点产生的平行四边形问题答案 例 1 2017 年成都市成都市中考第 28 题 如图 1 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax2 2ax 3a a 0 与 x 轴交于 A B 两 点 点 A 在点 B 的左侧 经过点 A 的直线 l y kx b 与y轴负半轴交于点 C 与抛物线 的另一个交点为 D 且 CD 4AC 1 直接写出点 A 的坐标 并求直线 l 的函数表达式 其中 k b 用含 a 的式子表示 2 点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点 若 ACE 的面积的最大值为 求 a 的值 5 4 3 设 P 是抛物线的对称轴上的一点 点 Q 在抛物线上 以点 A D P Q 为顶点 的四边形能否成为矩形 若能 求出点 P 的坐标 若不能 请说明理由 图 1 备用图 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名 15 成都 28 拖动点 E 在直线 AD 上方的抛物线上运动 可以 体验到 当 EC AC 时 ACE 的面积最大 点击屏幕左下角的按钮 第 3 题 拖动 点 H 在 y 轴正半轴运动 观察点 Q 和 Q 可以看到点 Q 和点 Q 都可以落在抛物线上 思路点拨思路点拨 1 过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F 那么 AEF 与 CEF 是共底的两个三角形 2 以 AD 为分类标准讨论矩形 当 AD 为边时 AD 与 QP 平行且相等 对角线 AP QD 当 AD 为对角线时 AD 与 PQ 互相平分且相等 满分解答满分解答 1 由 y ax2 2ax 3a a x 1 x 3 得 A 1 0 由 CD 4AC 得 xD 4 所以 D 4 5a 由 A 1 0 D 4 5a 得直线 l 的函数表达式为 y ax a 2 如图 1 过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F 设 E x ax2 2ax 3a F x ax a 那么 EF yE yF ax2 3ax 4a 由 S ACE S AEF S CEF 11 22 EAEC EF xxEF xx 1 2 CA EF xx 2 1 34 2 axaxa 2 1325 228 a xa 得 ACE 的面积的最大值为 解方程 得 25 8 a 255 84 a 2 5 a 3 已知 A 1 0 D 4 5a xP 1 以 AD 为分类标准 分两种情况讨论 如图 2 如果 AD 为矩形的边 那么 AD QP AD QP 对角线 AP QD 由 xD xA xP xQ 得 xQ 4 当 x 4 时 y a x 1 x 3 21a 所以 Q 4 21a 由 yD yA yP yQ 得 yP 26a 所以 P 1 26a 由 AP2 QD2 得 22 26a 2 82 16a 2 整理 得 7a2 1 所以 此时 P 7 7 a 26 7 1 7 如图 3 如果 AD 为矩形的对角线 那么 AD 与 PQ 互相平分且相等 由 xD xA xP xQ 得 xQ 2 所以 Q 2 3a 由 yD yA yP yQ 得 yP 8a 所以 P 1 8a 由 AD2 PQ2 得 52 5a 2 12 11a 2 整理 得 4a2 1 所以 此时 P 1 2 a 14 图 1 图 2 图 3 考点伸展考点伸展 第 3 题也可以这样解 设 P 1 n 如图 2 当 AD 时矩形的边时 QPD 90 所以 即 AMDN MDNP 55 53 an a 解得 所以 P 所以 Q 2 35a n a 2 35 1 a a 3 4 a 将 Q代入 y a x 1 x 3 得 所以 3 4 a 3 21a a 7 7 a 如图 3 当 AD 为矩形的对角线时 先求得 Q 2 3a 由 AQD 90 得 即 解得 AGQK GQKD 32 335 a aa 1 2 a 例例 2 2017 年陕西省中考第年陕西省中考第 24 题题 如图 1 已知抛物线 C y x2 bx c 经过 A 3 0 和 B 0 3 两点 将这条抛物线的 顶点记为 M 它的对称轴与 x 轴的交点记为 N 1 求抛物线 C 的表达式 2 求点 M 的坐标 3 将抛物线 C 平移到抛物线 C 抛物线 C 的顶点记为 M 它的对称轴与 x 轴的交 点记为 N 如果以点 M N M N 为顶点的四边形是面积为 16 的平行四边形 那么应将 抛物线 C 怎样平移 为什么 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名 14 陕西 24 拖动右侧的点 M 上下运动 可以体验到 以点 M N M N 为顶点的平行四边形有四种情况 思路点拨思路点拨 1 抛物线在平移的过程中 M N 与 MN 保持平行 当 M N MN 4 时 以点 M N M N 为顶点的四边形就是平行四边形 2 平行四边形的面积为 16 底边 MN 4 那么高 NN 4 3 M N 4 分两种情况 点 M 在点 N 的上方和下方 4 NN 4 分两种情况 点 N 在点 N 的右侧和左侧 满分解答满分解答 1 将 A 3 0 B 0 3 分别代入 y x2 bx c 得 解得 b 2 c 3 930 3 bc c 所以抛物线 C 的表达式为 y x2 2x 3 2 由 y x2 2x 3 x 1 2 4 得顶点 M 的坐标为 1 4 3 抛物线在平移过程中 M N 与 MN 保持平行 当 M N MN 4 时 以点 M N M N 为顶点的四边形就是平行四边形 因为平行四边形的面积为 16 所以 MN 边对应的高 NN 4 那么以点 M N M N 为顶点的平行四边形有 4 种情况 抛物线 C 直接向右平移 4 个单位得到平行四边形 MNN M 如图 2 抛物线 C 直接向左平移 4 个单位得到平行四边形 MNN M 如图 2 抛物线 C 先向右平移 4 个单位 再向下平移 8 个单位得到平行四边形 MNM N 如图 3 抛物线 C 先向左平移 4 个单位 再向下平移 8 个单位得到平行四边形 MNM N 如图 3 图 2 图 3 考点伸展考点伸展 本题的抛物线 C 向右平移 m 个单位 两条抛物线的交点为 D 那么 MM D 的面积 S 关于 m 有怎样的函数关系 如图 4 MM D 是等腰三角形 由 M 1 4 M 1 m 4 可得点 D 的横坐标为 2 2 m 将代入 y x 1 2 4 得 所以 DH 2 2 m x 2 4 4 m y 2 4 4 m 所以 S 2 3 11 4 2 248 m mmm 图 4 例例 3 2018 年上海市松江区中考模拟第年上海市松江区中考模拟第 24 题题 如图 1 已知抛物线 y x2 bx c 经过 A 0 1 B 4 3 两点 1 求抛物线的解析式 2 求 tan ABO 的值 3 过点 B 作 BC x 轴 垂足为 C 在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N 交抛物线于点 M 若四边形 MNCB 为平行四边形 求点 M 的坐标 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名 13 松江 24 拖动点 N 在直线 AB 上运动 可以体验到 以 M N C B 为顶点的平行四边形有 4 个 符合 MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边 形 MNCB 只有一个 请打开超级画板文件名 13 松江 24 拖动点 N 在直线 AB 上运动 可以体验到 MN 有 4 次机会等于 3 这说明以 M N C B 为顶点的平行四边形有 4 个 而符合 MN 在抛 物线的对称轴的左侧的平行四边形 MNCB 只有一个 思路点拨思路点拨 1 第 2 题求 ABO 的正切值 要构造包含锐角 ABO 的角直角三角形 2 第 3 题解方程 MN yM yN BC 并且检验 x 的值是否在对称轴左侧 满分解答满分解答 1 将 A 0 1 B 4 3 分别代入 y x2 bx c 得 解得 c 1 1 1643 c bc 9 2 b 所以抛物线的解析式是 2 9 1 2 yxx 2 在 Rt BOC 中 OC 4 BC 3 所以 OB 5 如图 2 过点 A 作 AH OB 垂足为 H 在 Rt AOH 中 OA 1 4 sinsin 5 AOHOBC 所以 图 2 4 sin 5 AHOAAOH 所以 3 5 OH 22 5 BHOBOH 在 Rt ABH 中 4222 tan 5511 AH ABO BH 3 直线 AB 的解析式为 1 1 2 yx 设点 M 的坐标为 点 N 的坐标为 2 9 1 2 xxx 1 1 2 xx 那么 22 91 1 1 4 22 MNxxxxx 当四边形 MNCB 是平行四边形时 MN BC 3 解方程 x2 4x 3 得 x 1 或 x 3 因为 x 3 在对称轴的右侧 如图 4 所以符合题意的点 M 的坐标为 如图 9 1 2 3 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 第 3 题如果改为 点 M 是抛物线上的一个点 直线 MN 平行于 y 轴交直线 AB 于 N 如果 M N B C 为顶点的四边形是平行四边形 求点 M 的坐标 那么求点 M 的坐标要考虑两种情况 MN yM yN或 MN yN yM 由 yN yM 4x x2 解方程 x2 4x 3 得 如图 5 27x 所以符合题意的点 M 有 4 个 9 1 2 11 3 2 57 27 2 57 27 2 图 5 例例 4 2017 年福州市中考第年福州市中考第 21 题题 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向 点 C 以每秒 1 个单位长度的速度运动 动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位 长度的速度运动 过点 P 作 PD BC 交 AB 于点 D 联结 PQ 点 P Q 分别从点 A C 同 时出发 当其中一点到达端点时 另一点也随之停止运动 设运动的时间为 t 秒 t 0 1 直接用含 t 的代数式分别表示 QB PD 2 是否存在 t 的值 使四边形 PDBQ 为菱形 若存在 求出 t 的值 若不存在 说明理 由 并探究如何改变点 Q 的速度 匀速运动 使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形 求点 Q 的速度 3 如图 2 在整个运动过程中 求出线段 PQ 的中点 M 所经过的路径长 图 1 图 2 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名 12 福州 21 拖动左图中的点 P 运动 可以体验到 PQ 的中 点 M 的运动路径是一条线段 拖动右图中的点 Q 运动 可以体验到 当 PQ AB 时 四边 形 PDBQ 为菱形 请打开超级画板文件名 12 福州 21 拖动点 Q向上运动 可以体验到 PQ 的中点 M 的运动路径是一条线段 点击动画按钮的左部 Q 的速度变成 1 07 可以体验到 当 PQ AB 时 四边形 PDBQ 为菱形 点击动画按钮的中部 Q 的速度变成 1 思路点拨思路点拨 1 菱形 PDBQ 必须符合两个条件 点 P 在 ABC 的平分线上 PQ AB 先求出点 P 运动的时间 t 再根据 PQ AB 对应线段成比例求 CQ 的长 从而求出点 Q 的速度 2 探究点 M 的路径 可以先取两个极端值画线段 再验证这条线段是不是点 M 的路 径 满分解答满分解答 1 QB 8 2t PD 4 3 t 2 如图 3 作 ABC 的平分线交 CA 于 P 过点 P 作 PQ AB 交 BC 于 Q 那么四边形 PDBQ 是菱形 过点 P 作 PE AB 垂足为 E 那么 BE BC 8 在 Rt ABC 中 AC 6 BC 8 所以 AB 10 在 Rt APE 中 所以 23 cos 5 AE A APt 10 3 t 当 PQ AB 时 即 解得 CQCP CBCA 10 6 3 86 CQ 32 9 CQ 所以点 Q 的运动速度为 321016 9315 3 以 C 为原点建立直角坐标系 如图 4 当 t 0 时 PQ 的中点就是 AC 的中点 E 3 0 如图 5 当 t 4 时 PQ 的中点就是 PB 的中点 F 1 4 直线 EF 的解析式是 y 2x 6 如图 6 PQ 的中点 M 的坐标可以表示为 t 经验证 点 M t 在直 6 2 t 6 2 t 线 EF 上 所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段 EF 的长 EF 2 5 图 4 图 5 图 6 考点伸展考点伸展 第 3 题求点 M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数 当 t 2 时 PQ 的中点为 2 2 设点 M 的运动路径的解析式为 y ax2 bx c 代入 E 3 0 F 1 4 和 2 2 图 3 得 解得 a 0 b 2 c 6 930 4 422 abc abc abc 所以点 M 的运动路径的解析式为 y 2x 6 例例 5 2017 年烟台市中考第年烟台市中考第 26 题题 如图 1 在平面直角坐标系中 已知矩形 ABCD 的三个顶点 B 1 0 C 3 0 D 3 4 以 A 为顶点的抛物线 y ax2 bx c 过点 C 动点 P 从点 A 出发 沿线段 AB 向点 B 运 动 同时动点 Q 从点 C 出发 沿线段 CD 向点 D 运动 点 P Q 的运动速度均为每秒 1 个 单位 运动时间为 t 秒 过点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E 1 直接写出点 A 的坐标 并求出抛物线的解析式 2 过点 E 作 EF AD 于 F 交抛物线于点 G 当 t 为何值时 ACG 的面积最大 最大 值为多少 3 在动点 P Q 运动的过程中 当 t 为何值时 在矩形 ABCD 内 包括边界 存在点 H 使以 C Q E H 为顶点的四边形为菱形 请直接写出 t 的值 图 1 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名 12 烟台 26 拖动点 P 在 AB 上运动 可以体验到 当 P 在 AB 的中点时 ACG 的面积最大 观察右图 我们构造了和 CEQ 中心对称的 FQE 和 ECH 可以体验到 线段 EQ 的垂直平分线可以经过点 C 和 F 线段 CE 的垂直平分线 可以经过点 Q 和 H 因此以 C Q E H 为顶点的菱形有 2 个 请打开超级画板文件名 12 烟台 26 拖动点 P 在 AB 上运动 可以体验到 当 P 在 AB 的中点时 即 t 2 ACG 的面积取得最大值 1 观察 CQ EQ EC 的值 发现以 C Q E H 为顶点的菱形有 2 个 点击动画按钮的左部和中部 可得菱形的两种准确位 置 思路点拨思路点拨 1 把 ACG 分割成以 GE 为公共底边的两个三角形 高的和等于 AD 2 用含有 t 的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来 3 构造以 C Q E H 为顶点的平行四边形 再用邻边相等列方程验证菱形是否存 在 满分解答满分解答 1 A 1 4 因为抛物线的顶点为 A 设抛物线的解析式为 y a x 1 2 4 代入点 C 3 0 可得 a 1 所以抛物线的解析式为 y x 1 2 4 x2 2x 3 2 因为 PE BC 所以 因此 2 APAB PEBC 11 22 PEAPt 所以点 E 的横坐标为 1 1 2 t 将代入抛物线的解析式 y x 1 2 4 1 1 2 xt 2 1 4 4 t 所以点 G 的纵坐标为 于是得到 2 1 4 4 t 22 11 4 4 44 GEtttt 因此 22 111 2 1 244 ACGAGECGE SSSGE AFDFttt 所以当 t 1 时 ACG 面积的最大值为 1 3 或 20 13 t 208 5t 考点伸展考点伸展 第 3 题的解题思路是这样的 因为 FE QC FE QC 所以四边形 FECQ 是平行四边形 再构造点 F 关于 PE 轴对 称的点 H 那么四边形 EH CQ 也是平行四边形 再根据 FQ CQ 列关于 t 的方程 检验四边形 FECQ 是否为菱形 根据 EQ CQ 列关 于 t 的方程 检验四边形 EH CQ 是否为菱形 1 1 4 2 Ett 1 1 4 2 Ft 3 Qt 3 0 C 如图 2 当 FQ CQ 时 FQ2 CQ2 因此 222 1 2 4 2 ttt 整理 得 解得 舍去 2 40800tt 1 208 5t 2 208 5t 如图 3 当 EQ CQ 时 EQ2 CQ2 因此 222 1 2 42 2 ttt 整理 得 所以 舍去 2 13728000tt 1320 40 0tt 1 20 13 t 2 40t 图 2 图 3 例例 6 2017 年上海市中考第年上海市中考第 24 题题 已知平面直角坐标系 xOy 如图 1 一次函数的图象与 y 轴交于点 A 点 3 3 4 yx M 在正比例函数的图象上 且 MO MA 二次函数 3 2 yx y x2 bx c 的图象经过点 A M 1 求线段 AM 的长 2 求这个二次函数的解析式 3 如果点 B 在 y 轴上 且位于点 A 下方 点 C 在上述二次函数 的图象上 点 D 在一次函数的图象上 且四边形 ABCD 是菱 3 3 4 yx 形 求点 C 的坐标 动感体验动感体验 请打开几何画板文件名 11 上海 24 拖动点 B 在 y 轴上点 A 下方运动 四边形 ABCD 保持菱形的形状 可以体验到 菱形的顶点 C 有一次机会落在抛物线上 思路点拨思路点拨 1 本题最大的障碍是没有图形 准确画出两条直线是基本要求 抛物线可以不画出来 但是对抛物线的位置要心中有数 2 根据 MO MA 确定点 M 在 OA 的垂直平分线上 并且求得点 M 的坐标 是整个题 目成败的一个决定性步骤 3 第 3 题求点 C 的坐标 先根据菱形的边长 直线的斜率 用待定字母 m 表示点 图 1 C 的坐标 再代入抛物线的解析式求待定的字母 m 满分解答满分解答 1 当 x 0 时 所以点 A 的坐标为 0 3 OA 3 3 33 4 yx 如图 2 因为 MO MA 所以点 M 在 OA 的垂直平分线上 点 M 的纵坐标为 将 3 2 代入 得 x 1 所以点 M 的坐标为 因此 3 2 y 3 2 yx 3 1 2 13 2 AM 2 因为抛物线 y x2 bx c 经过 A 0 3 M 所以解得 3 1 2 3 3 1 2 c bc 5 2 b 所以二次函数的解析式为 3c 2 5 3 2 yxx 3 如图 3 设四边形 ABCD 为菱形 过点 A 作 AE CD 垂足为 E 在 Rt ADE 中 设 AE 4m DE 3m 那么 AD 5m 因此点 C 的坐标可以表示为 4m 3 2m 将点 C 4m 3 2m 代入 2 5 3 2 yxx 得 解得或者 m 0 舍去 2 3216103mmm 1 2 m 因此点 C 的坐标为 2 2 图 2 图 3 考点伸展考点伸展 如果第 3 题中 把 四边形 ABCD 是菱形 改为 以 A B C D 为顶点的四边形是 菱形 那么还存在另一种情况 如图 4 点 C 的坐标为 7 27 4 16 图 4 例例 7 2017 年江西省中考第年江西省中考第 24 题题 将抛物线 c1 沿 x 轴翻折 得到抛物线 c2 如图 1 所示 2 33y