江苏省连云港高级中学2012-2013学年高三数学上学期第三次联考试卷（含解析）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年江苏省连云港高级中学高三 上 第三次联考数学学年江苏省连云港高级中学高三 上 第三次联考数学 试卷试卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分 不需要写出解答过程 请把答案分 不需要写出解答过程 请把答案 直接填在答题卡相应位置上 直接填在答题卡相应位置上 1 5 分 集合 0 1 2 的所有子集个数为 8 考点 子集与真子集 专题 计算题 分析 根据题意 易得集合 M 中有 3 个元素 由集合的元素数目与其子集数目的关系 可 得答案 解答 解 集合 0 1 2 中有 3 个元素 则其子集有 23 8 个 故答案为 8 点评 本题考查集合的元素数目与其子集数目的关系 牢记若一个集合有 n 个元素 则其 有 2n个子集 2 5 分 设 2 i z 5i i 为虚数单位 则 z 考点 复数求模 专题 计算题 分析 把给出的等式两边同时乘以 然后运用复数的除法运算化简 最后利用求复数 模的公式求模 解答 解 复数 z 满足 2 i z 5i i 为虚数单位 z 1 2i 则 z 故答案为 点评 本题考查复数的模的定义 考查了复数的乘除法运算 复数的除法 采用分子分母 同时乘以分母的共轭复数 此题是基础题 2 3 5 分 2011 徐州模拟 在某个容量为 300 的样本的频率分布直方图中 共有 9 个小 长方形 若中间一个小长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积和的 则中间一组的频 数为 50 考点 频率分布直方图 专题 计算题 分析 由已知中频率分布直方图中 共有 9 个小长方形 若中间一个小长方形的面积等于 其他 8 个小长方形面积和的 根据这 9 个小正方形的面积 频率 和为 1 进而求 出该组的频率 进而根据频数 频率 样本容量 即可得到中间一组的频数 解答 解 由于中间一个小长方形的面积等于其他 8 个小长方形面积和的 这 9 个长方形的面积和为 1 故中间一个小长方形的面积等于 即中间一组的频率为 双有样本容量为 300 故中间一组的频数为 300 50 故答案为 50 点评 本题考查的知识点是频率分布直方图 其中根据已知条件结合频率分布直方图中各 矩形面积的和为 1 求出中间一组的频率 是解答本题的关键 4 5 分 2011 南通一模 根据如图的算法 输出的结果是 55 考点 伪代码 专题 阅读型 分析 先读懂程序的算法 再据算法规则依次算出结果 可以看出这是一个 for 循环结构 循环执行 10 此 依其特点求解即可 解答 解 程序是一个循环结构 步长是 1 每循环一次就加进 i 初始 i 1 可循环十次 故 S 0 1 2 3 10 55 3 故答案为 55 点评 本题主要考查算法语言的结构 此类题的做法通常是把值代入 根据其运算过程求 出值 属于基础题 5 5 分 2011 西安模拟 设变量 x y 满足约束条件 则 z x 3y 的最小值 8 考点 简单线性规划 专题 计算题 分析 作出变量 x y 满足约束条件所对应的平面区域 采用直线平移的方法 将直线 l 平移使它经过区域上顶点 A 2 2 时 目标函数达到最小值 8 解答 解 变量 x y 满足约束条件所对应的平面区域为 ABC 如图 化目标函数 z x 3y 为 将直线 l 平移 因为直线 l 在 y 轴上的截距为 所以直线 l 越向上移 直线 l 在 y 轴上的截距越大 目标函数 z 的值就越小 故当直线经过区域上顶点 A 时 将 x 2 代入 直线 x 2y 2 得 y 2 得 A 2 2 将 A 2 2 代入目标函数 得达到最小值 zmin 2 3 2 8 故答案为 8 点评 本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题 看准直线在 y 轴上的截距的与 目标函数 z 符号的异同是解决问题的关键 4 6 5 分 2011 江苏模拟 已知 表示两个不同的平面 m 为平面 内的一条直线 则 是 m 的 必要不充分 条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 空间中直线与平面之间的位置关系 平面 与平面之间的位置关系 分析 直线和平面垂直 平面和平面垂直的判定 二者的关系搞清楚 解答 解 由平面与平面垂直的判定定理知 m 为平面 内的一条直线 如果 m 则 反过来 m 为平面 内的一条直线 则 可能有 m m p 可能有 m 三种情况 所以 是 m 的必要不充分条件 故答案为 必要不充分 点评 考查定理的理解 分析问题时 考虑要全面 有时可以借助实物 动手动脑 简化 问题 7 5 分 2011 江苏二模 若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m n 作为点 P 的坐标 则点 P 落在圆 x2 y2 16 内的概率是 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 计算题 分析 本题是一个古典概型 试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数 m n 作为点 P 的坐标 共有 6 6 种结果 而满足条件的事件是点 P 落在圆 x2 y2 16 内 列举出落在圆内的情况共有 8 种结果 求比值得到结果 解答 解 由题意知 本题是一个古典概型 试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数 m n 作为点 P 的坐标 共有 6 6 36 种结果 而满足条件的事件是点 P 落在圆 x2 y2 16 内 列举出落在圆内的情况 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 共有 8 种结果 根据古典概型概率公式得到 P 故答案为 点评 本题是一个古典概型问题 这种问题在高考时可以一道解答题 古典概型要求能够 列举出所有事件和发生事件的个数 本题可以列举出所有事件 8 5 分 已知 则 tan 5 考点 两角和与差的正切函数 专题 计算题 分析 把已知 直接代入 tan tan 利 用两角差的正切公式运算求得结果 解答 解 已知 则 tan tan 故答案为 点评 本题主要考查两角差的正切公式的应用以及角的变换 属于基础题 9 5 分 2011 扬州模拟 在平面直角坐标系 xOy 中 已知 A B 分别是双曲线 的左 右焦点 ABC 的顶点 C 在双曲线的右支上 则的值是 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 分析 首先由正弦定理 可得 进而根据双曲线的几何性质 可得 AB 2c 4 CB CA 2a 2 代入中 可得答案 解答 解 根据正弦定理 在 ABC 中 有 又由题意 A B 分别是双曲线的左 右焦点 则 AB 2c 4 且 ABC 的顶点 C 在双曲线的右支上 又可得 CB CA 2a 2 故则 故答案为 点评 本题考查双曲线的几何性质 注意点 C 在双曲线的右支上 则有 CA CB 即 6 CB CA 2a 这是一个易错点 10 5 分 如图 在 ABC 中 BAC 120 AB AC 2 D 为 BC 边上的点 且 0 2 则 1 考点 向量加减混合运算及其几何意义 专题 平面向量及应用 分析 由题意可知 且 D 为 BC 中点 B C 30 且易求得 AD 1 而 代入可得结果 解答 解 由题意可知 且 D 为 BC 中点 B C 30 故在直角三角形 ABD 中可求得 AD 1 1 故答案为 1 点评 本题为向量的数量积的运算 把向量适当转化时解决问题的关键 属基础题 11 5 分 已知 若对任意两个不等的正实数 m n 都有 3 恒成立 则实数 a 的取值范围是 a 考点 函数的单调性与导数的关系 专题 导数的概念及应用 分析 由题意易得 f x 3 恒成立 求导数 分离 a 只需求 x 3 x 的最小值即 可 解答 解 因为对任意两个不等的正实数 m n 都有 3 恒成立 所以函数 f x 图象上每点切线的斜率 3 恒成立 故 f x 3 恒成立 7 又已知 定义域为 0 求导数可得 故 3 恒成立 所以 a x 3 x 恒成立 只需求 x 3 x 的最小值 而当 x 时 x 3 x min 故答案为 a 点评 本题考查函数的单调性和导数的关系 涉及恒成立问题 属中档题 12 5 分 设 a 0 函数 f 的最小值为 25 则 实数 a 16 考点 三角函数的最值 专题 三角函数的求值 分析 由题意可得 cos 0 0 函数 f cos 1 cos 1 a 利用基本不等式求得最小值 为 1 a 2 25 由此求得实数 a 的值 解答 解 a 0 cos 0 0 函数 f cos 1 cos 1 a 1 a 2 当且仅当 时 取等号 故函数的最小值为 1 a 2 25 解得 a 16 故答案为 16 点评 本题主要考查基本不等式的应用 求函数的最值 属于中档题 13 5 分 已知数列 an bn 满足 a1 1 a2 2 b1 2 且对任意的正整数 i j k l 当 i j k l 时 都有 ai bj ak bl 则的值是 2014 考点 数列的求和 8 专题 计算题 点列 递归数列与数学归纳法 分析 先求出 b2的值 然后分别判定数列 an bn 的特征 然后利用求和公式分别求出 两数列的和 将 2012 代入求出所求即可 解答 解 对任意的正整数 m n p q 当 m n p q 时 都有 am bn ap bq a2 b1 a1 b2 将 a1 1 a2 2 b1 2 代入可得 b2 3 1 n 1 2 n a1 bn 1 a2 bn 即 bn 1 bn 1 数列 bn 是等差数列首项为 1 公差为 1 则 Tn n 1 1 n 2 an 1 b1 an b2 则 an 1 an 1 数列 an 是等差数列首项为 2 公差为 1 则 Sn S2012 T2012 1006 2015 1006 2013 2014 故答案为 2014 点评 本题主要考查了数列的求和 以及数列的判定 同时考查了计算能力 属于中档题 14 5 分 2011 延安模拟 我们把形如的函数因其图象类 似于汉字 囧 字 故生动地称为 囧函数 并把其与 y 轴的交点关于原点的对称点称为 囧点 以 囧点 为圆心凡是与 囧函数 有公共点的圆 皆称之为 囧圆 则当 a 1 b 1 时 所有的 囧圆 中 面积的最小值为 3 考点 直线和圆的方程的应用 专题 计算题 新定义 分析 根据已知中关于 囧函数 囧点 囧圆 的定义 根据 a 1 b 1 我们易求出 囧点 坐标 并设出 囧圆 的方程 根据求出圆心到 囧函数 图象上的最小 距离后 即可得到结论 解答 解 当 a 1 b 1 时 则函数 与 Y 轴交于 0 1 点 则 囧点 坐标为 0 1 令 囧圆 的标准方程为 x2 y 1 2 r2 令 囧圆 与函数 图象的左右两支相切 则切点坐标为 9 此时 r 令 囧圆 与函数 图象的下支相切 则切点坐标为 0 1 此时 r 2 故所有的 囧圆 中 面积的最小值为 3 故答案为 3 点评 本题考查的知识点是抽象函数及其应用 其中根据 囧圆 的圆心坐标及 囧函数 的解析式 求出 囧圆 的圆心到函数图象距离的最小值是解答本题的关键 属中 档题 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 9090 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 说明 证明过程或演算步骤 15 14 分 2009 台州二模 已知函数 1 求函数 f x 的单调增区间 2 已知 f 3 且 0 求 的值 考点 正弦函数的单调性 三角函数的化简求值 专题 计算题 分析 先把函数进行化简 f x 2sin 2 1 解不等式可求 2 把已知代入可得 求解即可 解答 解 1 由 得 函数 f x 的单调增区间为 2 由 f 3 得 或 k1 k2 Z 即 k1 或 k1 k2 Z 0 10 点评 本题考查了三角函数的性质 单调性 还考查了三角公式中的二倍角及和差角公式 的综合运用 在处理三角函数的单调区间的问题时 常用整体思想 类比正 余 弦函数的性质 16 14 分 2012 南京二模 如图 四边形 ABCD 是矩形 平面 ABCD 平面 BCE BE EC 1 求证 平面 AEC 平面 ABE 2 点 F 在 BE 上 若 DE 平面 ACF 求的值 考点 平面与平面垂直的判定 直线与平面平行的性质 专题 综合题 空间位置关系与距离 分析 1 根据平面 ABCD 平面 BCE 利用面面垂直的性质可得 AB 平面 BCE 从而可得 CE AB 由 CE BE 根据线面垂直的判定可得 CE 平面 ABE 从而可得平面 AEC 平面 ABE 2 连接 BD 交 AC 于点 O 连接 OF 根据 DE 平面 ACF 可得 DE OF 根据 O 为 BD 中点 可得 F 为 BE 中点 从而可得结论 解答 1 证明 因为 ABCD 为矩形 所以 AB BC 因为平面 ABCD 平面 BCE 平面 ABCD 平面 BCE BC AB 平面 ABCD 所以 AB 平面 BCE 3 分 因为 CE 平面 BCE 所以 CE AB 因为 CE BE AB 平面 ABE BE 平面 ABE AB BE B 所以 CE 平面 ABE 6 分 因为 CE 平面 AEC 所以平面 AEC 平面 ABE 8 分 2 解 连接 BD 交 AC 于点 O 连接 OF 因为 DE 平面 ACF DE 平面 BDE 平面 ACF 平面 BDE OF 所以 DE OF 12 分 又因为矩形 ABCD 中 O 为 BD 中点 所以 F 为 BE 中点 即 14 分 11 点评 本题考查线面 面面垂直的判定与性质 考查线面平行 掌握线面 面面垂直的判 定与性质是关键 17 14 分 如图 某小区准备在一直角围墙 ABC 内的空地上植造一块 绿地 ABD 其 中 AB 长为定值 a BD 长可根据需要进行调节 BC 足够长 现规划在 ABD 的内接正方形 BEFG 内种花 其余地方种草 且把种草的面积 S1与种花的面积 S2的比值称为 草花比 y 设 DAB 将 y 表示成 的函数关系式 当 BE 为多长时 y 有最小值 最小值是多少 考点 函数模型的选择与应用 函数的最值及其几何意义 专题 综合题 函数思想 分析 1 由于题目中 设 DAB 故可利用解三角形的知识解决 草花比 y 2 由于式子 括号中两式的积是定值 故利用二 元不等式求其最小值 解答 解 因为 BD atan 所 ABD 的面积为 a2tan 2 分 设正方形 BEFG 的边长为 t 则由 得 4 分 解得 则 5 分 12 所以a2tan S2 则 8 分 因为 tan 0 所以 10 分 当且仅当 tan 1 时取等号 此时 BE 所以当 BE 长为 时 y 有最小值 1 12 分 点评 本题主要考查函数在实际生活中的应用 解三角形以及利用二元不等式求函数最值 的方法 解决实际问题通常有几个步骤 1 阅读理解 认真审题 2 引进数 学符号 建立数学模型 3 利用数学的方法 得到数学结果 其中关键是建立数 学模型 18 16 分 2011 重庆模拟 已知椭圆 E 1 的左焦点为 F 左准线 l 与 x 轴的 交点是圆 C 的圆心 圆 C 恰好经过坐标原点 O 设 G 是圆 C 上任意一点 求圆 C 的方程 若直线 FG 与直线 l 交于点 T 且 G 为线段 FT 的中点 求直线 FG 被圆 C 所截得的弦 长 在平面上是否存在一点 P 使得 若存在 求出点 P 坐标 若不存在 请说明 理由 考点 圆与圆锥曲线的综合 椭圆的简单性质 专题 计算题 分析 1 由题易知圆 C 的圆心为 而 a b 2 可求出圆心为 4 0 又圆 C 恰好经过坐标原点 O 故半径为 4 所以圆 C 的方程为 x 4 2 y2 16 2 可利用直线 FG 与直线 l 联立求出 t 点坐标再利用中点坐标公式求出 G 3 yG 再代入圆 C 的方程求出 yG进而求出 FG 的方程为 y x 2 然 13 后利用圆心到直线的距离公式求出 C 4 0 到 FG 的距离 d 再利用勾股定理 即可求出弦长的一半进而求解 3 假设存在 P s t G x0 y0 使得 成 立利用两点间的距离公式化简可得方程 3 x02 y02 16 2s x0 2ty0 16 s2 t2 0 再结 G x0 y0 在圆 C 即 x02 y02 8x0 o 可得 2s 8 x0 2ty0 16 s2 t2 0 对所有的 x0 y0 成立故 2s 8 0 2t 0 16 s2 t2 0 所以 s 4 t 0 即存在 p 4 0 满足题意 解答 解 1 a b 2 c 2 左准线方程为 x 4 圆心为 4 0 圆 C 恰好经过坐标原点 O 故半径为 4 圆 C 的方程为 x 4 2 y2 16 2 由题意知 得 G 3 yG 代入 x 4 2 y2 16 得 y 所以 FG 的斜率为 K y FG 的方程为 y x 2 所以 C 4 0 到 FG 的距离 d 直线 FG 被圆 C 截得弦长为 2 7 故直线 FG 被圆 C 截得弦长为 7 3 设 P s t G x0 y0 则由 得 整理得 3 x02 y02 16 2s x0 2ty0 16 s2 t2 0 又 G x0 y0 在圆 C x 4 2 y2 16 上 所以 x02 y02 8x0 o 代入 得 2s 8 x0 2ty0 16 s2 t2 0 又 G x0 y0 为圆 C 上任意一点可知 2s 8 0 2t 0 16 s2 t2 0 解得 s 4 t 0 所以在平面上存在一点 p 其坐标为 4 0 点评 此题第一问主要考查了利用椭圆的有关知识求圆的方程关键是要知道椭圆的左准线 方程是 x 第二问考查了利用圆心到直线的距离公式求出 d 再利用半径 d 弦长的一半构成直角三角形再采用勾股定理即可求解 对于第三问较难但思路较简 单即假设存在 P s t G x0 y0 使得 成立 关键是得出 2s 8 x0 2ty0 16 s2 t2 0 后怎么办是难点 实质上这是恒成立的问题只需系数和常数项 为 0 即可求出 s t 14 19 16 分 2010 江苏模拟 已知函数 f x alnx bx2图象上一点 P 2 f 2 处 的切线方程为 y 3x 2ln2 2 1 求 a b 的值 2 若方程 f x m 0 在内有两个不等实根 求实数 m 的取值范围 其中 e 为 自然对数的底 e 2 7 3 令 g x f x nx 如果 g x 图象与 x 轴交于 A x1 0 B x2 0 x1 x2 AB 中点为 C x0 0 求证 g x0 0 考点 函数与方程的综合运用 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究曲线上某点切 线方程 专题 计算题 证明题 压轴题 分析 1 由切线方程得函数在 x 2 处的切线斜率为 3 即 f 2 3 由函数 f x alnx bx2得其导函数 进而得 f 2 由 f 2 3 得关于 a b 的方 程 又切点在函数图象上 也在切线上 当 x 2 时分别代入两个函数方程 函数值 相等 得第二个关于 a b 的方程 求解方程组 得 a b 的值 2 设 h x f x m 2lnx x2 m 求 h x 令 h x 0 h x 0 得函数 h x 的单调区间 得出 h x 的图象的大致走向 得出满足题意的 不等式组 解得实数 m 的取值范围 3 由点 A x1 0 B x2 0 在 g x 图象上 把点的坐标代入 g x 的解析 式得方程组 两式相减得关于 x1 x2 n 的方程 假设 g x 0 成立 求导 得 关于 x0 n 的方程 由中点坐标公式转化关于 x1 x2 n 的方程 两方程消去 n 得 关于 x1 x2的方程 整理此方程 分子分母同除以 x2 整理方程 右边为 0 设 t 左边得关于 t 的函数 求此函数的导数 得函数的单调性 得函数值恒小于 0 所以方程不成立 所以假设不成立 所以 g x0 0 解答 解 1 所以 且 aln2 4b 6 2ln2 2 解得 a 2 b 1 2 f x 2lnx x2 令 h x f x m 2lnx x2 m 则 令 h x 0 得 x 1 x 1 舍去 在内 当时 h x 0 所以 h x 是增函数 当 x 1 e 时 h x 0 所以 h x 是减函数 15 则方程 h x 0 在内有两个不等实根的充要条件是 即 1 m e2 2 3 假设结论成立 则有 1 2 得 所以 由 4 得 所以 即 即 令 则 所以 u t 在 0 t 1 上是增函数 u t u 1 0 所以 5 式不成立 与假设矛盾 所以 g x0 0 点评 此题考查函数与方程的综合运用 求未知数的值 几个未知数需几个方程构成方程 组求解 注意把方程解的个数问题转化为对应函数图象的交点个数问题 可使问题 直观易懂 也可把函数图象的交点个数问题转化为方程组得各量之间的关系 把未 知量转化为一种形式 令一边为 0 另一边再转化为函数 利用函数单调性解题 用 反证法证明问题时 先假设结论不正确 得出与假设相反的结论 从而结论是正确 16 的 20 16 分 已知数列 I 试证数列是等比数列 并求数列 bn 的通项公式 II 在数列 bn 是 是否存在连续三项成等差数列 若存在 求出所有符合条件的项 若不存在 说明理由 III 试证在数列 bn 中 一定存在满足条件 1 r s 的正整数 r s 使得 b1 br bs成 等差数列 并求出正整数 r s 之间的关系 考点 函数与方程的综合运用 数列的应用 等比关系的确定 专题 综合题 等差数列与等比数列 分析 I 由 an an 1 2n 得 an 1 2n an 从而可证 1 即可证得数列 是等比数列 并可求数列 bn 的通项公式 II 解 假设在数列 bn 中 存在连续三项 bk 1 bk bk 1 k N k 2 成等差 数列 则 bk 1 bk 1 2bk 即 2k 1 4 1 k 1 分类讨论 可得在