高二 排列与组合

排列与组合排列与组合 导学目标 1 理解排列 组合的概念 2 能利用计数原理推导排列数公式 组合数公式 3 能解决简单的实际问题 自主梳理 1 排列的定义 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 排列数的定义 叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的排列数 用符号 A表示 m n 2 排列数公式的两种形式 1 A n n 1 n m 1 2 A 其中公 m nm n n n m 式 1 不带阶乘的 主要用于计算 公式 2 阶乘形式 适用于化简 证明 解方程 说明 n 叫做 n 的阶乘 规定 0 当 m n 时的排列叫做全排列 全排列数 A n n 3 组合的定义 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素合成一组 叫做 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有不同组合的个数叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的 用 表示 4 组合数公式的两种形式 1 C m n Am n Am m n n 1 n 2 n m 1 m m 1 3 2 1 2 C 其中公式 1 主要用于计算 尤其适用于上标是具体数且 m m n n m n m 的情况 公式 2 适用于化简 证明 解方程等 n 2 5 C C m k N n N m nk n 6 组合数的两个性质 1 C 2 C m nmn 1 自我检测 1 2010 北京 8 名学生和 2 位老师站成一排合影 2 位老师不相邻的排法种数为 A A A B A C C A A D A C 8 8 2 98 8 2 98 8 2 78 8 2 7 2 2011 广州期末七区联考 2010 年上海世博会某国展出 5 件艺术作品 其中不同书 法作品 2 件 不同绘画作品 2 件 标志性建筑设计 1 件 在展台上将这 5 件作品排成一排 要求 2 件书法作品必须相邻 2 件绘画作品不能相邻 则该国展出这 5 件作品的不同方案 有 A 24 种 B 48 种 C 72 种 D 96 种 3 从 4 台甲型与 5 台乙型电视机中任选 3 台 其中至少要有甲 乙型电视机各一台 则不同的取法共有 A 140 种 B 84 种 C 70 种 D 35 种 4 2011 烟台期末 2008 年 9 月 25 日晚上 4 点 30 分 神舟七号 载人飞船发射升空 某校全体师生集体观看了电视实况转播 观看后组织全体学生进行关于 神舟七号 的论 文评选 若三年级文科共 4 个班 每班评出 2 名优秀论文 其中男女生各 1 名 依次排成一 列进行展览 若规定男女生所写论文分别放在一起 则不同的展览顺序有 A 576 种 B 1 152 种 C 720 种 D 1 440 种 5 2010 全国 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中 若每个信封 放 2 张 其中标号为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的方法共有 A 12 种 B 18 种 C 36 种 D 54 种 6 2010 重庆 某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日 端午节假期 值班 每 天安排 2 人 每人值班 1 天 若 6 位员工中的甲不值 14 日 乙不值 16 日 则不同的安排 方法共有 A 30 种 B 36 种 C 42 种 D 48 种 探究点一 含排列数 组合数的方程或不等式 例 1 1 求等式 3 中的 n 值 C 5n 1 C 3n 3 C 3n 3 4 5 2 求不等式 6A x 9x 26 探究点二 排列应用题 例 2 2011 莆田模拟 六人按下列要求站一排 分别有多少种不同的站法 1 甲不站两端 2 甲 乙必须相邻 3 甲 乙不相邻 4 甲 乙之间恰间隔两人 5 甲 乙站在两端 6 甲不站左端 乙不站右端 变式迁移 2 用 1 2 3 4 5 6 组成六位数 没有重复数字 要求任何相邻两个数字的奇偶 性不同 且 1 和 2 相邻 求这样的六位数的种数 探究点三 组合应用题 例 3 男运动员 6 名 女运动员 4 名 其中男女队长各 1 名 选派 5 人外出比赛 在 下列情形中各有多少种选派方法 1 男运动员 3 名 女运动员 2 名 2 至少有 1 名女运动员 3 队长中至少有 1 人参加 4 既要有队长 又要有女运动员 变式迁移 3 12 名同学合影 站成前排 4 人后排 8 人 现摄影师从后排 8 人中抽 2 人 调整到前排 若其他人的相对顺序不变 则不同调整方法总数是 A C A B C A 2 8 2 32 8 6 6 C C A D C A 2 8 2 62 8 2 5 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2009 湖南 从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理 则甲 乙至少有 1 人入选 而丙没有入选的不同选法的种数为 A 85 B 56 C 49 D 28 2 2010 全国 某校开设 A 类选修课 3 门 B 类选修课 4 门 一位同学从中共选 3 门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 A 30 种 B 35 种 C 42 种 D 48 种 3 2010 重庆 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班 每天安排一人 每人值 班 1 天 若 7 位员工中的甲 乙排在相邻两天 丙不排在 10 月 1 日 丁不排在 10 月 7 日 则不同的安排方案共有 A 504 种 B 960 种 C 1 008 种 D 1 108 种 4 2011 济宁月考 6 条网线并联 它们能通过的最大信息量分别为 1 1 2 2 3 4 现从 中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于 6 的方法共有 A 13 种 B 14 种 C 15 种 D 16 种 5 五人排成一排 甲与乙不相邻 且甲与丙也不相邻的不同排法数是 A 24 B 36 C 48 D 60 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 2011 北京 用数字 2 3 组成四位数 且数字 2 3 至少都出现一次 这样的四位数共 有 个 用数字作答 7 8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组 每组各 4 人 分别进行单循环赛 每组决出前两名 再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛 获胜者角逐冠 亚军 败者角逐 3 4 名 则大师赛共有 场比赛 8 2011 马鞍山调研 参加海地地震救援的中国救援队一小组共有 8 人 其中男同志 5 人 女同志 3 人 现从这 8 人中选出 3 人参加灾后防疫工作 要求在选出的 3 人中男 女 同志都有 则不同的选法共有 种 用数字作答 三 解答题 共 38 分 9 12 分 1 计算 C C199200 98100 2 求 C C的值 28 n3n2n21 n 3 求证 C C C m n m 1 n 1 m 1n 1 n n mmn 1 10 12 分 有 5 个男生和 3 个女生 从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代表 求分 别符合下列条件的选法数 1 有女生但人数必须少于男生 2 某女生一定担任语文课代表 3 某男生必须包括在内 但不担任语文课代表 4 某女生一定要担任语文课代表 某男生必须担任课代表 但不担任数学课代表 11 14 分 从 1 3 5 7 9 五个数字中选 2 个 0 2 4 6 8 五个数字中选 3 个 能组成多少 个无重复数字的五位数 二项式定理二项式定理 导学目标导学目标 1 能用计数原理证明二项式定理 2 会用二项式定理解决与二项展开式有关 的简单问题 自主梳理 1 二项式定理的有关概念 1 二项式定理 a b n C an C an 1b1 C an kbk C bn n N 这个公 0 n1 nk nn n 式叫做 二项展开式 右边的多项式叫做 a b n的二项展开式 项数 二项展开式中共有 项 二项式系数 在二项展开式中各项的系数 k 叫做二项式 系数 通项 在二项展开式中的 叫做二项展开式的通项 用 Tk 1表示 即通项为展开式的第 k 1 项 Tk 1 2 二项式系数的性质 1 对称性 与首末两端 的两个二项式系数相等 2 增减性与最大值 当 n 是偶数时 中间的一项二项式系数 取得最 大值 当 n 为奇数时 中间的两项二项式系数 相等 且同时取得最大值 3 各二项式系数和 C C C C C C C C C C C 0 n1 n2 nn n0 n2 n4 n偶 n1 n3 n5 n C 奇 n 自我检测 1 2011 福建 1 2x 5的展开式中 x2的系数等于 A 80 B 40 C 20 D 10 2 2011 陕西 4x 2 x 6 x R 展开式中的常数项是 A 20 B 15 C 15 D 20 3 x y 10的展开式中 x6y4项的系数是 2 A 840 B 840 C 210 D 210 4 2010 四川 6的展开式中的第四项是 2 1 3 x 5 2011 山东 若 x 6展开式的常数项为 60 则常数 a 的值为 a x2 6 2011 烟台期末 已知 n 为正偶数 且 n的展开式中第 4 项的二项式系数最 x2 1 2x 大 则第 4 项的系数是 用数字作答 探究点一 二项展开式及通项公式的应用 例 1 已知在 n的展开式中 第 6 项为常数项 3 x 1 23x 1 求 n 2 求含 x2的项的系数 3 求展开式中所有的有理项 变式迁移 1 2010 湖北 在 x y 20的展开式中 系数为有理数的项共有 4 3 项 探究点二 二项式系数的性质及其应用 例 2 1 求证 C 2C 3C nC n 2n 1 1 n2 n3 nn n 2 求 S C C C除以 9 的余数 1 272 272727 变式迁移 2 2011 上海卢湾区质量调研 求 C C C C的值 2 2n4 2n2k2n2n2n 探究点三 求系数最大项 例 3 已知 f x 3x2 n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数