2018年高考理科数学全国I卷试题及答案

理科数学试题 第 1 页 共 9 页 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写 在答题卡上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设 则 1i 2i 1i z z A B C D 0 1 2 12 2 已知集合 则 2 20 Ax xx A R A B 12 xx 12 xx C D 1 2 x xx x U 1 2 x xx x 3 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地 了解该地区农村的经济收入变化情况 统计了该地区新农村建设前后农村的经济 收入构成比例 得到如下饼图 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 理科数学试题 第 2 页 共 9 页 4 记为等差数列的前项和 若 则 n S n an 324 3SSS 1 2a 5 a A B C D 12 10 1012 5 设函数 若为奇函数 则曲线在点处 32 1 f xxaxax f x yf x 0 0 的切线方程为 A B C D 2yx yx 2yx yx 6 在中 AD 为 BC 边上的中线 E 为 AD 的中点 则ABC EB uur A B 31 44 ABAC uu u ruuu r 13 44 ABAC uu u ruuu r C D 31 44 ABAC uu u ruuu r 13 44 ABAC uu u ruuu r 7 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如右图 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A 圆柱 表 面上的点 N 在左视图上的对应点为 B 则在此圆柱 侧 面上 从 M 到 N 的路径中 最短路径的长度为 A B 2 172 5 C D 32 8 设抛物线的焦点为 过点且斜率为的直线与 C 交于 M N 2 4Cyx F 2 0 2 3 两点 则FM FN uuu r uuu r A B C D 5678 9 已知函数 若存在 2 个零点 则的 e 0 ln 0 x x f x xx g xf xxa g xa 取值范围是 A B C D 1 0 0 1 1 10 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 此图由三个半圆构成 三 个 半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC 直角边 AB AC 的三边ABC 所围成的区域记为 黑色部分记为 其余部分记为 在整个图形中随机取 一点 此点取自 的概率分别记为 则 1 p 2 p 3 p 理科数学试题 第 3 页 共 9 页 A B C D 12 pp 13 pp 23 pp 123 ppp 11 已知双曲线 O 为坐标原点 F 为 C 的右焦点 过 F 的直线与 C 的 2 2 1 3 x Cy 两条渐近线的交点分别为 M N 若为直角三角形 则OMN MN A B C D 3 232 34 12 已知正方体的棱长为 每条棱所在直线与平面所成的角都相等 则截此正方1 体所得截面面积的最大值为 A B C D 3 3 4 2 3 3 3 2 4 3 2 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 若 满足约束条件 则的最大值为 xy 220 10 0 xy xy y 32zxy 14 记为数列的前 n 项和 若 则 n S n a21 nn Sa 6 S 15 从 2 位女生 4 位男生中选 3 人参加科技比赛 且至少有 1 位女生入选 则不同的 选法共有 种 用数字填写答案 16 已知函数 则的最小值是 2sinsin2 f xxx f x 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为 必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 在平面四边形中 ABCD90ADC 45A 2AB 5BD 1 求 cosADB 2 若 求 2 2DC BC 理科数学试题 第 4 页 共 9 页 18 12 分 如图 四边形为正方形 分ABCDEF 别为 的中点 以为折痕把ADBCDF 折起 使点到达点的位置 且DFC CP PFBF 1 证明 平面平面 PEF ABFD 2 求与平面所成角的正弦值 DPABFD 19 12 分 设椭圆的右焦点为 过的直线 与交于 两点 点 2 2 1 2 x Cy FFlCAB 的坐标为 M 2 0 1 当 与轴垂直时 求直线的方程 lxAM 2 设为坐标原点 证明 OOMAOMB 20 12 分 某工厂的某种产品成箱包装 每箱 200 件 每一箱产品在交付用户之前要对产品 作检验 如检验出不合格品 则更换为合格品 检验时 先从这箱产品中任取 20 件作 检验 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概 率都为 且各件产品是否为不合格品相互独立 01 pp 1 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 求的最大值点 f p f p 0 p 2 现对一箱产品检验了 20 件 结果恰有 2 件不合格品 以 1 中确定的作 0 p 为的值 已知每件产品的检验费用为 2 元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要p 对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 若不对该箱余下的产品作检验 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记 为 X 求 EX 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否该对这箱余下的所有 产品作检验 21 12 分 已知函数 1 lnf xxax x 1 讨论的单调性 f x 2 若存在两个极值点 证明 f x 1 x 2 x 12 12 2 f xf x a xx 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所 做的第一题计分 理科数学试题 第 5 页 共 9 页 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系中 曲线的方程为 以坐标原点为极点 轴正xOy 1 C 2yk x x 半轴为极轴建立极坐标系 曲线的极坐标方程为 2 C 2 2 cos30 1 求的直角坐标方程 2 C 2 若与有且仅有三个公共点 求的方程 1 C 2 C 1 C 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 1 1 f xxax 1 当时 求不等式的解集 1a 1f x 2 若时不等式成立 求的取值范围 0 1 x f xx a 绝密 启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一 选择题 1 C 2 B 3 A 4 B 5 D 6 A 7 B 8 D 9 C10 A11 B12 A 二 填空题 13 14 15 16 663 16 3 3 2 三 解答题 17 解 1 在中 由正弦定理得 ABD sinsin BDAB AADB 由题设知 所以 52 sin45sinADB 2 sin 5 ADB 由题设知 所以 90ADB 223 cos1 255 ADB 2 由题设及 1 知 2 cossin 5 BDCADB 在中 由余弦定理得BCD 理科数学试题 第 6 页 共 9 页 222 2cos 2 258252 2 5 25 BCBDDCBD DCBDC 所以 5BC 18 解 1 由已知可得 所以平面 BFPF BFEF BF PEF 又平面 所以平面平面 BF ABFDPEF ABFD 2 作 垂足为 由 1 得 PHEF H 平面 PH ABFD 以为坐标原点 的方向为 y 轴正方HHF uuu r 向 为单位长 建立如图所示的空间直角 BF uu u r 坐标系 Hxyz 由 1 可得 又 DEPE 2DP 所以 又 故 1DE 3PE 1PF 2EF PEPF 可得 3 2 PH 3 2 EH 则 为平面 0 0 0 H 3 0 0 2 P 3 1 0 2 D 33 1 22 DP uuu r 3 0 0 2 HP uuu r 的法向量 ABFD 设与平面所成角为 则 DPABFD 3 3 4 sin 43 HP DP HPDP uuu r uuu r uuu ruuu r 所以与平面所成角的正弦值为 DPABFD 3 4 19 解 1 由已知得 的方程为 1 0 Fl1x 由已知可得 点 A 的坐标为或 2 1 2 2 1 2 理科数学试题 第 7 页 共 9 页 所以 AM 的方程为或 2 2 2 yx 2 2 2 yx 2 当 l 与 x 轴重合时 0OMAOMB 当 l 与 x 轴垂直时 OM 为 AB 的垂直平分线 所以 OMAOMB 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时 设 l 的方程为 1 0 yk xk 11 A x y 则 直线 MA MB 的斜率之和为 22 B xy 1 2x 2 2x 12 12 22 MAMB yy kk xx 由 得 11 ykxk 22 ykxk 1212 12 23 4 2 2 MAMB kx xk xxk kk xx 将代入得 1 yk x 2 2 1 2 x y 2222 21 4220kxk xk 所以 22 1212 22 422 2121 kk xxx x kk 则 333 1212 2 441284 23 40 21 kkkkk kx xk xxk k 从而 故 MA MB 的倾斜角互补 所以 0 MAMB kk OMAOMB 综上 OMAOMB 20 解 1 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 因此 2218 20 C 1 f ppp 218217217 2020 C 2 1 18 1 2C 1 1 10 fpppppppp 令 得 当时 当时 0fp 0 1p 0 0 1 p 0fp 0 1 1 p 0fp 所以的最大值点为 f p 0 0 1p 2 由 1 知 0 1p 令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数 依题意知 180 0 1 YB 即 20225XY 4025XY 所以 4025 4025490EXEYEY 如果对余下的产品作检验 则这一箱产品所需要的检验费为 400 元 由于 故应该对余下的产品作检验 400EX 理科数学试题 第 8 页 共 9 页 21 解 1 的定义域为 f x 0 2 22 11 1 axax fx xxx 若 则 当且仅当 时 所以在2a 0fx 2a 1x 0fx f x 单调递减 0 若 令得 或 2a 0fx 2 4 2 aa x 2 4 2 aa x 当时 22 44 0 22 aaaa x U 0fx 当时 所以在 22 44 22 aaaa x 0fx f x 2 4 0 2 aa 单调递减 在单调递增 2 4 2 aa 22 44 22 aaaa 2 由 1 知 存在两个极值点当且仅当 f x2a 由于的两个极值点 满足 所以 不妨设 f x 1 x 2 x 2 10 xax 12 1x x 12 xx 则 由于 2 1x 1212122 12121212 2 2 lnlnlnln2ln1 122 1 f xf xxxxxx aaa xxx xxxxx x x 所以等价于 12 12 2 f xf x a xx 22 2 1 2ln0 xx x 设函数 由 1 知 在单调递减 又 从 1 2lng xxx x g x 0 1 0g 而当时 1 x 0g x 所以 即 22 2 1 2lnxx x 0 12 12 2 f xf x a xx 22 解 1 由 得的直角坐标方程为cosx siny 2 C 22 1 4xy 2 由 1 知是圆心为 半径为的圆 2 C 1 0 A 2 由题设知 是过点且关于轴对称的两条射线 记轴右边的射线为 1 C 0 2 Byy 1 l 轴左边的射线为 由于在圆的外面 故与有且仅有三个公共点等价于y 2 lB 2 C 1 C 2 C 与只有一个公共点且与有两个公共点 或与只有一个公共点且与 1 l 2 C 2 l 2 C 2 l 2 C 1 l 理科数学试题 第 9 页 共 9 页 有两个公共点 2 C 当与只有一个公共点时 到所在直线的距离为 所以 故 1 l 2 CA 1 l2 2 2 2 1 k k 或 经检验 当时 与没有公共点 当时 与只有 4 3 k 0k 0k 1 l 2 C 4 3 k 1 l 2 C 一个公共点 与有两个公共点 2 l 2 C 当与只有一个公共点时 到所在直线的距离为 所以 故 2 l 2 CA 2