2013年高考数学一轮经典例题 两平面垂直的判定和性质 理

用心 爱心 专心 20132013 年高考数学 理 一轮经典例题年高考数学 理 一轮经典例题 两平面垂直的判定和性质两平面垂直的判定和性质 典型例题一 例 1 根据叙述作图 指出二面角的平面角并证明 如图 1 已知 lAl 在 内作 lPA 于A 在 内作 lQA 于A 如图 已知 lAAl 作 AP 于P 在 内作 lAQ 于Q 连结PQ 已知 AAl 作 AP 于P AQ 于Q l 平面 HPAQ 连结PH QH 作图与证明在此省略 说明 本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法 其中用三垂线定理及逆定理的方法最 常用 还需补充这种方法的其他典型图形 典型例题二 例 2 如图 在立体图形 ABCD 中 若 ECDADCBAB 是AC的中点 则下列命 用心 爱心 专心 题中正确的是 A 平面ABC 平面ABD B 平面ABD 平面BDC C 平面ABC 平面BDE 且平面ADC 平面BDE D 平面ABC 平面ADC 且平面ADC 平面BDE 分析 要判断两个平面的垂直关系 就需固定其中一个平面 找另一个平面内的一条直线与 第一个平面垂直 解 因为 CBAB 且E是AC的中点 所以 ACBE 同理有 ACDE 于是 AC 平 面BDE 因为 AC 平面ABC 所以平面ABC 平面BDE 又由于 AC 平面ACD 所以平面ACD 平面BDE 所以选 C 说明 本题意图是训练学生观察图形 发现低级位置关系以便得到高级位置关系 在某一个平 面内 得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线 由线线垂直得到线面垂直 由线 面垂直可得到面面垂直 典型例题三 例 如图 P是 ABC 所在平面外的一点 且 PA 平面ABC 平面 PAC 平 面PBC 求证 ACBC 分析 已知条件是线面垂直和面面垂直 要证明两条直线垂直 应将两条直线中的一条纳入 一个平面中 使另一条直线与该平面垂直 即从线面垂直得到线线垂直 证明 在平面PAC内作 PCAD 交PC于D 因为平面 PAC 平面PBC于PC AD 平面PAC 且 PCAD 所以 PBCAD平面 又因为 BC 平面PBC 于是 有 BCAD 另外 PA 平面ABC BC 平面ABC 所以 BCPA 由 及 APAAD 可知 BC 平面PAC 因为 AC 平面PAC 所以 ACBC 用心 爱心 专心 说明 在空间图形中 高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系 通过本题可以看到 面面垂直 线面垂直 线线垂直 典型例题四 例 如图 AB是 O的直径 PA垂直于 O所在的平面 C是圆周上异于A B的任 意一点 求证 平面PAC 平面PBC 分析 证明面面垂直的有两个依据 一是证明二面角的平面角为直角 二是利用两个平面垂 直的判定定理 由于C点的任意性 用方法一的可能性不大 所以要寻求线面垂直 证明 因为AB是 O的直径 C是圆周上的点 所以有 ACBC 因为 PA 平面ABC BC 平面ABC 则 BCPA 由 及 APAAC 得 BC 平面PAC 因为 BC 平面PBC 有平面PAC 平面PBC 说明 低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据 根据条件 由线线垂直 线面垂直 面面垂直 通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系 垂直关系的判定 和性质共同构成了一个完整的知识体系 典型例题五 例 如图 点A在锐二面角 MN 的棱MN上 在面 内引射线AP 使AP与 MN 所成的角 PAM 为 45 与面 所成的角大小为 30 求二面角 MN 的大 小 分析 首先根据条件作出二面角的平面角 然后将平面角放入一个可解的三角形中 最好是 直角三角形 通过解三角形使问题得解 解 在射线AP上取一点B 作 BH 于H 连 用心 爱心 专心 结AH 则 BAH 为射线AP与平面 所成的角 30 BAH 再作 MNBQ 交 MN 于Q 连结HQ 则HQ为BQ在平面 内的射影 由三垂线定理的逆定理 MNHQ BQH 为二面角 MN 的平面角 设 aBQ 在 BAQRt 中 aABBAMBQA2 45 90 在Rt BHQ中 2 2 90aBHaBQBHQ 2 2 2 2 sin a a BQ BH BQH BQH 是锐角 45 BQH 即二面角 MN 等于 45 说明 本题综合性较强 在一个图形中出现了两条直线所称的角 斜线与平面所称的角 二 面角等空间角 这些空间角都要转化为平面角 而且还要彼此联系相互依存 要根据各个平 面角的定义添加适当的辅助线 典型例题六 例 如图 将边长为a的正三角形ABC以它的高AD为折痕折成一个二面角 CADC 指出这个二面角的面 棱 平面角 若二面角 CADC 是直二面角 求 C C 的长 求 CA 与平面CD C 所成的角 若二面角 CADC 的平面角为 120 求二面角 DCCA 的平面角的正切值 分析 根据问题及图形依次解决 解 CDADDCADBCAD 二面角 CADC 的面为ADC和面 CAD 棱为AD 二面角的平面角为CCD 若 90 CCD aCCaCDDCaAC 2 2 2 1 ADDCADCDAD 平面 CCD DCA 为 CA 与平面CD C 所 用心 爱心 专心 成的角 在直角三角形 CAD 中 30 2 1 CDAACCDDC 于是 60 DCA 取 CC 的中点E 连结AE DE CCDECCAEACCADCCD AED 为二面角 DCCA 的平面角 4 1 2 1 120aDEaCDDCDCC 在直角三角形AED中 2 3 aAD DE AD AED tan 32 4 1 2 3 a a 说明 这是一个折叠问题 要不断地将折叠前后的图形加以比较 抓住折叠前后的变与不变 量 典型例题七 例 7 正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为 1 P是AD的中点 求二 面角 PBDA 1 的大 小 分析 求二面角关键是确定它的平面角 按定义在二面角的棱上任取了点 在二个半平面上 分别作棱的垂线 方法虽简便 但因与其他条件没有联系 要求这个平面角一般是很不容易 的 所以在解题中不大应用 在解题中应用得较多的是 三垂线定理 的方法 如图考虑到 AB垂直于平面1 AD 1 BD 在平面 1 AD 上的射影就是 1 AD 再过P作 1 AD 的垂线PF 则 PF 面1 ABD 过F作 BD1 的垂线FE PEF 即为所求二面角的平面角了 解 过P作 1 BD 及 1 AD 的垂线 垂足分别是E F 连结EF AB 面 1 AD PF 面 1 AD PFAB 又 1 ADPF PF 面 1 ABD 用心 爱心 专心 又 1 BDPE 1 BDEF PEF 为所求二面角的平面角 DADRt 1 PFA 11 AD AP DD PF 而 2 1 AP 1 1 DD 2 1 AD 4 2 PF 在 1 PBD 中 2 5 1 PBPD 1 BDPE 2 3 2 1 BDBE 在 PEBRt 中 2 2 22 BEPBPE 在 PEFRt 中 2 1 sin PE PF PEF 30PEF 典型例题八 例 8 在 ABC 所在平面外有一点S 已知 ABSC SC与底面ABC所成角为 二面 角 CABS 的大小为 且 90 求二面角 ASBC 的大小 分析 由题设易证 SDSC 由已知得SC 平面SAB 显然所求的二面角是直二面角 此时只需证明二面有的两个面垂直即可 在解这种类型题时 如果去作二面角 ASBC 的 平面角 那么可能会走弯路 解 如图所示 作SO 平面ABC于O 连结CO并延长交AB于D 连结SD SO 平面ABC SCO 是SC与平面ABC所成角 SCO SO 平面ABC ABSC CDAB SDAB SDO 是二面角 CABS 的平面角 SDO 90 SDSC 用心 爱心 专心 又 ABSC SC 平面SAB 平面SBC 平面SAB 二面角 ASBC 的大小为 90 说明 二面角的平面角满足三个条件 1 顶点在棱上 2 两边在面内 3 两边与棱垂直 应 注意 CSB 不满足第 3 条 不是二面角 ASBC 的平面角 在求二面角大小时 若其平面角不易作出时 则可考虑判定两平面是否垂直 如果两平面垂 直 则其二面角为 90 反之亦然 典型例题九 例 9 如果 a 那么 a 分析 1 本题是一道高考题 考查线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理能力 要证 a 只要证明直线a与平面 内的两条相交直线垂直就可以了 从而借助平面与平面垂直的性质 达到证明 a 的目的 2 要证 a 只要证明a平行于平面 的一条垂线就可以了 这 也可以借助面面垂直的性质加以考虑 3 可以用 同一法 来证明 证法一 如图所示 设 b c 过平面 内一点P作 bPA 于A 作 cPB 于B PA 又 a aPA 同理可证 aPB PPBPA 且 PBPA a 证法二 如图所示 设 b 在平面 内作直线 bl 1 1 l 用心 爱心 专心 设 c 在平面 内作直线 cl 2 同理可证 al 2 因此 21 l l 由于 1 l 2 l 2 l 而 2 l a al 2 故由 al 2 知 a 证法三 如图所示 过直线a上一点P作直线 a a aP P 根据课本第 37 页例 2 如果两个平面互相垂直 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内 a 同理可证 a 故 a 椐公理 2 可知 直线 a 与直线a重合 a 说明 1 本例实际上可作为两个平面垂直的性质定理 主要用于判断直线和平面的垂直 在 很多习题中都可以用到本例的结论 2 本例的三种证明方法其思维角度不同 但都是围绕 面面垂直 线面面垂直 的判定与 性质定理来进行思考的 希望同学们今后在解题中多进行这方面的训练 这对提高数学思维 能力是大有裨益的 典型例题十 例 10 设由一点S发出三条射线SA SB SC ASB BSC ASC 均为锐角 且 coscoscos 求证 平面ASB 平面BSC 分析 欲证两平面垂直 只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可 此题设法通 过线段关系过渡 用心 爱心 专心 证明 如图 任取点A 作 SBAB 于B 过B作 SCBC 于C 连结AC cos ASSB cos SBSC 故 coscos ASSC 又由 coscoscos 则 cos ASSC 从而可得 90ACS 即 SCAC 已作 SCBC 故SC 平面ACB 即有 SCAB 已作 SBAB 从而AB 平面BSC 故平面ASB 平面BSC 说明 本题易犯错误是 作 SBAB 于B 作 SCBC 于C 连结AC 由三垂线定理得 ACSC SC 平面ACB SCAB AB 平面SBC 其错误原因是作 SBAB 后 将AB误认为是平面SBC的垂线 此题的证明也可以作 SBAB 于B SCAC 于C 连结BC 在 SBC 中 由余弦定 理及条件 coscoscos 证明 222 SCBCSB 从而 BCSC SC 面 ABC SCAB 由此进一步证明 平面ASB 平面BSC 典型例题十一 例 11 如果二面角 l 的平面角是锐角 点P到 和棱l的距离分别为 22 4 24 求二面角的大小 分析 如果二面角 l 内部 也可能在外部 应区别处理 解 如图甲是点P在二面角 l 的内部时 乙是点P在二面角 l 的外部时 PA lPA 用心 爱心 专心 lAC 面 lPAC 同理 面 lPBC 而面PAC 面PBC PC 面PAC与面PBC应重合 即A C B P在同一平面内 ACB 是二面角的平面角 在 APCRt 中 2 1 24 22 sin PB PA ACP 30ACP 在 BPCRt 中 2 2 24 4 sin PC PB BCP 45BCP 故 754530ACB 图甲 或 153045ACB 图乙 说明 作一个垂直于棱的平面 此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面 角 这是本题得到二面平面角的方法 即所谓垂面法 典型例题十二 例 12 P为 120 的二面角 a 内一点 P到 和 的距离均为 10 求点P到棱a的 距离 分析 本题已知二面角的大小而求点到直线的距离 须做出二面角的平面角 然后将条件揉 和在一起 便可解决问题 解 如图 过点P作 PA 于A PB 于B 设相交直线PA PB确定的平面为 Oa 则 OA OB 用心 爱心 专心 连结PO 则 10 BPAP PA PB a 而 PO 平面 POa PO的长即为点P到直线a的距离 又 a OA OB AOB 是二面角 a 的平面角 即 120AOB 而四边形AOBP为一圆内接四边形 且PO为该四边形的外接圆直径 四边形AOBP的外接圆半径等于由A B O P中任意三点确定的三角形的外接圆半 径 因此求PO的长可利用 APB 在 APB 中 10 BPAP 60APB 10 AB 由正弦定理 3 320 60sin 2 AB RPO 说明 1 该题寻找 120 的二面角的平面角 所采取的方法即为垂面法 由此可见 若题目可 找到与棱垂直的平面 用 垂面法 确定二面角的平面角也是一种可取的方法 2 充分借助于四边形PAOB为一圆内接四边形 OAPA OBPB PO即为其 外接圆直径 然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移 由正弦定理帮助解决了问题 典型例题十三 例 13 如图 正方体的棱长为 1 OBCCB 11 求 1 AO与 11C A 所成的角 2 AO与平面AC所成角的正切值 3 平面AOB与平面AOC所成的角 用心 爱心 专心 解 1 ACCA 11 AO与 11C A 所成的角就是 OAC OBOC AB 平面 1 BC OAOC 三垂线定理 在 AOCRt 中 2 2 OC 2 AC 30OAC 2 作 BCOE 平面 1 BC 平面AC OE 平面AC OAE 为OA与平面AC所成的角 在 OAERt 中 2 1 OE 2 5 2 1 1 22 AE 5 5 tan AE OE OAE 3 OAOC OBOC OC 平面AOB 又 OC 平面AOC 平面AOB 平面AOC 说明 本题包含了线线角 线面角和面面角三类问题 求角度问题主要是求两条异面直线所 成角 2 0 直线和 平面所成角 2 0 二面角 0 三种 典型例题十四 例 14 如图 矩形ABCD PD 平面ABCD 若 2 PB PB与平面PCD所成的角为 45 PB与平面ABD成 30 角 求 1 CD的长 用心 爱心 专心 2 求PB与CD所在的角 3 求二面角 DPBC 的余弦值 分析 从图中可以看出 四面体 BCDP 是一个基础四面体 前面已推导出平面PBC与平 面BCD所成的二面角的余弦值为 3 3 32 21 BDPC BCPD 可见 基础四面体作为一部 分 经常出现在某些几何体中 解 1 PD 平面ABCD BCPD 又 BC 平面PDC BPC 为PB与平面PCD所在的角 即 45BPC 同理 PBD 即为PB与平面ABD所成的角 30PBD 在 PBCRt 中 2 PB 2 PCBC 在 PBDRt 中 30PBD 1 PD 3 BD 在 BCDRt 中 2 BC 3 BD 1 CD 2 CDAB PB与CD所成的角 即为PB与AB所成的角 PBA 即为PB与AB所成的角 PD 平面ABCD ABAD ABPA 三垂线定理 在 PABRt 中 1 CDAB 2 PB 60PBA 3 由点C向BD作垂线 垂足为E 由点E向PB作垂线 垂足为F 连结CF PD 平面ABCD CEPD 又 BDCE CE 平面PBD CF 为平面PBD的斜线 由于 PBEF 由三垂线定理 CFPB CEF 为二面角 DPBC 的平面角 在 BCDRt 中 2 BC 1 DC 3 BD 3 6 BD CDBC CE 在 PCBRt 中 2 BC 2 PC 2 PB 用心 爱心 专心 1 PB CPBC CF 3 6 sin CF CB CFE 3 3 cos CFE 二面角 DPBC 的余弦值为 3 3 说明 解空间几何计算问题 一般要做两件事 一件是根据问题的需要作必要证明 如本题 中的线线所成的角 面面所成的角从理认上都必须说清楚究竟是谁 另一件事才是计算 这两件事是根据问题解答逻辑上的需要有机的结合在一起的 典型例题十五 例 15 过点S引三条不共面的直线SA SB SC 如图 90BSC 60ASBASC 若截取 aSCSBSA 1 求证 平面ABC 平面BSC 2 求S到平面ABC的距离 分析 要证明平面ABC 平面BSC 根据面面垂直的判定定理 须在平面ABC或平面 BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线 1 证明 aSCSBSA 又 60ASBASC ASB 和 ASC 都是等边三角形 aACAB 取BC的中点H 连结AH BCAH 在 BSCRt 中 aCSBS BCSH aBC2 2 2 2 2 22222 a aaCHACAH 2 2 2 a SH 在 SHA 中 2 2 2 a AH 2 2 2 a SH 22 aSA 用心 爱心 专心 222 HASHSA SHAH AH 平面SBC AH 平面ABC 平面ABC 平面BSC 或 ABACSA 顶点A在平面BSC内的射影H为 BSC 的外心 又 BSC 为 Rt H在斜边BC上 又 BSC 为等腰直角三角形 H为BC的中点 AH 平面BSC AH 平面ABC 平面ABC 平面BSC 2 解 由前所证 AHSH BCSH SH 平面ABC SH的长即为点S到平面ABC的距离 a BC SH 2 2 2 点S到平面ABC的距离为 a 2 2 典型例题十六 例 16 判断下列命题的真假 1 两个平面垂直 过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线 必垂直于另一个平面 2 两个平面垂直 分别在两个平面内且互相垂直的两直线 一定分别与另一平面垂直 3 两平面垂直 分别在这两个平面内的两直线互相垂直 分析 1 若该点在两个平面的交线上 则命题是错误的 如图 正方体 CA1 中 平面 AC 平面 1 AD 平面 AC 平面 1 AD AD 在AD上取点A 连结 1 AB 则 ADAB 1 即过棱上一点A的直线 1 AB 与棱垂直 但 1 AB 与平面ABCD不垂直 其错误 的原因是 1 AB 没有保证在平面 11A ADD 内 可以看出 线在面内这一条件的重要性 2 该命题注意了直线在平面内 但不能保证这两条直线都与棱垂直 如图 在正方体 CA1 中 平面 1 AD 平面AC 1 AD 平面11A ADD AB 平面ABCD 且 1 ADAB 即 AB与1 AD 相互垂直 但 1 AD 与平面ABCD不垂直 用心 爱心 专心 3 如上图 正方体 CA1 中 平面 11A ADD 平面ABCD 1 AD 平面11A ADD AC 平 面ABCD 1 AD 与AC所成的角为 60 即 1 AD 与AC不垂直 说明 必须注意两个平面垂直的性质定理成