2013高考数学三轮冲刺押题 基础技能闯关夺分必备 三角函数的概念（含解析）

1 三角函数的概念三角函数的概念 考点导读 1 理解任意角和弧度的概念 能正确进行弧度与角度的换算 角的概念推广后 有正角 负角和零角 与终边相同的角连同角本身 可构成一个 集合 把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为 1 弧度的 ZkkS 360 角 熟练掌握角度与弧度的互换 能运用弧长公式及扇形的面积公式 为rl Slr 2 1 l 弧长 解决问题 2 理解任意角的正弦 余弦 正切的定义 角的概念推广以后 以角的顶点为坐标原点 角的始边为x轴的正半轴 建立直角坐标 系 在角的终边上任取一点 不同于坐标原点 设 P x yOPr 22 0rxy 则的三个三角函数值定义为 sin cos tan yxy rrx 从定义中不难得出六个三角函数的定义域 正弦函数 余弦函数的定义域为R 正切函 数的 定义域为 2 RkkZ 3 掌握判断三角函数值的符号的规律 熟记特殊角的三角函数值 由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号 可以简记为 一正 第一象限内全 为正值 二正弦 第二象限内只有正弦值为正 三切 第三象限只有正切值为正 四余 弦 第四象限内只有余弦值为正 另外 熟记 的三角函数值 对快0 6 4 3 2 速 准确地运算很有好处 4 掌握正弦线 余弦线 正切线的概念 在平面直角坐标系中 正确地画出一个角的正弦线 余弦线和正切线 并能运用正弦线 余弦线和正切线理解三角函数 的性质 解决三角不等式等问题 基础练习 1 化成的形式是 885 2 02 kkZ 2 已知为第三象限角 则所在的象限是 2 3 已知角的终边 过点 则 5 12 P cos tan 4 的符号为 tan 3 sin5 cos8 5 已知角的终边上一点 且 求 的值 1 P a 0 aa tan sin cos 13 6 12 第二或第四象限 5 13 12 5 正 2 解 由三角函数定义知 当时 1a 1a 2 sin 2 2 cos 2 当时 1a 2 sin 2 2 cos 2 范例解析 例 1 如图 分别是终边落在 位置上的两个角 OMON 且 30 300 1 求终边落在阴影部分 含边界 时所有角的集合 2 终边落在阴影部分 且在区间时所有角的集合 0 360 3 求始边在位置上 终边在位置上所有角的集合 OMON 解 1 6036030360 kkkZ 2 030 300360 3 270 270360 kkZ 点评 三角函数中应注意文字语言与符号语言的转化 第 3 问要注意角的方向 例 2 1 已知角的终边经过一点 求的值 4 3 0 Paa a 2sincos 2 已知角的终边在一条直线上 求 的值 3yx sin tan 分析 利用三角函数定义求解 解 1 由已知 当时 则4xa 5ra 0a 5ra 3 sin 5 4 cos 5 2 2sincos 5 当时 则 0a 5ra 3 sin 5 4 cos 5 2 2sincos 5 2 设点是角的终边上一点 则 3 0 P aa a 3yx tan3 当时 角是第一象限角 则 0a 3 sin 2 当时 角是第三象限角 则 0a 3 sin 2 点评 要注意对参数进行分类讨论 3 例 3 1 若 则在第 象限 sincos0 2 若角是第二象限角 则 中能确定是正值 sin2 cos2 sin 2 cos 2 tan 2 的有 个 解 1 由 得 同号 故在第一 三象限 sincos0 sin cos 2 由角是第二象限角 即 得 22 2 kk 422 kk 故仅有为正值 4224kk tan 2 点评 准确表示角的范围 由此确定三角函数的符号 例 4 一扇形的周长为 当扇形的圆心角等于多少时 这个扇形的面积最大 最大20cm 面积是多少 分析 选取变量 建立目标函数求最值 解 设扇形的半径为x 则弧长为 故面积为 202 lx 2 1 202 5 25 2 yx xx 当时 面积最大 此时 5x 5x 10l 2 l x 所以当弧度时 扇形面积最大 25 2 2 cm 点评 由于弧度制引入 三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数 反馈演练 1 若且则在第 象限 sincos sincos0 2 已知 则点在第 象限 6 sin tan A 3 已知角是第二象限 且为其终边上一点 若 则m的值为 5 P m 2 cos 4 m 4 将时钟的分针拨快 则时针转过的弧度为 30min 5 若 且与终边相同 则 46 2 3 6 已知 1弧度的圆心角所对的弦长 2 则这个圆心角所对的弧长是 这个圆心角所 在的扇形的面积是 7 已知 则点在第 象限 sin20 coscos 1 tan cos P 二 三 3 12 16 3 1 1 sin 2 1 1cos1 三 5 2 6 kkZ 4 8 已知 角的终边与的终边关于直线对称 则角的集合为 6 yx 9 设是第二象限角 且满足 则是第 象限的角 sin sin 22 2 10 1 已知扇形的周长是 6cm 该扇形中心角是 1 弧度 求该扇形面积 AOB 2 若扇形的面积为 8 当扇形的中心角为多少弧度时 该扇形周长最小 2 cm 0 简解 1 该扇形面积 2 2 cm 2 得 当且仅当时取等号 此时 2 1 8 2 rly rl 16 28 2yr r 2 2r 4 2l 2 l r 11 已知角的顶点在原点 始边为轴的非负半轴 终边在直线上 求 xxy3 的值 1 sincostan tan 解 当角在第一象限时 tan3 3 10 sin 10 10 cos 10 则 189 sincostan tan30 当角在第三象限时 tan3 3 10 sin 10 10 cos 10 则 189