2013最新题库大全2009-2012年高考数学 试题分项专题08 立体几何 理

用心 爱心 专心 1 20132013 最新题库大全最新题库大全 2009 20122009 2012 年数学 理 高考试题分项专题年数学 理 高考试题分项专题 0808 立立 体几何体几何 一 选择题一 选择题 2012 2012 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 7 7 某三棱锥的三视图如图所示 该三梭锥的表面积是 2012 2012 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 4 4 一个几何体的三视图形状都相同 大小均相等 那么这个几何 体不可以是 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 2012 2012 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 6 6 某几何体的三视图如图 1 所示 它的体积为 用心 爱心 专心 2 2012 2012 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 10 10 已知矩形ABCD AB 1 BC 2 将 ABD沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着 在翻着过程中 A 存在某个位置 使得直线AC与直线BD垂直 B 存在某个位置 使得直线AB与直线CD垂直 用心 爱心 专心 3 C 存在某个位置 使得直线AD与直线BC垂直 D 对任意位置 三直线 AC与BD AB与CD AD与BC 均不垂直 答案 B 解析 最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着 观察在翻着过程 即可知选 项 C 是正确 的 2012 2012 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 3 3 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示 则该几何体的俯视 图不可能是 2012 2012 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 10 10 我国古代数学名著 九章算术 中 开立圆术 曰 置积尺数 用心 爱心 专心 4 以十六乘之 九而一 所得开立方除之 即立圆径 开立圆术 相当于给出了已知球的体 积 V 求其直径d 的一个近似公式 316 9 dV 人们还用过一些类似的近似公式 根据 x 3 14159 判断 下列近似公式中最精确的一个是 A 316 9 dV B 3 2dV C 3 300 157 dV D 3 21 11 dV 201 2012 2 年高考新课标全国卷理科年高考新课标全国卷理科 7 7 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗线画出的是某几 何体的三视图 则此几何体的体积为 A6 B 9 C D 20122012 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 10 10 如右图 已知正四棱锥SABCD 所有棱长都为 1 点 E 是侧 棱SC上一动点 过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上 下两部分 记 01 SExx 截面下面部分的体积为 V x则函数 yV x 的图像大致为 用心 爱心 专心 5 2012 2012 年高考新课标全国卷理科年高考新课标全国卷理科 11 11 已知三棱锥SABC 的所有顶点都在球O的求面上 ABC 是边长为1的正三角形 SC为球O的直径 且2SC 则此棱锥的体积为 A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 用心 爱心 专心 6 2012 2012 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 6 6 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线 b在平面 内 且bm 则 是 ab 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分不必要条件 答案 A 解析 bmbba 如果 am 则ab 与bm 条件相同 2012 2012 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 6 6 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 用心 爱心 专心 7 2 2012012 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 5 5 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱 111 ABCABC 1 2CACCCB 则直线 1 BC与直线 1 AB夹角的余弦值为 A 5 5 B 5 3 C 2 5 5 D 3 5 用心 爱心 专心 8 2012 2012 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 9 9 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 2和a 且长为 a的棱与长为2的棱异面 则a的取值范围是 A 0 2 B 0 3 C 1 2 D 1 3 答案 A 解析 取长2的棱的中点与长为a的端点 B C 则 2 2 2 ABACaBC 15 2012 2012 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 4 4 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 2 2 2 ABCCE 为 1 CC的中点 则直线 1 AC 与平面BED的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 用心 爱心 专心 9 1 二 填空题二 填空题 2012 2012 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 16 16 已知正三棱锥P ABC 点P A B C都在半径为3的求面 上 若PA PB PC两两互相垂直 则球心到截面ABC的距离为 用心 爱心 专心 10 2012 2012 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 13 13 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 2 2 20122012 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 10 10 个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为 3 m 用心 爱心 专心 11 20122012 年高考江苏卷年高考江苏卷 7 7 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 3cmABAD 1 2cmAA 则四棱锥DDBBA 11 的体积为 cm3 用心 爱心 专心 13 20122012 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 14 14 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 E F 分别为线段 AA1 B1C 上的点 则三棱锥 D1 EDF 的体积为 用心 爱心 专心 14 2012 2012 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 8 8 若一个圆锥的侧面展开图是面积 为 2的半圆面 则该圆锥的体积为 2012 2012 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 14 14 如图 AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱 2 BC 若cAD2 且aCDACBDAB2 其中a c为常数 则四面体 ABCD的体积的最大值是 用心 爱心 专心 15 2012 2012 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 16 16 三菱柱 ABC A1B1C1中 底面边长和侧棱长都相等 BAA1 CAA1 60 则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 用心 爱心 专心 16 2012 2012 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 12 12 某几何体的三视图如图所示 该几何体的表面积是 5 4 4 正视图 侧视图 俯视图 2 答案 92 用心 爱心 专心 17 解析 该几何体是底面是直角梯形 高是 4 的直四棱柱 表面积是 92 三 解答题三 解答题 2012 2012 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 18 18 本小题满分 13 分 如图 5 所示 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PA 平面 ABCD 点 E 在线段 PC 上 PC 平面 BDE 20122012 年高考江苏卷年高考江苏卷 1616 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 1111 ABAC DE 分别是棱 1 BCCC 上的点 点D 不同于 点C 且ADDEF 为 11 BC的中点 用心 爱心 专心 18 求证 1 平面ADE 平面 11 BCC B 2 直线 1 AF平面ADE 20 201212 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 16 16 本小题共 14 分 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 BC 3 AC 6 D E 分别是 AC AB 上的点 且 DE BC DE 2 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置 使 A1C CD 如图 2 I 求证 A1C 平面 BCDE II 若 M 是 A1D 的中点 求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小 III 线段 BC 上是否存在点 P 使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 说明理由 用心 爱心 专心 19 用心 爱心 专心 20 2012 2012 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 18 18 本小题满分 13 分 如图 在长方体 1111 DCBAABCD 中 1 1 ADAA E为CD中点 求证 11 ADEB 在棱 1 AA上是否存在一点P 使得 DP平面AEB1 若存在 求AP的长 若不存在 说明理由 若二面角 11 AEBA 的大小为 0 30 求AB的长 用心 爱心 专心 21 66 2012 2012 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 19 19 本小题满分 12 分 如图 1 ACB 45 BC 3 过动点 A 作 AD BC 垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B 连接 AB 沿 AD 将 ABD 折起 使 BDC 90 如图 2 所示 用心 爱心 专心 22 1 当 BD 的长为多少时 三棱锥 A BCD 的体积最大 2 当三棱锥 A BCD 的体积最大时 设点 E M 分别为棱 BC AC 的中点 试在棱 CD 上确定 一点 N 使得 EN BM 并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小 用心 爱心 专心 23 用心 爱心 专心 24 2012 2012 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 19 19 6 6 12 分 如图 在四棱锥ABCDP 中 底面ABCD是 矩形 PA底面ABCD E是PC的中点 已知2 AB 22 AD 2 PA 求 1 三角形PCD的面积 2 异面直线BC与AE所成的角的大小 用心 爱心 专心 25 用心 爱心 专心 26 用心 爱心 专心 27 2012 2012 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 20 20 本小题满分 15 分 如图 在四棱锥P ABCD中 底面是边长 为2 3的菱形 且 BAD 120 且PA 平面ABCD PA 2 6 M N分别为PB PD的中 点 证明 MN 平面ABCD 过点A作AQ PC 垂足为点Q 求二面角A MN Q的平面角的余弦值 用心 爱心 专心 28 2012 2012 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 18 18 本小题满分 12 分 用心 爱心 专心 29 2012 2012 年高考新课标全国卷理科年高考新课标全国卷理科 19 19 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 1 1 2 ACBCAA 用心 爱心 专心 30 D是棱 1 AA的中点 BDDC 1 1 证明 BCDC 1 2 求二面角 11 CBDA 的大小 2012 2012 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 17 17 本小题满分 13 分 如图 在四棱锥PABCD 中 PA丄平面ABCD 用心 爱心 专心 31 AC丄AD AB丄BC 45BAC 2PA AD 1AC 证明 PC丄AD 求二面角APCD 的正弦值 设E为棱PA上的点 满足异面直线BE与CD所成的角为 0 30 求AE的长 2012 2012 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 18 18 本小题满分 12 分 平面图形 111 ABB AC C如图 4 所示 其中 11 BBC C是矩形 1 2 4BCBB 2ABAC 1111 5ABAC 现将该平面图形分别沿BC和 11 BC折叠 使ABC 与 111 ABC 所在平面 用心 爱心 专心 32 都 与平面 11 BBC C垂直 再分别连接 111 AA BA CA 得到如图 2 所示的空间图形 对此空间图 形解答 下列问题 证明 1 AABC 求 1 AA的长 求二面角 1 ABCA 的余弦值 用心 爱心 专心 33 2012 2012 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 19 19 本题满分 12 分 在三棱柱ABC A1B1C1中 已知AB AC AA1 5 BC 4 在A1在底面ABC的投影是线段BC的中 点O 1 证明在侧棱AA1上存在一点E 使得OE 平面BB1C1C 并求出AE的长 2 求平面 11 ABC与平面BB1C1C夹角的余弦值 用心 爱心 专心 34 2012 2012 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 19 19 本小题满分 12 分 用心 爱心 专心 35 2012 2012 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 18 18 本小题满分 12 分 如图 5 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD AB 4 BC 3 AD 5 DAB ABC 90 E 是 CD 的中点 证明 CD 平面 PAE 用心 爱心 专心 36 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等 求四棱锥 P ABCD 的 体积 用心 爱心 专心 37 用心 爱心 专心 38 20122012 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 18 18 本小题满分 12 分 注意 在试 题卷上作答无效 用心 爱心 专心 39 用心 爱心 专心 40 2012 2012 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 19 19 本小题满分 12 分 小问 4 分 小问 8 分 如图 在直三棱柱 111 CBAABC 中 AB 4 AC BC 3 D 为 AB 的中点 求点 C 到平面 11 A ABB 的距离 若 11 ABAC 求二面角 11 ACDC 的平面角的余弦值 2012 2012 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 18 18 本小题满分 12 分 如图 证明命题 a是平面 内的一条直线 b是 外的一条直线 b不垂直于 c是直线b在 上的投影 若ab 则ac 为真 写出上述命题的逆命题 并判断其真假 不需证明 用心 爱心 专心 41 17 20112011 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编 立体几何立体几何 一 选择题一 选择题 1 1 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 11 11 下图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 下图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 存在三棱存在三棱柱 其正柱 其正 主主 视图 俯视图如下图 视图 俯视图如下图 存在四棱柱 其正存在四棱柱 其正 主主 视图 俯视图如视图 俯视图如 下图 下图 存在圆柱 其正存在圆柱 其正 主主 视图 俯视图如下图 其中真命题的个数是视图 俯视图如下图 其中真命题的个数是 A 3 A 3 B 2 B 2 C 1 C 1 D 0 D 0 答案 A 解析 对于 可以是放倒的三棱柱 容易判断 可以 2 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 3 3 若某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可以是 用心 爱心 专心 42 4 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 6 6 一个空间几何体得三视图如图所示 则该几何体的表面积为 A 48 B 32 8 C 48 8 D 80 答案 C 命题意图 本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法 解析 由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱 底面等腰梯形的上底为 2 下底为 用心 爱心 专心 43 4 高为 4 故 S 表 解题指导 三视图还原很关键 每一个数据都要标注准确 5 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 8 8 如图 四棱锥 S ABCD 的底面为正方形 SD 底面 ABCD 则下 列结论中不正确的是 A AC SB B AB 平面 SCD C SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 答案 D 解析 对于 A 因为 SD 平面 ABCD 所以 DS AC 因为四边形 ABCD 为正方形 所以 AC BD 故 AC 平面 ABD 因为 SB 平面 ABD 所以 AC SB 正确 对于 B 因为 AB CD 所以 AB 平 面 SCD 对于 C 设ACBDO 因为 AC 平面 ABD 所以 SA 和 SC 在平面 SBD 内的射影为 SO 则 ASO 和 CSO 就是 SA 与平面 SBD 所成的角和 SC 与平面 SBD 所成的角 二者相等 正确 故选 D 6 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 12 12 已知球的直径 SC 4 A B 是该球球面上的两点 AB 3 30BSCASC 则棱锥 S ABC 的体积为 A 33 B 32 C 3 D 1 用心 爱心 专心 44 第 6 题图 答案 D 解析 由主视图和府视图可知 原几何体是由后面是半个圆锥 前面是三棱锥的组合体 所 以 左视图是 D 点评 本题考查三视图 直观图及他们之间的互化 同时也考查空间想象能力和推理能力 要求有扎实的基础知识和基本技能 A B C D 用心 爱心 专心 45 3 3 2 正视图侧视图 俯视图 图 1 8 2011 2011年高考江西卷理科年高考江西卷理科 8 8 已知 1 2 3 是三个相互平行的平面 平面 1 2 之间 的距离为 1 d 平面 2 3 之间的距离为 2 d 直线l与 1 2 3 分别相交于 1 P 2 P 3 P 那么 12 PP 23 P P 是 12 dd 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 过点 1 P作平面 2 的垂线 g 交平面 2 3 分别于点 A B 两点 由两个平面平行的 性质可知 2 P A 3 PB 所以 121 122 PPd PPd 故选 C 9 2011 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 3 3 设图 1 是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 A 12 2 9 B 18 2 9 C 429 D 1836 答案 B 解析 由三视图可以还原为一个底面为边长是 3 的正方形 高为 2 的长方体以及一个直径为 3 的球组成的简单几何体 其体积等于 233 2 3 3 4 3 18 2 9 故选 B 评析 本小题主要考查球与长方体组成的简单几何体的三视图 以及几何体的体积计算 1010 2011 2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 7 7 如图如图l l 3 3 某几何体的正视图 某几何体的正视图 主视图主视图 是平行四边形 侧视是平行四边形 侧视 图图 左视图左视图 和俯视图都是和俯视图都是矩形 则该几何体的体积为 矩形 则该几何体的体积为 A A 6 3 B B 9 3 C C 12 3 D D 18 3 解析解析 B B 由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱 由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱 H G F E D C B A 3 1 2 3 用心 爱心 专心 46 ABCDEA平面 393123 2 hSV ABCD平行四边形 所以选 所以选 B B 11 2011 2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 5 5 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 A 2 8 3 B 8 3 C 82 D 2 3 答案 A 解析 由三视图可知该几何体为立方体与圆锥 立方体棱长为 2 圆锥底面半径为 1 高为 2 所以体积为 32 1 212 3 2 8 3 故选 A 12 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 9 9 高为 2 4 的四棱锥 S ABCD 的底面 是边长为 1 的正方形 点 S A B C D 均在半径为 1 的同一球 面上 则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 A 2 4 B 2 2 C 1 D 2 解析 选 C 设底面中心为 G 球心为 O 则易得 2 2 AG 于是 2 2 OG 用一个与 ABCD 所在平面距离等于 2 4 的平面去截球 S 便为其中一个交点 此平面的中心设为 H 则 222 244 OH 故 2 22 27 1 48 SH 故 2 22 72 1 84 SGSHHG 13 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 3 3 1 l 2 l 3 l是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 A 12 ll 23 ll 13 ll B 12 ll 23 ll 13 ll C 233 lll 1 l 2 l 3 l共面 D 1 l 2 l 3 l共点 1 l 2 l 3 l共面 用心 爱心 专心 47 答案 C 解析 如图 作DEBC 于E 由l 为直二面角 ACl 得AC 平面 进而ACDE 又BCDE BCACC 于是DE 平面ABC 故DE为D到平面ABC的距离 在Rt BCD 中 利用等面积法得 126 33 BDDC DE BC 15 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 11 11 已知平面 截一球面得圆 M 过圆心 M 且与 成 0 60 二面 角的平面 截该球面得圆 N 若该球的半径为 4 圆M 的面 积为 4 则圆 N 的面积为 A 7 B 9 c 11 D 13 答案 D 解析 由圆M的面积为4 得2MA 222 4212OM 2 3OM 在 0 30Rt ONMOMN 中 2 1 3 313 2 ONOM 2 r 4 13 N S 圆 故选 D 16 2011 2011 年高考北京卷理科年高考北京卷理科 7 7 某四面体的三视图如图所示 该四面体四个面的面积中 最 大的是 l A B CD E 60 B A O N M 用心 爱心 专心 48 A 8 B 6 2 C 10 D 8 2 答案 C 二 填空题二 填空题 1 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 15 15 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等 体积为32 它的 三视图中的俯视图如右图所示 左视图是一个矩形 则这个矩形的面积是 答案 2 3 解析 设正三棱柱的侧棱长和底面边长为 a 则由 2 3 2 3 4 aa 解得 a 2 正三棱柱的 左视图与底面一边垂直的截面大小相同 故该矩形的面积是 3 2 22 3 2 2 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 15 15 已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面 上 且6 2 3ABBC 则棱锥OABCD 的体积为 答案 38 解析 如图 连接矩形对角线的交点 1 O和球心O 则 32 2 1 34 1 ACAOAC 四棱锥的高为 j o1 B D C A o 用心 爱心 专心 49 2 32 4 22 1 OO 所以 体积为382326 3 1 V 点评 本题考查多面体和旋转体的有关概念和性质以及体积的计算 关键是确定棱锥高的大 小 正确运用公式求解 3 3 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 10 10 一个几何体的三视图如图所示 单位 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则这个几何体 则这个几何体 的体积为的体积为 3 m 答案 6 解析 由题意知 该几何体为一个组合体 其下面是一个长方体 长为 3m 宽为 2m 高为 1m 上面有一个圆锥 底面半径为 1 高为 3 所以其体积为 1 3 2 136 3 VV 长方体圆锥 4 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 15 15 如图 半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱 当圆柱的侧面积最 大时 求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 答案 2 2 R 解析 22222 max 224 SrRrrRrS 侧侧 时 2 2222 2 22 R rRrrrR 则 222 422RRR 5 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 16 16 己知点 E F 分别在正方体ABCD A1B2C3D4的棱BB1 CC1上 且B1E 2EB CF 2FC1 则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 用心 爱心 专心 50 6 2011 2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 12 12 三棱锥 P ABC 中 PA 底面 ABC PA 3 底面 ABC 是边 长为 2 的正三角形 则三棱锥 P ABC 的体积等于 答案 3 7 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 7 7 若圆锥的侧面积为2 底面积为 则该圆锥的体积为 答案 3 3 三 解答题三 解答题 1 1 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 19 19 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 在如图所示的几何体中 四边形在如图所示的几何体中 四边形 ABCDABCD 为平行四边形 为平行四边形 ACB ACB 90 平面平面 EF EF 若 是线段 的中点 求证 若 是线段 的中点 求证 平面 平面 若 若 求二面角 求二面角 的大 的大 小 小 解析 连结 AF 因为 EF EF F 所以平面 EFG 平面 ABCD 又易证EFG ABC 所以 1 2 FGEF BCAB 即 1 2 FGBC 即 1 2 FGAD 又 M 为 AD 用心 爱心 专心 51 的中点 所以 1 2 AMAD 又因为 D 所以 M 所以四边形 AMGF 是平 行四边形 故 GM FA 又因为 平面 FA 平面 所以 平面 取 AB 的中点 O 连结 CO 因为 所 以 CO AB 又因为 平面 CO 平面 所以 CO 又 AB A 所以 CO 平面 在平面 ABEF 内 过点 O 作 OH BF 于 H 连结 CH 由三垂 线定理知 CH BF 所以CHO 为二面角 的平面角 设 2a 因为 ACB 90 2a CO a 2 2 AEa 连结 FO 容易 证得 FO EA 且 2 2 FOa 所以 6 2 BFa 所以 OH 22 26 a 3 3 a 所以在 Rt COH 中 tan CHO CO OH 3 故 CHO 60 所以二面角 的大小为60 2 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 20 20 本题满分 15 分 如图 在三棱锥 PABC 中 ABAC D 为 BC 的中点 PO 平面 ABC 垂足 O 落在线段 AD 上 已知 BC 8 PO 4 AO 3 OD 2 证明 AP BC 在线段 AP 上是否存在点 M 使得二面角 A MC 为直二面角 若存在 求出 AM 的长 若不存在 请说明 理由 解析 本题主要考查空间点 线 面位置关系 二面角等基础知识 空间向量的应用 同 时考查空间想象能力和运算求解能力 满分 15 分 法一 证明 如图 以O为原点 以射线OP为x轴的正半轴 建立空间直角坐标系 oxyz 则 0 0 0 O 0 3 0 A 4 2 0 B 4 2 0 C 0 0 4 P 0 3 4 AP 8 0 0 BC 由此可 得0AP BC 所以APBC 即APBC 用心 爱心 专心 52 解 设 1PMPA 则 0 3 4 PM BMBPPMBPPA 4 2 4 0 3 4 4 23 44 4 5 0 AC 8 0 0 BC 设平面BMC的法向量 1111 nx y z 平面APC的法向量 2222 nxyz 由 1 2 0 0 BM n BC n 得 111 1 4 23 44 0 80 xyz x 即 1 11 0 23 44 x zy 可取 1 23 0 1 44 n 由 2 2 0 0 AP n AC n 即 22 22 340 450 yz xy 得 22 22 5 4 3 4 xy zy 可取 2 5 4 3 n 由 12 0n n 得 23 430 44 解得 4 5 故3AM 综上所述 存在点 M 符合题意 3AM 法二 证明 ABAC DBC 为中点 ADBC 又 POABC 平面POBC 因为POADO 所以BC 平面PAD故BCPA 如图 在平面PAB内作 BMAPM 于连结C M 由 知P BCA 得P A平面BMC 又P A平面PAC 所以平面BMC 平面PAC 在Rt ADB 中 222 41ABADBD 得41AB 在Rt POD 中 222 PDPOOD 在Rt PDB 中 222 PBPDBD 所以 2222 36PBPOODBD 得6PB 用心 爱心 专心 53 在Rt POA 中 222 25PAAOOP 得5PA 又 222 1 cos 23 PAPBAB BPA PA PB 从而cos2PMPBBPA 所以3AMPAPM 综上所述 存在点 M 符合题意 3AM 3 2011 2011 年高考辽宁卷理科年高考辽宁卷理科 18 18 本小题满分 12 分 如图 四边形 ABCD 为正方形 PD 平面 ABCD PD QA QA AB 1 2 PD I 证明 平面 PQC 平面 DCQ II 求二面角 Q BP C 的余弦值 用心 爱心 专心 54 即PQDQ PQDC 故PQ 平面 DCQ 又PQ 平面 PQC 所以平面 PQC 平面 DCQ 4 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 17 17 本小题满分 12 分 如图 ABCDEFG为多面体 平面ABED与平面AGFD垂直 点O在线段AD上 1 2 OAOD OABV OAC ODE ODF都是正三角形 证明直线BC EF II 求棱锥 F OBED 的体积 命题意图 本题考查空间直线与直线 直线与平面 平面与平面的位 置关系 空间直线平行的证明 多面体体积的计算 考查空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 1 证法一 AOBODE Q OBDE 同理可证 OCDF OBCDEF 面面 BCDEF 面 用心 爱心 专心 55 EFDEFBEFC 面面QI BCEF 解题指导 空间线线 线面 面面位置关系的证明方法 一是要从其上位或下位证 明 本题的第一问方法一 是从其上位先证明面面平行 再借助面面平行的性质得到线面平 行 再借助线面平行的性质得到线线平行 二是借助中位线定理等直接得到 三是借助空间 向量直接证明 求不规则的几何体体积或表面积 通常采用分割或补齐成规则几何体即可 求解过程要坚持 一找二证三求 的顺序和原则防止出错 5 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 18 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为平行四 边形 DAB 60 AB 2AD PD 底面 ABCD a 2a B DC A p 用心 爱心 专心 56 证明 PA BD 若 PD AD 求二面角 A PB C 的余弦值 分析 1 要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明 2 求二面角的余弦只 需建立适当的坐标系 有空间向量来完成 解 1 证明 在三角形 ABD 中 因为 ADABBAD2 60该三角形为直角三角形 所以 DADPDBDPDPADPDADBD 且平面 PABDPADPDPADBD 平面平面 2 建立如图的坐标系 设点的坐标分别是 0 0 0 3 0 3 0 0 0 aPaaCaBaA 则 0 0 0 0 3 aaAPaBCaaAB 设平面 PAB 的 法向量为 zyxn 所以 0 0 APn ABn 取得 3 3 3 n 同 理设平面 PBC 的法向量为m 0 0 BCm PCm 取得 3 1 0 m 于是 7 72 cos nm nm nm 因此二面角的 余弦值是 7 72 点评 该题考查空间内的垂直关的证明 空间角的计算 考查定理 的理解和运用 空间向量的运用 同时也考察了空间想象能力 逻 辑思维能力和运算能力 解题时要注意法向量的计算和运用这一关 键 6 6 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 17 17 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 如图 在三棱柱如图 在三棱柱 111 ABCABC 中 中 H是正方形是正方形 11 AAB B的中心 的中心 1 2 2AA 1 C H 平面平面 11 AAB B 且 且 1 5 C H a 2a a x B DC A p y z 用心 爱心 专心 57 求异面直线 求异面直线 ACAC 与与 A A1 1B B1 1所成角的余弦值 所成角的余弦值 求二面角 求二面角 111 AACB 的正弦值 的正弦值 设 设N为棱为棱 11 BC的中点 点的中点 点M在平面在平面 11 AAB B内 且内 且MN 平面平面 11 ABC 求线段 求线段 BM的长 的长 所以二面角 111 AACB 的正弦值为 3 5 7 由 N 为棱 11 BC的中点 得 2 3 25 222 N 设 0 M a b 则 用心 爱心 专心 58 23 25 222 MNab 由MN 平面 111 ABC 得 11 11 0 0 MN AC MN AB 即 23 25 2 2 50 232 2 2 2 0 2 ab a 解得 2 2 2 4 a b 故 22 0 24 M 因此 22 0 24 BM 所以线段BM的长为 10 4 BM 7 2011 2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 21 21 本小题满分 14 分 1 如图 对于任一给定的四面体 1234 A A A A 找出依次排列的 四个相互平行的 1234 使得 1 2 3 4 ii Ai 且其中 每相邻两个平面间的距离都相等 2 给定依次排列的四个相互平行的平面 1234 其中每 相邻两个平面间的距离为 1 若一个正四面体 1234 A A A A的四个顶 点满足 1 2 3 4 ii Ai 求该正四面体 1234 A A A A的体积 解析 如图 将此正四面体补形为正方体 1111 ABCDABC D 如图 分别取 AB CD 11 AB 11 C D的中点 E F 1 E 1 F 平面 11 DEE D与 11 BFFB是分别过点 2 A 3 A的两平行 平面 若其距离为 1 则正四面体 1234 A A A A满足条件 右图为正方体的下底面 设正方体的 棱长为a 若1AMMN 因为 1 2 AEa 5 2 DEa 在直角三角形 ADE 中 AM DE 所以 51 1 22 aa a 所以5a 又正四面体的棱长为210a 用心 爱心 专心 59 所以此正四面体的体积为 33 1 15 45 3 23 Vaa 本题考查立体几何中的面面关系 正四面体及体积计算 8 2011 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 19 19 本小题满分 12 分 如图 5 在圆锥PO中 已知PO 2 O 的直径2AB C是 AB的中点 D为 AC的中点 证明 平面POD 平面PAC 求二面角BPAC 的余弦值 解法 1 连结 OC 因为 OAOC DAC 是的中点 所以ACO D 又PO 底面 O AC 底面 O 所以ACPO 因为 OD PO 是平面 POD 内的两条相交直线 所以AC 平面 POD 而AC 平面 PAC 所以平面 POD 平面 PAC II 在平面 POD 中 过 O 作OHPD 于 H 由 I 知 平面 PODPAC 平面 所以OH 平面 PAC 又 PA 面 PAC 所以 PAOH 在平面 PAO 中 过 O 作OG PA 于 G 连接 HG 则有PA 平面 OGH 从而PAHG 故OGH 为二面角 B PA C 的平面角 在 2 sin45 2 Rt ODAODOA 中 在 22 2 2 10 2 51 2 2 PO OD Rt PODOH POOD 中 用心 爱心 专心 60 在 22 2 16 321 PO OA Rt POAOG POOA 中 在 10 15 5 sin 56 3 OH Rt OHGOGH OG 中 所以 2 1510 cos1 sin1 255 OGHOGH 故二面角 B PA C 的余弦值为 10 5 解法 2 I 如图所示 以 O 为坐标原点 OB OC OP 所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系 则 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 OABCP 1 1 0 2 2 D 设 1111 nx y z 是平面 POD 的一个法向量 则由 11 0 0n ODn OP 得 11 1 11 0 22 20 xy z 所以 11111 0 1 1 1 0 zxyyn 取得设 2222 nxyz 是平面 PAC 的一个法向量 则由 22 0 0nPAnPC 得 22 22 20 20 xz yz 所以 22222 2 2 1 xzyz 取z得 2 2 2 1 n 因为 12 1 1 0 2 2 1 0 n n 所以 12 nn 从而平面POD 平面 PAC II 因为 y 轴 平面 PAB 所以平面 PAB 的一个法向量为 3 0 1 0 n 由 I 知 平面 PAC 的一个法向量为 2 2 2 1 n 设向量 23 nn和的夹角为 则 23 23 210 cos 55 nn nn 由图可知 二面角 B PA C 的平面角与 相等 用心 爱心 专心 61 所以二面角 B PA C 的余弦值为 10 5 9 2011 2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 18 18 如图如图 5 5 在椎体 在椎体PABCD 中中 ABCD是边长为是边长为 1 1 的棱形 的棱形 且且 0 60DAB 2PAPD 2 PB E F分别是分别是 BC PC的中点 的中点 1 1 证明 证明 ADDEF 平面 2 2 求二面角 求二面角PADB 的余弦值 的余弦值 解析解析 法一 1 证明 取 AD 中点 G 连接 PG BG BD 因 PA PD 有PGAD 在ABD 中 1 60ABADDAB 有ABD 为等 边三角形 因此 BGAD BGPGG 所以AD 平面 PBG ADPB ADGB 又 PB EF 得ADEF 而 DE GB 得 AD DE 又FEDEE 所以 AD 平面 DEF 2 PGAD BGAD PGB 为二面角 P AD B 的平面角 在 222 7 4 Rt PAGPGPAAG 中 在 3 2 Rt ABG 中 BG AB si n60 222 73 4 21 44 cos 27 73 2 22 PGBGPB PGB PG BG 用心 爱心 专心 62 法二 1 取 AD 中点为 G 因为 PAPD PGAD 又 60 ABADDABABD 为等边三角形 因此 BGAD 从而AD 平面 PBG 延长 BG 到 O 且使得 PO OB 又PO 平面 PBG PO AD ADOBG 所以 PO 平面 ABCD 以 O 为坐标原点 菱形的边长为单位长度 直线 OB OP 分别为x轴 z 轴 平行于 AD 的直线为y轴 建立如图所示空间直角坐标系 设 11 0 0 0 0 0 0 22 Pm G nA nD n 则 3 sin60 2 GBAB 333 13 1 0 0 1 0 0 2222242 2 nm B nC nE nF 由于 33 0 1 0 0 0 0 2242 nm ADDEFE 得0 0 AD DEAD FEADDE ADFE DEFEE AD 平面 DEF 2 13 0 22 PAnm PBnm 2222 133 2 2 1 422 mnnmmn 解之得 用心 爱心 专心 63 取平面 ABD 的法向量 1 0 0 1 n 设平面 PAD 的法向量 2 na b c 由 22 33 0 0 0 0 2222 bb PA nacPD nac 得由得 取 2 3 1 0 2 n 12 3 21 2 cos 7 7 1 4 n n 10 2011 2011 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 18 18 本小题满分 12 分 如图 已知 本棱柱 ABC A1B1C1的各棱长都是 4 E 是 BC 的中点 动点 F 在侧棱 CC1上 且不与点 C 重合 当 CF 1 时 求证 EF A1E 设二面角 C AF E 的大小为 求tan 的最小值 本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识 同时考查空间想象能 力 推理论证能力和运算求解能力 解析 过 E 点作 EN AC 于 N 连结 EF 如图 1 连结 NF AC1 由直线柱的性质知 底面 ABC 侧面 A1C 又底面 ABC 侧面 A1C AC 且 EN 底面 ABC 所以 EN 侧面 A1C NF 为 EF 在侧面内的射影 在 Rt CEN 中 CN cos600 1 则由 1 1 4 CFCN CCCA 得 1 NFAC 又 11 ACAC 故作 1 NFAC 由三垂线定理知 1 EFAC 用心 爱心 专心 64 如图 2 连结 AF 过 N 作 NM AF 于 M 连结 ME 由 知 EN 侧面 A1C 根据三垂线定理得 EM AF 所以 EM AF 所以EMN 是二面角 CAFE 的平面角 即EMN 设FAC 则 00 045 在Rt CNE 中 0 sin603NEEC 在Rt AMN 中 sin3sinMNAN 故 3 tan 3sin NE MN 又 00 045 2 0sin 2 故当 2 sin 2 即当 0 45 时 tan 达到最小值 36 tan2 33 此时 F 与 C1重合 11 2011 2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 16 16 本小题满分12 分 如图 在 ABC 0 中 ABC 60 0 BAC 90 ADBC是上的高 沿AD把ABD 折起 使 0 BD C 90 证明 平面 AD BBDC平面 设EBCDB 为的中点 求AE 与夹角的余弦值 解析 折起前ADBC是边上的高 当ABC 折起后 ADD C ADD B 又D BD C D ADBDCADABDABDBDC 平面平面平面平面 由 0 BD C 90及 知 DA DB DC两两垂直 不妨设1 DBD 为坐标原点 以 DB DC DAx y z 所在直线为 轴建立如图所示的空间直 角坐标系 易得 1 3 0 0 3 0 2 2 AE 0 0 0 1 0 0 0 3 0 DBC 1 3 3 2 2 AE 3 0 0 DB AEDB 与夹角的余弦值为 1 22 2 cos 2222 4 AE DB AE DB AEDB 12 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 19 19 本小题满分 12 分 小问 5 分 小问 7 分 用心 爱心 专心 65 如图 在四面体ABCD中 平面ABC ACD AB BC AD CD CAD 0 30 若AD 2 AB 2BC 求四边形ABCD的体积 若二面角C AB D为 0 60 求异面直线AD与BC所成角的余弦值 如图所示设 G H 分别为变 CD BD 的中点 则 FG AD GH BC 从而FGH 是异 面直线AD与BC所成角或其补角 设 E 为边 AB 的中点 则 EF BC 由AB BC 知EF AB 又由 有 DF 平面 ABC 故由三垂线定理知DE AB 所以DEF 为二面角C AB D的平面角 由题设知 60DEF 设 AD a 则 DF ADs inCAD 2 a 在Rt DEF 中 33 cot 236 a EFDFDEFa 从而 13 26 GHBCEFa 因ADEBDE 故 BD AD a 从而 在Rt BDF 中 11 22 FHBDa 又 11 22 FGADa 从而在FGH 中 因 FG FH 由余弦定理得 222 3 cos 226 FGGHFHGH FGH FG GHFG 故异面直线AD与B