插值与拟合习题课

一 已知一 已知在在的值分别为的值分别为 分 分 sin x30 45 60 123 222 别用一次插值和二次插值求别用一次插值和二次插值求的近似值 并估的近似值 并估 sin50 计截断误差计截断误差 解 一次插值时 取靠近解 一次插值时 取靠近的两个角度的两个角度作节作节50 45 60 点 将点 将角度化为弧度角度化为弧度为为 此时有 此时有 5 18 4 3 1 23 34 22 4334 xx Lx 1 55 sin50sin0 760080 1818 L 由截断误差公式由截断误差公式 1 01 1 n nn f Rxxxxxxx n 有有 101 2 f R xxxxx 代入值即得代入值即得 1 5155 sin0 00659516 1823184183 R 二次插值时 取二次插值时 取 此时有 此时有012 643 xxx 2 123436364 222 646346433634 xxxxxx L x 55 sin50sin 0 765434 1818 L 其截断误差为其截断误差为 3 51555 cos 183 6186184183 1555 0 767382 10 3 186184183 R 二 设二 设且且 求证 求证 2 f xC a b 0f af b 2 1 max max 8 a x ba x b f xbafx 证 以证 以 a b 为插值节点进行线性插值 有为插值节点进行线性插值 有 1 2 f f xL xxa xba b 因为因为 有 有1 0 xbxa L xf af b abba 2 f f xxa xba b 进而进而 1 max max max 2 a x ba x ba x b f xfxxa xb 2 1 max 8 a x b bafx 因为函数因为函数在在处取最大值 处取最大值 xa xb 1 2 xab 三 给出概率积分三 给出概率积分的数表的数表 2 0 2 x x f xdx e x 0 460 460 470 470 480 480 490 49 f x 0 48465550 48465550 49374520 49374520 50274980 50274980 51166830 5116683 用二次插值计算用二次插值计算 1 1 当当 x 0 472 0 472 时 积分值等于多少 时 积分值等于多少 2 2 当当 x 为何值时积分值为为何值时积分值为 0 50 5 解 解 1 1 选最接近 选最接近 0 4720 472 的前三个节点的前三个节点 x0 0 46 x1 0 47 x2 0 48 有二次插值有二次插值 0212 201 01021012 01 2 2021 xxxxxxxx lxf xf x xxxxxxxx xxxx f x xxxx 带入数值 有带入数值 有 2 0 472 0 495552928l 2 0 472 0 472 0 495552928fl 故有当故有当 x 0 472 时 积分值等于时 积分值等于 0 495552928 2 原函数连续单调 可用反插值法计算 原函数连续单调 可用反插值法计算 将将 x 看成看成 y 的函数 即的函数 即 用二次插值计 用二次插值计 xy 算 算 x 0 460 460 470 470 480 480 490 49 f x 0 48465550 48465550 49374520 49374520 50274980 50274980 51166830 5116683 选距函数值在选距函数值在 0 50 5 最近的三个节点最近的三个节点 0 4937452 0 4937452 0 50274 0 5027498 0 y 1 y 0 51166830 5116683 2 y 及对应的自变量值为及对应的自变量值为 0 47 0 47 0 48 0 48 0 49 0 49 有有0 x 1 x 2 x 0212 201 01021012 01 2 2021 yyyyyyyy lyxx yyyyyyyy yyyy x yyyy 有有 2 0 5 0 47692924xl 故当故当时 积分值