2012年高考数学解析分类汇编（3）---概率 理

用心 爱心 专心1 20122012 年高考真题理科数学解析汇编 概率年高考真题理科数学解析汇编 概率 一 选择题 1 2012 年高考 辽宁理 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点C 现作 一矩形 领边长分别等于线段 AC CB 的长 则该矩形面积小于 32cm2的概率为 A 1 6 B 1 3 C 2 3 D 4 5 2 2012 年高考 湖北理 如图 在圆心角为直角的扇形OAB中 分别以OA OB为直 径作两个半圆 在扇形OAB 内随机取一点 则此点取自阴影部分的概率是 A 2 1 B 11 2 C 2 D 1 3 2012 年高考 广东理 概率 从个位数与十位数之和为奇数的两 位数中任取一个 其个位数为 0 的概率是 A 4 9 B 1 3 C 2 9 D 1 9 4 2012 年高考 北京理 设不等式组 02 02 x y 表示的平面区域为D 在区 域 D 内随机取一个点 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 A 4 B 2 2 C 6 D 4 4 5 2012 年高考 上海理 设 4 4321 1010 xxxx 5 5 10 x 随机变量 1 取值 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x的概率均为 0 2 随机变量 2 取值 2 21 xx 2 32 xx 2 43 xx 2 54 xx 2 15 xx 的概率也为 0 2 若记 1 D 2 D分别为 1 2 的方差 则 A 1 D 2 D B 1 D 2 D C 1 D 2 D而迅即攻下此题 二 填空题 6 解析 设概率p n k 则27 2 3 2 3 2 3 CCCn 求k 分三步 选二人 让他们选择的 项目相同 有 2 3 C种 确定上述二人所选择的相同的项目 有 1 3 C种 确定另一人所选 的项目 有 1 2 C种 所以18 1 2 1 3 2 3 CCCk 故p 3 2 27 18 7 14 15 8 答案 3 5 考点 等比数列 概率 解析 以 1 为首项 3 为公比的等比数列的10 个数为 1 3 9 27 其中有 5 个负数 1 个正数 1 计 6 个数小于8 从这 10 个数中随机抽取一个数 它小于 8 的概率是 63 105 9 解析 使用寿命超过 1000 小时的概率为 3 8 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 2 1000 50 N 得 三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 1 2 p 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 2 1 3 1 1 4 Pp 用心 爱心 专心12 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 21 3 8 ppp 三 解答题 10 命题意图 本小题主要考查古典概型及其计算公式 互斥事件 事件的相互独立性 离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识 考查运用概率知识解决简单实际问题 的能力 依题意 这 4 个人中 每个人去参加甲游戏的概率为 1 3 去参加乙游戏的概率为 2 3 设 这 4 个人中恰有i人去参加甲游戏 为事件 0 1 2 3 4 i A i 则 4 4 12 33 iii i P AC 1 这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 222 24 128 3327 P AC 2 设 这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数 不事件B 则 34 BAA 由于 3 A与 4 A互斥 故 3344 3444 1211 3339 P BP AP ACC 所以这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 1 9 3 的所有可能的取值为0 2 4 由于 1 A与 3 A互斥 0 A与 4 A互斥 故 21304 84017 0 2 4 278181 PP APP AP APP AP A 所以 的分布列为 024 p 8 27 40 81 17 81 随机变量 的数学期望 84017148 024 27818181 E 点评 应用性问题是高考命题的一个重要考点 近年来都通过概率问题来考查 且常 考常新 对于此类考题 要注意认真审题 从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质 将 问题成功转化为古典概型 独立事件 互斥事件等概率模型求解 因此对概率型应用性 问题 理解是基础 转化是关键 11 解析 1 当16n 时 16 105 80y 当15n 时 55 16 1080ynnn 得 1080 15 80 16 nn ynN n 用心 爱心 专心13 2 i X可取60 70 80 60 0 1 70 0 2 80 0 7P XP XP X X的分布列为 X607080 P0 10 20 7 60 0 1 70 0 280 0 776EX 222 160 1 60 240 744DX ii 购进 17 枝时 当天的利润为 14 53 5 0 1 15 52 5 0 2 16 5 1 5 0 16 17 5 0 5476 4y 76 476 得 应购进 17 枝 12 解析 本题主要考察分布列 数学期望等知识点 X的可能取值有 3 4 5 6 3 5 3 9 5 3 42 C P X C 21 54 3 9 20 4 42 C C P X C 12 54 3 9 15 5 42 C C P X C 3 4 3 9 2 6 42 C P X C 故 所求X的分布列为 X3456 P 5 42 2010 4221 155 4214 21 4221 所求X的数学期望E X 为 E X 6 4 13 3 i i P Xi 答案 见解析 13 3 13 考点定位 本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率 考查运用 概率知识解决实际问题的能力 相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响 注意应 用相互独立事件同时发生的概率公式 解 设 kk A B分别表示甲 乙在第k次投篮投中 则 1 3 k P A 1 2 k P B 1 2 3k 1 记 甲获胜 为事件 C 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的 概率计算公式知 111211223 P CP AP A B AP A B A B A 111211223 P AP A P B P AP A P B P AP BP A 用心 爱心 专心14 22 1211211 3323323 11113 392727 2 的所有可能为 1 2 3 由独立性知 111 1212 1 3323 PP AP AB 22 1121122 211212 2 323329 PP A B AP A B A B 22 1122 211 3 329 PP A B A B 综上知 有分布列 123 P 2 3 2 9 1 9 从而 22113 123 3999 E 次 14 解析 1 设 至少有一个系统不发生故障 为事件 C 那么 1 1 P C 1 10 1 P 50 49 解得 P 5 1 4 分 2 由题意 P 0 1000 1 10 1 30 3 C P 1 1000 27 10 1 1 10 1 21 3 C P 2 1000 243 10 1 1 10 1 22 3 C P 3 1000 729 10 1 1 10 1 303 3 C 所以 随机变量 的概率分布列为 0123 P 1000 1 1000 27 1000 243 1000 729 故随机变量 X 的数学期望为 E 0 10 27 1000 729 3 1000 243 2 1000 27 1 1000 1 0 用心 爱心 专心15 点评 本小题主要考查相互独立事件 独立重复试验 互斥事件 随机变量的分布列 数学期望等概念及相关计算 考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力 15 解析 设Y表示顾客办理业务所需的时间 用频率估计概率 得Y的分布列如下 Y12345 P0 10 40 30 10 1 1 A表示事件 第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务 则事件 A 对应三种情形 第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟 且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分 钟 第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟 且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟 所以 1 3 3 1 2 2 P AP YP YP YP YP YP Y 0 1 0 30 3 0 1 0 4 0 40 22 2 解法一 X所有可能的取值为0 1 2 0X 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟 所以 0 2 0 5P XP Y 1X 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时 间超过 1 分钟 或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟 所以 1 1 1 2 P XP YP YP Y 0 1 0 90 40 49 2X 对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟 所以 2 1 1 0 1 0 10 01P XP YP Y 所以X的分布列为 X012 P0 50 490 01 0 0 5 1 0 492 0 010 51EX 解法二 X所有可能的取值为0 1 2 0X 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟 所以 0 2 0 5P XP Y 2X 对应两个顾客办理业务所需时间均为 1 分钟 所以 2 1 1 0 1 0 10 01P XP YP Y 1 1 0 2 0 49P XP XP X 所以X的分布列为 X012 P0 50 490 01 用心 爱心 专心16 0 0 5 1 0 492 0 010 51EX 16 解析 36 7 3 2 3 1 4 1 3 1 4 3 1 2 2 CP 5 4 3 2 1 0 X 9 1 3 2 3 1 4 1 2 12 1 3 1 4 3 1 36 1 3 1 4 1 0 1 2 22 CXPXPXP 3 1 3 2 4 3 5 9 1 3 2 4 1 4 3 1 3 2 3 1 4 3 3 221 2 XPXPCXP X012345 P 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 1 EX 0 36 1 1 12 1 2 9 1 3 3 1 4 9 1 5 3 1 12 5 3 12 41 17 答案及解析 I 由频率颁布直方图可知 在抽取的 100 人中 体育迷 有 25 人 从而 2 2 列联表 如下 由 2 2 列联表中数据代入公式计算 得 因为 3 030 3 841 所以 没有理由认为 体育迷 与性别有关 II 由频率颁布直方图知抽到 体育迷 的频率为 0 25 将频率视为概率 即从观众中 抽取一名 体育迷 的概率为 1 4 由题意 从而 X 的分布列为 用心 爱心 专心17 点评 本题主要考查统计中的频率分布直方图 独立性检验 离散型随机变量的分 布列 期望 E X和方差 D X 考查分析解决问题的能力 运算求解能力 难度适中 准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键 18 解析 解 1 从 6 个点中随机地选取 3 个点共有 3 6 20C 种选法 选取的 3 个点与原点 O 在同 一个平面上的选法有 13 34 12C C 种 因此 V 0 的概率 123 0 205 P V 2 V 的所有可能值为 1 1 2 4 0 6 3 3 3 因此 V 的分布列为 V0 1 6 1 3 2 3 4 3 P 3 5 1 20 3 20 3 20 1 20 由 V 的分布列可得 EV 3111323419 0 562032032032040 点评 本题考查组合数 随机变量的概率 离散型随机变量的分布列 期望等 高考 中 概率解答题一般有两大方向的考查 一 以频率分布直方图为载体 考查统计学中常 见的数据特征 如平均数 中位数 频数 频率等或古典概型 二 以应用题为载体 考查 条件概率 独立事件的概率 随机变量的期望与方差等 来年需要注意第一种方向的考查 19 答案 解 1 若两条棱相交 则交点必为正方体 8 个顶点中的一个 过任意 1 个顶点 恰有 3 条棱 共有 2 3 8C对相交棱 2 3 2 12 88 34 0 6611 C P C 2 若两条棱平行 则它们的距离为 1 或2 其中距离为2的共有6 对 2 12 661 2 6611 P C 416 1 1 0 2 1 1111 11 PPP 用心 爱心 专心18 随机变量 的分布列是 01 2 P 4 11 6 11 1 11 其数学期望 6162 12 111111 E 考点 概率分布 数学期望等基础知识 解析 1 求出两条棱相交时相交棱的对数 即可由概率公式求得概率 0 P 2 求出两条棱平行且距离为2的共有6 对 即可求出 2 P 从而求出 1 P 两 条棱平行且距离为 1 和两条棱异面 因此得到随机变量 的分布列 求出其数学期望 20 解析 1 由已知 得251055 35 yxy 所以15 20 xy 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 所以收集的 100 位顾客一次购物的 结算时间可视为总体的一个容量随机样本 将频率视为概率得 153303251 1 1 5 2 10020100101004 p Xp Xp X 201101 2 5 3 100510010 p Xp X X的分布为 X11 522 53 P 3 20 3 10 1 4 1 5 1 10 X 的数学期望为 33111 11 522 531 9 20104510 E X 记 A 为事件 该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟 1 2 i X i 为该顾客前面 第i位顾客的结算时间 则 121212 11 11 5 1 51 P AP XXP XXP XX 且且且 由于顾客的结算相互独立 且 12 XX的分布列都与 X 的分布列相同 所以 121212 1 1 1 1 5 1 5 1 P AP XP XP XP XP XP X 来源 2 3333339 20202010102080 故该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率为 9 80 用心 爱心 专心19 点评 本题考查概率统计的基础知识 考查分布列及数学期望的计算 考查运算能力 分析问题能力 第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55 知 2510100 55 35 yxy 从而解得 x y 计算每一个变量对应的概率 从而 求得分布列和期望 第二问 通过设事件 判断事件之间互斥关系 从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率 21 考点分析 本题考察条件概率 离散型条件概率分布列的期望 与方差 解析 由已知条件和概率的加法公式有 300 0 3 P X 300700 700 300 0 70 30 4PXP XP X 700900 900 700 0 90 70 2PXP XP X 900 1 900 10 90 1P XP X 所以Y的分布列为 于是 00 320 460 2100 13E Y 2222 03 0 3 23 0 4 63 0 2 103 0 19 8D Y 故工期延误天数Y的均值为 3 方差为9 8 由概率的加法公式 300 1 300 0 7P XP X 又 300900 900 300 0 90 30 6PXP XP X 由条件概率 得 6300 900300 P YXP XX 300900 0 66 300 0 77 PX P X 故在降水量X至少是300mm 的条件下 工期延误不超过 6 天的概率是 6 7 22 解析 由 0 006 30 010 054101x 解得0 018x 分数在 80 90 90 100的人数分别是500 018 109 人 500 006 103 人 所以 的取值为 0 1 2 02 39 2 12 366 0 6611 C C P C 11 39 2 12 279 1 6622 C C P C 20 39 2 12 31 2 6622 C C P C 所以 的数学期望是 691111 012 112222222 E Y02610 P0 30 40 20 1 A B C D P E F 图图 G5 3 4 用心 爱心 专心20 23 考点定位 本题主要考查古典概型 互斥事件的概率 离散型随机变量的分布列 数学期望等基础知识 考查数据处理能力 应用意识 考查必然与或然思想 解 1 设 品牌轿车甲首次出现故障在保修期内 为事件A 则 231 5010 P A 2 依题意 12 XX的分布列分别如下 1 X 123 p 1 25 3 50 9 10 3 由 2 得 1 139 1232 86 255010 E X 2 19 1 82 92 79 1010 E X 12 E XE X 所以应生产甲品牌的轿车 24 命题意图 本试题主要是考查了独立事件的概率的求解 以及分布列和期望值的问题 首 先要理解发球的具体情况 然后对于事件的情况分析 讨论 并结合独立事件的概率求 解结论 解 记 i A 为事件 第 i 次发球 甲胜 i 1 2 3 则 123 0 6 0 6 0 4P AP AP A 事件 开始第4次发球时 甲 乙的比分为1比2 为 123123123 A A AA A AA A A 由 互斥事件有一个发生的概率加法公式得 1231