江西省南昌三中2012-2013学年高二数学下学期期中试题 理 新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年江西省南昌三中高二 下 期中数学试卷 理科 学年江西省南昌三中高二 下 期中数学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 有分 在每小题给出的四个选项中 有 且只有一项符合题目要求 把答案填写在答题卡上且只有一项符合题目要求 把答案填写在答题卡上 1 5 分 2011 安徽 设 i 是虚数单位 复数为纯虚数 则实数 a 为 A 2B 2C D 考点 复数代数形式的混合运算 专题 计算题 分析 复数的分子 分母同乘分母的共轭复数 化简后它的实部为 0 可求实数 a 的值 解答 解 复数 它是纯虚数 所以 a 2 故选 A 点评 本题是基础题 考查复数的代数形式的混合运算 考查计算能力 常考题型 2 5 分 在平面上 若两个正三角形的边长之比 1 2 则它们的面积之比为 1 4 类似 地 在空间中 若两个正四面体的棱长之比为 1 2 则它的体积比为 A 1 4 B 1 6 C 1 8 D 1 9 考点 类比推理 专题 规律型 分析 由平面图形面积类比立体图形的体积 结合三角形的面积比的方法类比求四面体的 体积比即可 解答 解 平面上 若两个正三角形的边长的比为 1 2 则它们的面积比为 1 4 类似地 由平面图形面积类比立体图形的体积 得出 在空间内 若两个正四面体的棱长的比为 1 2 则它们的底面积之比为 1 4 对应 高之比为 1 2 所以体积比为 1 8 故选 C 点评 本题主要考查类比推理 类比推理是指依据两类数学对象的相似性 将已知的一类 数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去 2 3 5 分 2007 嘉定区一模 已知 则 f n 1 f n A B C D 考点 数列的函数特性 专题 计算题 分析 由 f n 1 知 f n 1 1 由此能求出 f n 1 f n 解答 解 f n 1 f n 1 1 f n 1 f n 故选 D 点评 本题考查数列的函数性质 解题时要认真审题 注意总结规律 合理地进行等价转 化 4 5 分 设函数 f x x2 2x 4lnx 则 f x 的递增区间为 A 0 B 1 0 2 C 2 D 0 1 考点 利用导数研究函数的单调性 专题 计算题 分析 先确定函数的定义域然后求导数 f x 在函数的定义域内解不等式 f x 0 即可求出函数 f x x2 2x 4lnx 的递增区间 解答 解 f x x2 2x 4lnx x 0 f x 2x 2 令 f x 2x 2 0 x 0 解得 x 2 函数 f x x2 2x 4lnx 的递增区间是 2 故选 C 点评 本题主要考查了对数函数的导数 以及利用导数研究函数的单调性等基础知识 考 查计算能力 属于基础题 3 5 5 分 2011 福建 ex 2x dx 等于 A 1B e 1C eD e2 1 考点 定积分 专题 计算题 分析 求出被积函数的原函数 将积分的上限代入减去将下限代入求出差 解答 解 ex 2x dx ex x2 01 e 1 1 e 故选 C 点评 本题考查利用微积分基本定理求定积分值 6 5 分 2004 湖南 若函数 f x x2 bx c 的图象的顶点在第四象限 则函数 f x 的图象是 A B C D 考点 函数的单调性与导数的关系 专题 数形结合法 分析 先判断函数 f x 的单调性 根据当导函数大于 0 时原函数单调递增 当导函数小 于 0 时原函数单调递减得到答案 解答 解 函数 f x x2 bx c 是开口向上的二次函数 定点在第四象限说明对称轴大于 0 根据函数 f x 在对称轴左侧单调递减 导函数小于 0 在对称轴右侧单调递增 导函数大于 0 知 A 满足条件 故选 A 点评 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系 即当导函数大于 0 时原 函数单调递增 当导函数小于 0 时原函数单调递减 7 5 分 设正数 x y 满足 log2 x y 3 log2x log2y 则 x y 的取值范围是 A 0 6 B 6 C 1 D 0 1 4 考点 基本不等式 专题 不等式的解法及应用 分析 由正数 x y 满足 log2 x y 3 log2x log2y 利用对数的运算性质可得 x y 3 xy 利用基本不等式可得 即 x y 3 当且仅 当 x y 0 时取等号 利用一元二次不等式的解法解出即可 解答 解 由正数 x y 满足 log2 x y 3 log2x log2y x y 3 xy 而 则 x y 3 当且仅当 x y 0 时取等号 令 x y t 则化为 t2 4t 12 0 解得 t 6 或 t 2 t 0 取 t 6 故选 B 点评 熟练掌握对数的运算性质 基本不等式的性质 一元二次不等式的解法是解题的关 键 8 5 分 已知函数 f x x2 2x alnx 若函数 f x 在 0 1 上单调 则实数 a 的 取值范围是 A a 0B a 4 C a 0 或 a 4 D a 0 或 a 4 考点 函数的单调性与导数的关系 专题 计算题 分析 求出原函数的导函数 由函数 f x 在 0 1 上单调 所以在 x 0 1 时 f x 0 或 f x 0 恒成立 分离变量后利用二次函数的单调性求最值 从 而得到 a 的范围 解答 解 由 f x x2 2x alnx 所以 若函数 f x 在 0 1 上单调 则当 x 0 1 时 f x 0 或 f x 0 恒成立 即 2x2 2x a 0 或 2x2 2x a 0 在 0 1 上恒成立 由 得 a 2x2 2x 由 得 a 2x2 2x 因为 y 2x2 2x 的图象开口向下 且对称轴为 所以在 0 1 上 ymax 0 ymin 4 所以 a 的范围是 a 0 或 a 4 故选 C 点评 本题考查了函数的单调性与导数的关系 训练了利用二次函数的单调性求函数的最 5 值 是中档题 9 5 分 若函数 f x 则的值 为 A B C D 考点 分段函数的应用 定积分 专题 计算题 函数的性质及应用 导数的概念及应用 分析 利用分段函数 表示出积分 再求出相应的积分的值 即可求得结论 解答 解 函数 f x 1 2 故选 B 点评 本题考查分段函数 考查定积分知识 考查学生的计算能力 属于中档题 6 10 5 分 2010 延庆县一模 已知函数 y f x 是定义在 R 上的奇函数 且当 x 0 时不等式 f x xf x 0 成立 若 a 30 3 f 30 3 b log 3 f log 3 c f 则 a b c 的大小关系是 A a b c B c a b C c b a D a c b 考点 函数奇偶性的性质 简单复合函数的导数 函数的单调性与导数的关系 专题 综合题 压轴题 分析 由已知式子 x xf x 可以联想到 uv u v uv 从而可设 h x xf x 有 h x f x xf x 0 所以利用 h x 的单调性问题很容易解决 解答 解 构造函数 h x xf x 由函数 y f x 以及函数 y x 是 R 上的奇函数可得 h x xf x 是 R 上的偶函数 又当 x 0 时 h x f x xf x 0 所以函数 h x 在 x 0 时的单调性为单调递减函数 所以 h x 在 x 0 时的单调性为单调递增函数 又因为函数 y f x 是定义在 R 上的奇函数 所以 f 0 0 从而 h 0 0 因为 2 所以 f f 2 f 2 由 0 log 3 1 30 3 30 5 2 所以 h log 3 h 30 3 h 2 f 即 b a c 故选 B 点评 本题考查的考点与方法有 1 所有的基本函数的奇偶性 2 抽象问题具体化的思 想方法 构造函数的思想 3 导数的运算法则 uv u v uv 4 指对数 函数的图象 5 奇偶函数在对称区间上的单调性 奇函数在对称区间上的单调性相 同 偶函数在对称区间上的单调性相反 5 奇偶函数的性质 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 同号得正 异号得负 奇 奇 奇 偶 偶 偶 本题结合已知构造出 h x 是正确解答的关键所在 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 分 11 5 分 若 f x 在 R 上可导 f x x2 2f 2 x 3 则 03f x dx 18 考点 定积分 专题 计算题 分析 对原函数两边求导 再将 x 2 代入先求出 f 2 的值 再根据计算定积分的公式 先求出被积函数的原函数即可求得 03f x dx 解答 解 f x x2 2f 2 x 3 7 f x 2x 2f 2 当 x 2 时 有 f 2 4 2f 2 f 2 4 f x x2 8x 3 03f x dx 03 x2 8x 3 dx x3 4x2 3x 03 18 故答案为 18 点评 本小题主要考查定积分 定积分的应用 导函数的概念等基础知识 属于基础题 12 5 分 曲线 y x2 3x 2lnx 的切线中 斜率最小的切线方程为 x y 3 0 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 导数的综合应用 分析 先求出曲线对应函数的导数 由基本不等式求出导数的最小值 即得到曲线斜率的 最小值 解答 解 曲线 y x2 3x 2lnx x 0 y 2x 3 2 2 3 1 当 x 1 时 y min 1 此时斜率最小 即 k 1 当 x 1 时 y 2 此切线过点 1 2 切线方程为 y 2 1 x 1 即 x y 3 0 故答案为 x y 3 0 点评 此题主要利用导数研究曲线上的某点切线方程 此题是一道基础题 还考查直线的 斜率 13 5 分 函数 y x 2cosx 在区间上的最大值是 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 专题 计算题 分析 对函数 y x 2cosx 进行求导 研究函数在区间上的极值 本题极大值就是 最大值 解答 解 y x 2cosx y 1 2sinx 令 y 0 而 x 则 x 当 x 0 时 y 0 8 当 x 时 y 0 所以当 x 时取极大值 也是最大值 故答案为 点评 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题 属于导数的基础题 14 5 分 已知 f n 1 n N n 2 经计算得 f 4 2 f 8 f 16 3 f 32 由此可推得一般性结论为 f 2n 考点 归纳推理 专题 探究型 分析 根据已知中的等式 f 4 2 f 16 3 我 们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系 归纳推断后 即可得到答案 解答 解 观察已知中等式 得 f 4 2 即 f 22 即 f 23 f 16 3 即 f 24 归纳可得 f 2n n N 故答案为 f 2n n N 点评 归纳推理的一般步骤是 1 通过观察个别情况发现某些相同性质 2 从已知 的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题 猜想 15 5 分 若函数 y 在区间 1 4 内为减函数 在区间 6 内为增函数 则 a 的取值范围是 5 a 7 考点 函数的单调性与导数的关系 9 专题 计算题 导数的概念及应用 分析 求出函数的导函数 利用函数 y 在区间 1 4 内为 减函数 在区间 6 内为增函数得到导函数在不同区间内的符号 列式后解 不等式组求解 a 的范围 解答 解 由 y 得 y x2 ax a 1 因为函数 y 在区间 1 4 内为减函数 在区间 6 内为增函数 所以 y x2 ax a 1 在区间 1 4 内恒小于 0 在区间 6 内恒大于 0 令 g x x2 ax a 1 则 解得 5 a 7 故答案为 5 a 7 点评 本题考查了函数的单调性与导数的关系 考查了利用二次函数零点所在的范围求参 数的值 考查了数学转化思想方法 是中档题 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 共三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 共 6 6 题 共题 共 7575 分 分 16 12 分 计算 1 求积分值 3x2 4x3 dx 2 求函数 y 的导数 考点 微积分基本定理 导数的乘法与除法法则 专题 计算题 导数的概念及应用 分析 1 求出被积函数 3x2 4x3的原函数 将积分的上限 下限代入求值 2 先对原函数式通分化简 再利用初等函数的求导法则求解即可 解答 解 1 3x2 4x3 dx 3x2dx 4x3dx x3 x4 24 2 y y 点评 本题主要考查了定积分的计算 导数的乘法与除法法则 解决该类问题的关键是求 出被积函数的原函数 掌握函数的求导法则 属于计算题 基础题 10 17 12 分 求曲线 y x2 直线 y x y 3x 围成的图形的面积 考点 定积分在求面积中的应用 专题 计算题 导数的概念及应用 分析 先联立两个曲线的方程 求出交点 以确定积分公式中 x 的取值范围 最后根据定 积分的几何意义表示出区域的面积 根据定积分公式解之即可 解答 解 在同一直角坐标系下作出曲线 y x2 直线 y x y 3x 的图象 所求面积为图中 阴影部分的面积 解方程组得交点 1 1 解方程组得交点 3 9 因此所围图形的面积为 S 3x x dx 3x x2 dx 2xdx 3x x2 dx x2 x2 x3 1 32 33 12 13 点评 本题主要考查了定积分在求面积中的应用 以及定积分的计算 属于基础题 18 12 分 已知函数 f x alnx ax 3 a R 1 求函数 f x 的单调区间 2 函数 y f x 的图象在 x 4 处的切线的斜率为 若函数 g x x3 x2 f x 在区间 1 3 上不是单调函数 求 m 的取值范围 考点 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 导数的综合应用 分析 1 求导数 f x 利用导数与函数单调性的关系分情况讨论即可 11 2 由切线斜率为 可求出 a 值 进而求出 f x f x 因为 g x 在区间 1 3 上不单调 所以 g x 改变符号 从而得到 m 所满足的条件 解答 解 1 f x x 0 当 a 0 时 若 x 0 1 则 f x 0 若 x 1 则 f x 0 当 a 0 时 f x 的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 1 当 a 0 时 若 x 1 则 f x 0 若 x 0 1 则 f x 0 当 a 0 时 f x 的单调递增区间为 1 单调递减区间为 0 1 当 a 0 时 f x 3 f x 不是单调函数 无单调区间 2 由题意知 f 4 得 a 2 则 f x 2lnx 2x 3 g x x3 2 x2 2x g x x2 m 4 x 2 g x 在区间 1 3 上不是单调函数 且 g 0 2 0 即解得 故 m 的取值范围是 3 点评 本题考查了导数与函数单调性的关系 利用导数解决问题的能力 注意数形结合思 想的应用 19 12 分 已知 a b c 0 1 求证 1 a b 1 b c 1 c a 中至少有 一个不大于 考点 不等式的证明 专题 证明题 反证法 分析 首先根据题意 通过反证法假设假设 1 a b 1 b c 1 c a 中都大于 得出 然后根据基本不等式 得 出 相互矛盾 即可证明 解答 证明 反证法假设 1 a b 1 b c 1 c a 中都大于 1 a b 1 b c 1 c a 即 12 相加 由基本不等式 a b 2 三式相加 与矛盾所以假设不成立 命题得证 1 a b 1 b c 1 c a 中至少有一个不大于 点评 本题考查反证法的应用 涉及不等式的证明与基本不等式的应用 属于中档题 20 13 分 如图 已知曲线 C1 y x2与曲线 C2 y x2 2ax a 1 交于点 O A 直线 x t 0 t 1 与曲线 C1 C2分别相交于点 D B 连结 OD DA AB OB 1 写出曲边四边形 ABOD 阴影部分 的面积 S 与 t 的函数关系式 S f t 2 求函数 S f t 在区间 0 1 上的最大值 考点 导数在最大值 最小值问题中的应用 函数最值的应用 定积分在求面积中的应 用 专题 计算题 导数的综合应用 分析 1 先联立方程 组成方程组 求得交点坐标 可得被积区间 再用定积分表示出 曲边四边形 ABOD 阴影部分 的面积 即可求得函数关系式 S f t 2 由 1 确定了函数及其导数的解析式 解不等式 f x 0 与 f x 0 可求出函数的单调区间 对字母 a 进行分类讨论 根据函数的单调性求出函数 f x 在区间 0 1 上的最大值 解答 解析 1 由 解得或 13 O 0 0 A a a2 又由已知得 B t t2 2at D t t2 S x2 2ax dx t t2 t2 2at t2 a t x3 ax2 t3 t2 at a t t3 at2 t3 t3 2at2 a2t t3 at2 a2t S f t t3 at2 a2t 0 t 1 2 f t t2 2at a2 令 f t 0 即 t2 2at a2 0 解得 t 2 a 或 t 2 a 0 t 1 a 1 t 2 a 应舍去 若 2 a 1 即 a 时 0 t 1 f t 0 f t 在区间 0 1 上单调递增 S 的最大值是 f 1 a2 a 若 2 a 1 即 1 a 时 当 0 t 2 a 时 f t 0 当 2 a t 1 时 f t 0 f t 在区间 0 2 a 上单调递增 在区间 2 a 1 上单调递 减 f t 的最大值是 f 2 a 2 a 3 a 2 a 2 a2 2 a a3 点评 本题考查利用定积分求面积 考查导数在最大值 最小值问题中的应用 以及学生 灵活转化题目条件的能力 属于中档题 21 14 分 已知函数 f x ln x 1 1 若函数 f x 在 0 内为增函数 求正实数 a 的取值范围 2 当 a 1 时 求 f x 在 1 上的最大值和最小值 3 试利用 1 的结论 证明 对于大于 1 的任意正整数 n 都有 lnn 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 函数的单调性与导数的关系 专题 导数的综合应用 分析 1 求函数的导数 则导数 f x 0 对任意 x 0 恒成立即可 分离参 14 数即得 a 对任意 x 0 恒成立 a max x 0 即可 2 a 1 时 求 f x 的导数 再令导数等于 0 得到的 x 的值为函数的极值点 在借助函数在 1 的单调性 判断函数当 x 为何值时有最大值 何时有最小 值 3 由 1 知 当 a 1 时 f x ln 1 x 在 0 上是增函数 则 f x f 0 即 ln 1 x x 0 成立 即 l